This is a digital copy of a book that was preserved for generations on library shelves before it was carefully scanned by Google as part of a project to make the world's books discoverable online.
It has survived long enough for the copyright to expire and the book to enter the public domain. A public domain book is one that was never subject to copyright or whose legal copyright term has expired. Whether a book is in the public domain may vary country to country. Public domain books are our gateways to the past, representing a wealth of history, culture and knowledge that's often difficult to discover.
Marks, notations and other marginalia present in the original volume will appear in this file - a reminder of this book's long journey from the publisher to a library and finally to you.
Usage guidelines Google is proud to partner with libraries to digitize public domain materials and make them widely accessible. Public domain books belong to the
public and we are merely their custodians. Nevertheless, this work is expensive, so in order to keep providing this resource, we have taken steps to prevent abuse by commercial parties, including placing technical restrictions on automated querying.
We also ask that you:
Ἔ Make non-commercial use of the files We designed Google Book Search for use by individual personal, non-commercial purposes.
and we request that you use these files for
Ὁ Refrain from automated querying Do not send automated queries of any sort to Google's system: If you are conducting research on machine translation, optical character recognition or other areas where access to a large amount of text is helpful, please contact us. We encourage the use of public domain materials for these purposes and may be able to help.
Ἢ Maintain attribution The Google "watermark" you see on each file is essential for informing people about this project and helping them find additional materials through Google Book Search. Please do not remove it.
* Keep it legal Whatever your use, remember that you are responsible for ensuring that what you are doing is legal. Do not assume that just because we believe a book is in the public domain for users in the United States, that the work is also in the public domain for users in other countries. Whether a book is still in copyright varies from country to country, and we can't offer guidance on whether any specific use of any specific book is allowed. Please do not assume that a book's appearance in Google Book Search means it can be used in any manner anywhere in the world. Copyright infringement liability can be quite severe.
About Google Book Search
Google's mission is to organize the world's information and to make it universally accessible and useful. Google Book Search helps readers discover the world's books while helping authors and publishers reach new audiences. You can search through the full text of this book on the web a[nttp: //books . google. con/]
ΣΝ δὲ M te 787. !
DAE
THEONIS SMYRNAEI PHILOSOPHI PLATONICI
EXPOSITIO RERUM MATHEMATICARUM .
AD LEGENDUM PLATONEM UTILIUM.
RECENSUIT
EDUARDUS HILLER.
di
LIPSIAE, IN AEDIBUS B. G. TEUBNEBI.
MDCCCLXXVIII.
fuc A3. 28,7179.
LIPSIAE: TYPIS B. G. TEUBNERI.
FRIDERICO HULTSCHIO
S.
PRAEFATIO.
t À—— r——H——
Theonis Smyrnaei commentarius de rebus mathe- malicis ad legendum Platonem utilibus in duas partes discerptus ad nostram aetatem pervenit; quarum prior (p. 1—119) exstat in codice Veneto bibliothecae Mar- cianae 307 (A), posterior (p. 120—205) in eiusdem bibliothecae codice 303 (B). Hos libros Bonnae ex- eussi, quo transmissi mihi erant intercedente Ottone lahnio praeceptore humanissimo; postea multos locos Venetiis iterum inspexi.
Codex A membranaceus, saeculi XI. vel XIT., formae quadratae, praeter Theonis parlem priorem nihil continet. Librarius in iis quae ad prosodiam pertinent multos commisit errores; veluti saepe SCri- psit, ut pauca adferam, νητή ὄγδοος τετρακτῦς ἴσος δυᾶδος μεταβάσα. Praepositiones saepe carent accen- tibus. Ubi pronominis reflexivi forma requiritur, aut ἑαυτοῦ positum est aut αὐτοῦ, nunquam nisi fallor αὑτοῦ. Promiscue legitur αἰεί eb ἀεί. ὦ nunquam subseribitur, interdum adscribitur. Numeri fere sem- per rubro colore facti sunt.
Quae librarius ille in prosodia peccavit, ea ple- rumque, non ubique, correxit alia manus (À*), quae etiam ἰδέα pro εἰδέα, λεῖμμα pro λίμμα ac similia recte restituit. Graviora quoque nonnulla ab eadem manu mutata inveniuntur. Neque vero eae scripturae ex
VI PRAEFATIO.
alio codice repetendae sunt: nam omnes ita sunt com- paratae, ut facile coniectura sive vera sive falsa in- veniri potuerint. Ceterum cum etiam is qui codicem exaravii multa correxerit et in rasura scripserit, com- pluribus locis non potest accurate cognosci, utrum ad ilam an ad alteram manum mutatio sit? referenda.
De TO B cf. quae disputavi in Philologi vol. XXXI. p. 172 sqq. Chartaceus est, forma maxima, saeculo XIV. vel XV. scriptus. Continet inde a fol. 9a—16b operis huius partem alteram cum figuris ne- glegentissime factis.
Inscriptiones capitum quas Α et B praebent tan- topere discrepant ab indicandi argumenti recta ratione lamque inepte nonnunquam positae sunt, ut ipsius scriptoris quamvis mediocri ingenio iribui non pos- sint. ltaque non in verborum contextu sed in ad- uotatione critica locum iis adsjgnandum esse censui. Cf. Martin, Theo de astr. p. 86.
Ex codicibus À et B ducti sunt omnes quorum ego notitiam habeo libri manu scripti in quibus tota exstat aut prior pars aut posterior; quod ita se ha- bere certis argumentis alio loco mox comprobabo. Adhibitis exemplaribus ex ἃ aut B derivatis priorem partem edidit Bwullaldus (Lut. Par. 1644), posteriorem Martinus (ib. 1849) — versus Alexandri (p. 139 sqq.), quos ex apographo codicis B deseripserat Isaac Vos- sius, iam antea saepius typis expressi erant, cf. adn. ad p. 139 —, denique primam particulam (p. 1—46, 19) de Gelder (Lugd. Bat. 1827). Mihi codices huius generis iis potissimum locis commemorandi fuerunt, ubi antiquae scripturae errores correctos exhibent. Variorum signorum multitudine ne adnotatio prorsus inutiliter oneraretur, ex horum librorum numero eos in quibus emendatae lectiones inveniuntur singillatim indicare nolui, sed communi apographorum appellatione codices ex Α vel B oriundos significavi.
PRAEFATIO. VII
Eam autem particulam huius libri quae legitur p. 46, 20—51, 6 (τοῦ πνεύματος) separatim excerptam complures codices praebent, in quorum archetypum iransscripta esse videtur ex libro ab A diverso. Huius generis exemplaria sunt codex Venetus Marcianus 512 saeculi XIII. vel XIV., Riecardianus K 2, 2, 41 saec. XV., Neapolitanus 260 sive III C 2 saec. XV. vel XVI, Vaticanus 221 saec. XVI., Vaticanus Urbinas 77 saec. XVI, Barberinianus II 86 saec. XVI. Fragmentum Theonis ex Marciano in usum meum insigni comitate descripsit Hermannus Diels; ex Neapolitano nonnulla mihi notaverunt Friderieus de Duhn et Georgius Kaibel; ceteros ipse cum editione Bullialdi contuli. Ex eodem genere is codex fuit quo Manuel Bryennius usus est: cf. eius Harmon. p. 393 sqq. His igitur libris inter se comparatis quid in eorum archetypo (Z) scriptum fue- ribi facile cognosci potest.
Ad emendandos versus Álexandri praeter codicem Mareianum B adhibui eiusdem bibliothecae codicem 208 (C) chartaceum saeculi XIII., in cuius ultimo folio (230) poema illud exstat praescripto titulo ᾿“λεξάνδρου Αἰτωλοῦ περὶ τῶν πλανητῶν. Librarius eo exemplari usus esse videtur ex quo B descriptus est.
Compluribus locis ad restituenda Theonis verba utilitatem praebet Chalcid5 in Platonis Timgeum com- mentarius, propterea quod uterque scriptor Adrasti Peripatetici commentarium in usum suum convertit partesque eius haud exiguas accurate expressit: cf. Rhein. Mus. XXVI p. 582 sqq.
Laeunarum quarum signa in contextu verborum posui vestigia in codicibus iis tantum locis exstant, ubi id diserte a me indicatum est. Uncis obliquis 4 » ea inclusi quae traditae lectioni addenda, quadratis [ ] ea quae delenda esse mihi videntur. Ad signifi- candas eas prioris manus cod. Α scripturas quae ab A? mutatae sunt nota Α΄ usus sum. Asteriscum * appo-
VII PRAEFATIO.
sui scripturis libri B a Martino correctis. Omnibus vero iis locis, quibus emendationis sive in adnotatione propositae sive in verborum ordinem receptae aucto- rem vel fontem non indicavi — sunt autem fere CCCCL —, emendationem a me coniectura esse in- ventam sciendum est. Ceterum in mutanda íradita lectione caute erat progrediendum; multa enim quae perverse vel neglegenter dicta esse apparet quin ipsius 'lheonis inscitiae levitatique tribuenda sint dubitari nequit. Praecipue loci Platonici in praefationem re- cepti (p. 2—14) reliquas operis partes tantopere supe- rant vitiorum multitudine ac foeditate, ut ea omnia ad librariorum errores referenda esse prorsus sit in- credibile. In his igitur quia accurate diiudieari nullo modo potest, quid librarii peccaverint, quid 'Theo, deni- que quid iam in Platonis exemplaribus a Theone ad- hibitis corrupte scriptum fuerit, errores intactos relin- quere quam facili atque inutili negotio genuina Platonis verba hic illic restituere malui. Notas codicum Rei- publieae ex Schneideri, Epinomidis ex Bekkeri editione mutuatus sum.
Reliquum est ut gratias agam quam maximas Friderico Hwltschio viro clarissimo, qui accuratissime perlectis his plagulis complures emendationes aut cer- tas aut probabiles quarum in addendis mentionem feci (cf. etiam adn. ad p. 15, 17. 22, 17. 25, 20) mecum communicavit.
Ser. Halae mense Octobri a. 1878.
THEO SMYRNAEUS.
— ——— ——— —
4
Ὅτι μὲν οὐχ οἷόν τὸ συνεῖναι τῶν μαϑηματικῶς λεγομένων παρὰ Πλάτωνι μὴ καὶ αὐτὸν ἠσκημένον ἐν τῇ ϑεωρίᾳ ταύτῃ, πᾶς ἄν που ὁμολογήσειεν᾽ ὡς δὲ οὐδὲ τὰ ἄλλα ἀνωφελὴς οὐδὲ ἀνόνητος ἡ περὶ ταῦτα ἐμπειρία, διὰ πολλῶν αὐτὸς ἐμφανέξειν ἔοικδ. τὸ μὲν δ οὖν συμπάσης γεωμετρίας καὶ συμπάσης μουσικῆς καὶ ἀστρονομέας ἔμπειρον γενόμενον τοῖς Πλάτωνος συγ- γράμμασιν ἐντυγχάνειν μακαριστὸν μὲν εἴ τῳ γένοιτο, οὐ μὴν εὔπορον οὐδὲ ῥάδιον ἀλλὰ πάνυ πολλοῦ τοῦ ἐκ παίδων πόνου δεόμενον. ὥστε δὲ τοὺς διημαρτηκό- 10 τας τοῦ ἐν τοῖς μαϑήμασιν ἀσκηϑῆναι, ὀρεγομένους δὲ τῆς γνώσεως τῶν συγγραμμάτων αὐτοῦ μὴ παντάπασιν ὧν ποϑοῦσι διαμαρτεῖν, κεφαλαιώδη καὶ σύντομον ποιησόμεϑα τῶν ἀναγκαίων καὶ ὧν δεῖ μάλιστα τοῖς ἐντευξομένοις Πλάτωνι μαϑηματικῶν ϑεωρημάτων παρά- 15 δοσιν, ἀρυϑμητικῶν τε καὶ μουσικῶν καὶ γεωμετρικῶν τῶν τε κατὰ στερεομετρίαν καὶ ἀστρονομίαν, ὧν χωρὶς
, Iscr. Θέωνος Σμυρναίου Πλατωνικοῦ τῶν κατὰ τὸ τὸ Supra vs.) μαθηματικὸν χρησέμων εἰς τὴν Πλάτωνος ἀνάγνωσιν A 1 iuscr. ὅτε ἀναγκαῖα τὰ Bog wee Α
2 ἠσκημένον: ov corr. ex ὧν À — 4 οὐδὲ τὰ d.] οὔτε τὰ &. À
τὸ COIT. eX τὸν À 6 γεωμετρίας: καὶ ἀρνϑμητικῆς add. meontior manus in apogr. fort. recte 10 σκοπὸς τοῦ βιβλέου mg
em
Theo Smyrn. : 1
2 DE UTILITATE
οὐχ οἷόν τε εἶναί φησι τυχεῖν vov ἀρίστου βίου, διὰ πολ- λῶν πάνυ δηλώσας ὡς οὐ χρὴ τῶν μαϑημάτων ἀμελεῖν. ᾿Ερατοσϑένης μὲν γὰρ ἐν τῷ ἐπιγραφομένῳ Πλα- τωνικῷ φησιν ὅτι, Ζ]ηλίοις τοῦ ϑεοῦ χρήσαντος ἐπὶ 5 ἀπαλλαγῇ λοιμοῦ βωμὸν τοῦ ὄντος διπλασίονα κατα- σκευάσαι, πολλὴν ἀρχιτέκτοσιν ἐμπεσεῖν ἀπορίαν ξη- τοῦσιν ὅπως χρὴ στερεὸν στερεοῦ γενέσϑαι διπλάσιον, ἀφικέσϑαι τε πευσομένους περὶ τούτου Πλάτωνος. τὸν 0b φάναι αὐτοῖς, ὡς ἄρα οὐ διπλασίου βωμοῦ ὁ ϑεὸς 10 δεόμενος τοῦτο Ζ]ηλίοις ἐμαντεύσατο, προφέρων δὲ καὶ ὀνειδίξων τοῖς Ἕλλησιν ἀμελοῦσι μαϑημάτων καὶ γεω- μετρίας ὠλιγωρηκόσιν. ἀκολούϑως δὲ τῇ τοῦ Πυϑίου παραινέσει πολλὰ καὶ * αὐτὸς διέξεισιν ὑπὲρ τοῦ ἐν τοῖς μαϑήμασι χρησίμου. ἔν 15 τὲ γὰρ τῇ Ἐπινομίδι προτρέπων ἐπὶ τὰ μαϑήματά φησιν" οὐ γὰρ ἄνεν τούτων ποτέ τις ἐν πόλει εὐδαιμόνων γενήσεται φύσις, ἀλλ᾽ οὗτος ὁ τρόπος, αὕτη ἡ τροφή, ταῦτα τὰ μαϑήματα, εἴτε χαλεπὰ εἴτε ῥάδια, διὰ ταύ- της ἱτέον᾽ ἀμελῆσαι δὲ ov ϑεμιτόν ἐστι ϑεῶν. καὶ ἐν 30 τοῖς ἐφεξῆς τὸν τοιοῦτόν φησιν ἐκ πολλῶν ἕνα γεγονότα εὐδαίμονά τε ἔσεσϑαι καὶ σοφώτατον ἅμα καὶ μακάριον. ἐν δὲ τῇ Πολιτείᾳ φησίν" ἐκ τῶν κε΄ ἐτῶν ol προ- κριϑέντες τιμάς τε τῶν ἄλλων μείξους οἴσονται, τά v6
8 ᾿Ερατοσϑένης: Bernhardy Eratosthenica p. 168. cf. Phi- lol. XXX p. 67 12 ὠλιγορηκόσιν A, em. apogr. 16 Epin. p. 992 Α ov γὰρ ἄνευ ys (γε om. Nicom. introd. arithm. I 8, δ) τούτων μήποτέ τις ἐν πόλεσιν εὐδαίμων (εὐδαιμόνων codd. duo, εὐδαιμονῶν unus) γένηται φύσις, ἀλλ᾽ οὗτος ὃ τρόπος, αὕτη (ἡ add. Ast) τροφή, ταῦτα τὰ μαϑήματα, εἴτε χαλεπὰ εἴτε ῥάδια, ταύτῃ πορευτέον (ἱτέον Nicom.)' ἀμελῆσαι δὲ οὐ ϑεμιτόν ἐστι ϑεῶν εὐδαιμονῶν Α 17 φύς A, tum duae litt. erasae 20 Epin. p. 992 B 22 Civ. VII p. 637 B κέ] εἴκοσιν Plato. cf. Schneider ὥχ8 μείζους τῶν ἄλλων Plato .
MATHEMATICAE. 3
χύδην μαϑήματα πᾶσιν ἐν τῇ παιδείᾳ γενόμενα τούτοις συνακτέον εἰς σύνοψιν οἰκειότητός τε ἀλλήλων τῶν μαϑημάτων καὶ τῆς τοῦ ὄντος φύσεως. παραινεῖ T6 πρῶτον μὲν ἔμπειρον γενέσϑαι ἀριϑμητικῆς, ἔπειτα γεω- μετρικῆς. τρίτον δὲ στερεομετρίας, τέταρτον ἀστρονο- μέας, ἥν φησιν εἶναι ϑεωρίαν φερομένου στερεοῦ, πέμ- zvov δὲ μουσικῆς. TO vs χρήσιμον παραδεικνὺς τῶν μαϑημάτων φησίν" ἡδὺς εἶ, ὅτι ξοικας δεδιέναι, μὴ ἄχρηστα và μαϑήματα προστάττοιμι. τὸ δ᾽ ἔστιν οὐ πάνυ φαύλοις, ἀλλὰ πᾶσι χαλεπὸν πιστευϑῆναι, ὅτι ἐν τούτοις τοῖς μαϑήμασιν ἑκάστου οἷον ὀργάνοις τὸ ψυ- χῆς ἐχκαϑαίρεται καὶ ἀναξωπυρεῖται ὄμμα τυφλούμενον καὶ ἀποσβεννύμενον ὑπὲ τῶν ἄλλων ἐπιτηδευμάτων, κρεῖττον ὃν σωϑῆναι μυρίων ὀμμάτων" μόνῳ γὰρ αὐτῷ ἀλήϑεια ὁρᾶται.
ἐν δὲ τῷ ἑβδόμῳ τῆς Πολιτείας περὶ ἀριϑμητικῆς λέγων ὡς ἔστιν ἀναγκαιοτάτη πασῶν φησιν, ἔπειτα ἧς
1 παισὶν Plato. cf. H. Heller curae crit, in Plat. de republ. libros p. 16 παιδείᾳ corr. ex παιδιᾷ Α (παιδιᾷ Platonis codd. tres) 2 οἰκειότητος ἀλλήλων Plato (οἰκειότητός τε ἀλλήλων codd. ires) 8 cf. Civ. p. 525 sqq. παραινέσει À, em. apogr. 8 Civ. p. 527 D ἡδὺς εἶν ἦν ὃ ἐγώ, ὅτι ἔοικας δε- διότι τοὺς πολλούς, μὴ δοπῇς (ὅτι ἔοικας δεδιέναι, μὴ ἄρα Ni- com. I 3, 1) ἄχρηστα μαϑήματα (τὰ μαϑήματα cod. Par. K, ταῦτα τὰ ᾿μαϑήματα Nicom.) προστάττειν (προστάττοιμι Nicom.). τὸ δ᾽ ἔστιν οὐ πάνυ φαῦλον ἀλλὰ χαλεπὸν πιστεῦσαι (παγχάλε- πον Nicom.), ὅτι ἐν τούτοις τοῖς μαϑήμασιν ἑκάστου ὄργανόν τι ψυχῆς ἐκκαϑαίρεταί τε καὶ ἀναξωπυρεῖται (ὄμμα τῆς ψυχῆς exstab etiam apud Nicom., ubi haec contracta sunt, cf. Alcin. 27 p. 180 Herm., Iambl. de vita Pyth. $ 70, Boeth. Inst. arithm, I 1 p. 10 Friedl.) ἀπολλύμενον καὶ τυφλούμενον ὑπὸ xr. 9 τὰ
"d καὶ προστάττοιμι ἔοχῦ. add. ab ΑΣ προστάττοιμι αὶ 10 φαύλοις: L in ras. Α 11 cf. Cobet, Mnemos. XI p. 177. Wex, Jahrb. f. Philol. 1863 p. 692 sqq. 1864 p. 381 12 ὄμμα in ras. A 16 Gv. p. 522 C 1*
15
5
4 DE UTILITATE
δεῖ πάσαις μὲν τέχναις, πάσαις δὲ διανοίαις καὶ ἐπιστή- μαις καὶ τῇ πολεμικῇ. παγγέλοιον γοῦν στρατηγὸν
"Ayauduvova ἐν ταῖς τραγῳδίαις Παλαμήδης ἑκάστοτε
ἀποφαίνει. φησὶ γὰρ ἀριϑμὸν εὑρὼν τάς τε τάξεις καταστῆσαι τῷ στρατοπέδῳ ἐν Ἰλίῳ καὶ ἐξαριϑμῆσαι ναῦς τε καὶ τὰ ἄλλα πάντα, ὡς πρὸ τοῦ ἀναριϑμήτων ὄντων καὶ τοῦ ᾿Δγαμέμνονος ὡς ἔοικεν οὐδὲ ὕσους εἶχε πόδας εἰδότος, sl'ye, μὴ ἠπίστατο ἀριϑμεῖν. κινδυνεύει οὖν τῶν πρὸς νόησιν ἀγόντων φύσει slvai, καὶ οὐδεὶς
1 αὐτῷ χρῆται ἑλκτικῷ ὄντι πρὸς οὐσίαν καὶ νοήσεως
παρακλητικῷ. ὅσα μὲν γὰρ ἁπλῶς κινεῖ τὴν αἴσϑησιν, οὐκ ἔστιν ἐπεγερτικὰ καὶ παρακλητικὰ νοήσεως, οἷον ὅτι ὁ ὁρώμενος δάκτυλός ἐστι, καὶ ὅτι παχὺς ἢ λεπτὸς ἢ μέγας ἢ μικρός. ὅσα δ᾽ ἐναντίως κινεῖ αἴσϑησιν,
15 ἐπεγερτικὰ καὶ παρακλητικά ἐστι διανοίας, οἷον ὅταν τὸ
2
e
αὐτὸ φαίνηται μέγα καὶ μικρόν, κοῦφον xal βαρύ, ἕν καὶ παλλά. καὶ τὸ ἕν οὖν καὶ ó ἀρυϑμὸς παρακλητικὰ καὶ ἐπεγερτικά ἐστι διανοίας, ἐπεὶ τὸ ἕν ποτε πολλὰ φαίνεται" λογιστικὴ δὲ καὶ ἀριϑμητικὴ ὁλκὸς καὶ ἀγω- γὸς πρὸς ἀλήϑειαν. ἁπτέον δὲ λογιστικῆς μὴ ἰδιωτικῶς,
2 παγγέλοιον: yy ex vy À (πανγέλοιον Platonis cod. Vind. F) 8 παλαμίδης À 4 ἀποφαίνει. ἡ οὐκ ἐννενόηκας, ὅτι φησὶν ἀριϑμὸν εὕρω» τάς ve τάξεις τῷ στρατοπέδῳ καταστῆσαι ἐν Ἰλίῳ Plato 7 6ócovg π. εἶχεν si. εἴπερ ἀρ. μὴ ἠπ. Plato μὴ ἡἠπί- στατο COrr. ex μὴ τίστατὸ À Civ. p. δ28 Α κινδυνεύει τῶν πρὸς τὴν νόησιν ἀγόντων φύσει εἶναι ὧν ξητοῦμεν, χρῆσθαι δ᾽ οὐδεὶς αὐτῷ ὀρϑῶς, ἐλκτικῷ ὄντι παντάπασι πρὸς οὐσίαν 10 νοήσεως παρακλητικῷ: cf. Civ. p. 623 D 19 δὲ] δὴ Stall- baum ad Plat. Civ. p. 028 αὶ 920 Civ. p. 525 B προσῆκον δὴ ᾿ τὸ μάϑημα ἂν εἴη, Ó Γλαύκων, νομοθετῆσαι καὶ πείθειν τοὺς μέλλοντας ἐν τῇ πόλει τῶν μεγίστων μεϑέξειν, ἐπὶ λογιστικὴν ἰέναι καὶ ἀνθάπτεσϑαι αὐτῆς μὴ ἰδιωτικῶς, ἀλλ᾽ ἕως ἂν ἐπὶ ϑέαν τῆς τῶν ἀριθμῶν φύσεως ἀφίκωνται τῇ νοήσει αὐτῇ, οὐκ ὠνῆς οὐδὲ πράσεως χάριν ὡς ἐμπόρους ἢ καπήλους μελετῶντας,
MATHEMATICAE. 5
ἀλλ᾽ ὡς ἂν ἐπὶ ϑέαν τῆς τῶν ἀριθμῶν φύσεως ἀφίκων- ταὶ τῇ νοήσει, οὐδέ πράσεως χάριν ἐμπόρων 1] καπή- λων μελετῶντας, ἀλλ᾽ ἕνεκα ψυχῆς τῆς ἐπ᾽ ἀλήϑειαν καὶ οὐσίαν ὁδοῦ. τοῦτο γὰρ ἄνω ἄγει τὴν ψυχὴν καὶ
περὶ αὐτῶν τῶν ἀριϑμῶν ἀναγκάξει διαλέγεσθαι. οὐκ 5
ἀποδεχόμενον, ἄν τις αὐτῷ σώματα ἢ αὖ τὰ ὁρατὰ ἔχοντα ἀρυϑμοὺς προσφερόμενος διαλέγηται. καὶ πάλιν ἐν τῷ αὐτῷ φησιν ἔτι οἵ λογιστικοὶ εἰς ἅπαντα τὰ μαϑήματα ὀξεῖς φύονται, οἵ vs βραδεῖς εἰς τὸ ὀξύτε-
Qo, αὐτοὶ αὑτῶν γενέσθαι. ἔτι ἐν τῷ αὐτῷ φησι" καὶ τὸ
ἐν πολέμῳ δ᾽ αὖ χρήσιμον πρὸς τὰς στρατοπεδεύσεις καὶ καταλήψεις χωρίων καὶ ξυναγωγὰς καὶ ἐξετάσεις στρατιᾶς. ἔν τε τοῖς ἑξῆς ἐπαινῶν τὴν περὶ τὰ τοιαῦτα μαϑήματα σπουδήν, γεωμετρία μέν, φησίν, ἐστὶ περὶ 1 “- . ) - a « τὴν τοῦ ἐπιπέδου θεωρίαν, ἀστρονομία δὲ περὶ τὴν τοῦ στερεοῦ φοράν᾽ αὕτη δ᾽ ἀναγκάξει εἰς τὸ ἄνω ὁρᾶν καὶ ἀπὸ τῶν ἐνθένδε ἐκεῖσε ἄγει. καὶ μὲν δὴ περὶ μουσι- κῆς ἐν τῷ αὐτῷ φησιν, ὅτι δυεῖν δεῖται ἡ τῶν ὄντων ἀλλ᾽ ἕνεκα πολέμου τε καὶ αὐτῆς τῆς ψυχῆς ῥᾳστώνης ve (vs om. codd. multi) μεταστροφῆς ἀπὸ γενέσεως ἐπ᾽ ἀλήϑειαν ve (ve ἐπ᾿ d. codd. complures) καὶ οὐσίαν 4 Civ. p. 525 D τοῦτό γὲ — ὡς σφόδρα ἄνω ποι ἄγει τὴν ψυχὴν xol περὶ αὐτῶν τῶν ἀριϑμῶν ἀναγκάξει διαλέγεσθαι, οὐδαμῇ ἀποδεχόμενον, ἐὰν τις αὐτῇ ὁρατὰ ἢ ἁπτὰ (ἢ ἀπὸ τὰ codd. duo, ἢ τοὺς τὰ unus) σώματα ἔχοντας (ἔχοντα codd. tres) ἀριϑμοὺρ προτεινόμενος διαλέγηται
8 Civ. p. 626 B τόδε ἤδη ἐπεσκέψω, ὡς οἵ τε φύσει λογιστικοὶ εἰς πάντα τὰ μαθήματα ὡς ἔπος εἰπεῖν ὀξεὶς φύονται, of τὸ βραδεῖς, ἂν ἐν τούτῳ "παιδευϑῶσι καὶ γυμνάσωνται, κἂν μηδὲν αλλο ὠφεληϑῶσιν, ὅμως εἴς γε τὸ ὀξύτεροι αὐτοὶ αὑτῶν yiyve- σϑαι πάντες ἐπιδιδόασιν; 10 Civ. p. 626 D ὅσον μέν, ἔφη, πρὸς τὰ πολεμικὰ αὐτοῦ τείνει, δῆλον ὅτι προσήκει" πρὸς γὰρ τας στρατοπεδεύσεις καὶ καταλήψεις χωρίων καὶ συναγωγὰς καὶ χτάσεις στρατιὰς — 16 Civ. p. 529 Α παντὶ γάρ μοι δοκεῖ δῆλον, ὅτι αὕτη γε ἀναγκάζει ψυχὴν εἰς τὸ ἄνω ὁρᾶν καὶ ἀπὸ τῶν ἐνθένδε ἐκεῖσε ἄγει 18 δυεῖν corr. ex δυοῖν À
6 DE UTILITATE
ϑεωρία, ἀστρονομίας καὶ ἁρμονίας" καὶ αὗται ἀδελφαὶ αἱ ἐπιστῆμαι, ὡς οἱ Πυϑαγορικοί. οἱ μὲν οὖν τὰς ἀκονομένας συμφωνίας αὖ καὶ φϑόγγους ἀλλήλοις ἀνα- μετροῦντες ἀνήνυτα πονοῦσι. τελείως παραβάλλοντες s tà ὦτα, οἷον ἐκ γειτόνων φωνὴν ϑηρώμενοι, οἵ μέν φασιν ἀκούειν ἐν μέσῳ τινὰ ἦχον καὶ μικρότατον εἶναι διάστημα τοῦτο, ᾧ μετρητέον, of δὲ ἀμφισβητοῦσιν ὡς ὅμοιον ἤδη qOtyyouévov, τὰ ὦτα τοῦ νοῦ προστησά- μενοι. ταῖς χορδαῖς πράγματα παρέχουσιν ἐπὶ τῶν κολλά- 10 βὼν στρεβλοῦντες. οἵ δὲ ἀγαϑοὶ ἀρυϑμητικοὶ ξητοῦσιν ἐπισκοποῦντες, τίνες σύμφωνοι ἀριϑμοὶ ἀριϑμοῖς καὶ τίνες οὔ. καὶ τοῦτο χρήσιμον πρὸς τὴν τοῦ ἀγαθοῦ
1 Civ. p. 530 D — καὶ αὗται ἀλλήλων ἀδελφαί τινες al ἐπι- στῆμαι εἷναι, ὡς of τε Πυϑαγόρειοί φασι --- 2 Civ. p. 531 A τὰς γὰρ ἀκουομένάς αὖ συμφωνίας καὶ φϑόγγους ἀλλήλοις ἄνα- μετροῦντες ἀνήνυτα ὥσπερ οἵ ἀστρονό ον πονοῦσι. νὴ τοὺς ϑεούς, ἔφη, καὶ “γελοίως 8, πυκνώματ ἄττα ὀνομάξοντες καὶ παραβάλλοντες τὰ ὦτα, ο olo» ἐ ix γειτόνων φωνὴν ϑηρευόμενοι, οἵ μὲν φασιν ἔτι (ἔτι om. codd. tres) κατακούειν ἐν μέσῳ τινὰ
ἠχὴν καὶ σμικρότατον εἶναι τοῦτο διάστημα, ^ μετρητέον, oí
ἀμφισβητοῦντες ὡς ὅμοιον ἤδη φϑεγγομένων (φϑεγγόμενον codd. duo), ἀμφότεροι ὦτα τοῦ νοῦ προστησάμενοι. σὺ μέν, ἦν δ᾽ ἐγώ, τοὺς χρηστοὺς λέγεις τοὺς ταῖς χορδαῖς πράγματα παρ- ἔχοντας καὶ βασανίξοντας, ἐπὶ τῶν κολλόπων (κολάβων, καλλό-
πων, κολλόπων ali: cf. Tim. lex.) στρεβλοῦντας 4 ἀνήνυτα v COrr. ex οὐ À 6 ἐκ corr. ex ἐγ ἃ 7 μετρητέον: y corr. ex v À 11 Civ. p. 631 C τοὺς γὰρ ἐν ταύταις ταῖς
συμφωνέαις ταῖς ἀκουομέναις ἀριϑμοὺς ξητοῦσιν, ἀλλ᾽ οὐκ εἰς προβλήματα ἀνίασιν ἐπισκοπεῖν, mes ξύμφωνοι ἀριϑμοὶ καὶ τίνες οὖ, καὶ διὰ τί ἑκάτεροι... ὄνιον γάρ, ἔφη, πρᾶγμα λέγεις. χρήσιμον μὲν οὖν, ἦν δ᾽ d. πρὸρ τὴν τοῦ καλοῦ τε καὶ “ἀγαθοῦ ξητησιν ἄλλως δὲ εταδιωκόμενον ἄχρηστον. εἰκός γ᾽, ἔφη. οἶμαι δὲ γε, ἦν δ᾽ ἐγώ, καὶ ἡ τούτων πάντων ὧν διεληλυϑαμεν μέϑοδος ἐὰν μὲν ἐπὶ τὴν ἀλλήλων δοινω- νίαν ἀφέκηται καὶ ξυγγένειαν, καὶ ξυλλογισϑῇ ταῦτα ἢ ἐστιν ἀλλήλοις οἰκεῖα, φέρειν τι αὐτῶν εἰς ἃ βουλόμεϑα τὴν πραγμα- τείαν. cf. Schneider
MATHEMATICAE. d
καὶ καλοῦ ξήτησιν, ἄλλως δὲ ἄχρηστον. καὶ τούτων πάντων ἡ μέϑοδος ἂν μὲν ἐπὶ τὴν ἀλλήλων ἀφίκηται κοινωνίαν καὶ ξυλλογισϑῆ 1j ἐστιν ἀλλήλοις οἰκεῖα, φέ- ρει αὐτῶν ἡ πραγματεία καρπόν. οἵ δὲ ταῦτα δεινοὶ διαλεχτικοέ᾽ οὐ γὰρ μὴ δύνωνται λαβεῖν vs καὶ ἀπο- δέξασϑαι λόγον. οὐχ οἷόν τε δὲ τοῦτο μὴ δι᾽ ἐκείνων ἐλθόντα τῶν μαϑημάτων᾽ ὁδὸς γάρ ἐστι δι᾽ αὐτῶν ἐπὶ τὴν τῶν ὄντων ϑέαν ἐν τῷ διαλέγεσθαι.
πάλιν vs ἐν τῷ ᾿Επινομίῳ πολλα μὲν καὶ ἄλλα ὑπὲρ ἀριϑμητικῆς διεξέρχεται, ϑεοῦ δῶρον αὐτὴν λέγων, καὶ οὐχ olov τε ἄνευ ταύτης σπουδαῖον γενέσϑαι τίνά. ὑπο- βὰς δὲ ἄντικρύς φησιν᾽ εἴπερ γὰρ ἀριϑμὸν ἐκ τῆς ἀν- ϑρωπίνης φύσεως ἐξέλοιμεν, οὐκ ἄν που ἔτι φρόνιμοι γενοίμεϑα, οὐδ᾽ ἂν ἔτι ποτὲ τούτου τοῦ (oov, φησίν, ἢ ψυχὴ πᾶσαν ἀρετὴν Adfov σχεδὸν ὁ τούτου λόγος εἴη. ξῷον δὲ ὅ τι μὴ γινώσκοι δύο καὶ τρία μηδὲ πε- ριττὸν μηδὲ ἄρτιον, ἀγνοοῖ δὲ τὸ παράπαν ἀριϑμόν, οὐκ ἂν ποτὲ διδόναι λόγον, περὶ ὧν αἰσϑήσεις καὶ μνήμας
4 Civ. p. 531 D οὐ ydg που δοκοῦσί γε σοι oí ταῦτα δει- νοὶ διαλεκτικοὶ εἶναι. οὐ μὰ τὸν AU, ἔφη, εἰ μὴ μάλα γέ τινες ὀλίγοι ὧν ἐγὼ ἐντετύχηκα. ἀλλ᾽ in , εἶπον, wn δυνατοί τινες ὄντες δοῦναί τε καὶ ἀποδέξασθαι λόγον εἴσεσϑαί ποτέ τι ὧν
φαμὲν δεῖν εἰδένχι; 6. ἐπ᾽ αὐτῶ post ἐκεένων A, sed de- lenda haec esse punctis significatum est 8 cf. Civ. p. 532 C 10 cf. Epin. p. 976 DE 11 ὑποβὰς corr. ex ὑπερβὰς A 12 Epin. p. 977 C εἴπερ ἀριθμὸν ἐκ τῆς ἀνθρωπίνης φύσεως ἐξέλοιμεν, οὐκ ἄν ποτέ τι φρόνιμοι γενοίμεθα. οὐ γὰ ἂν ἔτι ποτὲ ψυχὴ τούτου τοῦ ξῴου πᾶσαν ἀρετὴν λάβοι σχεδόν, ὅτου λόγος ἀπείη. ξῷον δέ , ὅ τι μ γιγνώσκοι δυο καὶ τρία “μηδὲ περιττὸν μηδὲ ἄρτιον, ἀγνοοῖ ὃ δ τὸ παρ ἅπαν ἀριϑμόν, οὐκ ἄν ποτε διδόναι λόγον ἔχοι περὶ ὧν αἰσθήσεις καὶ μνήμας μόνον εἴη κεκτημένον' τὴν δὲ ἄλλην ἀρετ Ἵν, ἀνδρείαν καὶ σωφροσύ- νην, οὐδὲν ἀποκωλύει" στερόμενος ὃ ἀληϑοῦς λόγου σοφὸς οὐκ ἄν ποτε γένοιτο 16 γὰρ post σχεδὸν supra vs. add. A?
οι
[i
Ὅτι μὲν ovy οἷόν τε συνεῖναι τῶν μαϑηματικῶς λεγομένων παρὰ Πλάτωνι μὴ καὶ αὐτὸν ἠσκημένον ἐν τῇ ϑεωρίᾳ ταύτῃ, πᾶς ἄν που ὁμολογήσειεν ὡς δὲ οὐδὲ τὰ ἄλλα ἀνωφελὴς οὐδὲ ἀνόνητος ἡ περὶ ταῦτα ἐμπειρία, διὰ πολλῶν αὐτὸς ἐμφανίξειν ἔοικδ. τὸ μὲν δ οὖν συμπάσης γεωμετρίας καὶ συμπάσης μουσικῆς καὶ ἀστρονομίας ἔμπειρον γενόμενον τοῖς Πλάτωνος συγ- γράμμασιν ἐντυγχάνειν μακαριστὸν μὲν εἴ τῷ γένοιτο, οὐ μὴν εὔπορον οὐδὲ ῥάδιον ἀλλὰ πάνυ πολλοῦ τοῦ ἐκ παίδων πόνου δεόμενον. ὥστε δὲ τοὺς διημαρτηκό- 10 τας τοῦ ἐν volg μαϑήμασιν ἀσκηϑῆναι, ὀρεγομένους δὲ τῆς γνώσεως τῶν συγγραμμάτων αὐτοῦ μὴ παντάπασιν ὧν ποϑοῦσι διαμαρτεῖν, κεφαλαιώδη καὶ σύντομον ποιησόμεθα τῶν ἀναγκαίων καὶ ὧν δεῖ μάλιστα τοῖς ἐντευξομένοις Πλάτωνι μαϑηματικῶν ϑεωρημάτων παρά- 15 δοσιν, ἀρυιϑμητικῶν τε καὶ μουσικῶν καὶ γεωμετρικῶν τῶν τε κατὰ στερεομετρίαν καὶ ἀστρονομίαν, ὧν χωρὶς
Inscr. Θέωνος Σμυρναίου Πλατωνικοῦ τῶν κατὰ τὸ (τὸ Bupra vs.) μαθηματικὸν χρησίμων εἰς τὴν Πλάτωνος ἀνάγνωσιν Α 1 inscr. ὅτι ἀναγκαῖα τὰ νμαϑήματα Α 2 ἠσκημένον: ov corr. ex ov ἃ — 4 οὐδὲ τὰ &.] οὔτε τὰ &. A. 6 τὸ corr. ex τὸν À 6 γεωμετρέας: καὶ ἀρυϑμητικῆς add. recentior manus in apogr. fort. recte 10 exozoóg τοῦ βιβλίου mg. À Theo Smyrn. 1
2 DE UTILITATE
ovy οἷόν vs εἶναί φησι τυχεῖν τοῦ ἀρίστου βίου, διὰ πολ- λῶν πάνυ δηλώσας ὡς οὐ χρὴ τῶν μαϑημάτων ἀμελεῖν. Ἐρφατοσϑένης μὲν γὰρ év τῷ ἐπιγραφομένῳ IlAa- τωνικῷ φησιν ὅτι, 4ηλίοις τοῦ ϑεοῦ χρήσαντος ἐπὶ 5 ἀπαλλαγῇ λοιμοῦ βωμὸν τοῦ ὄντος διπλασίονα κατα- σκευάσαι, πολλὴν ἀρχιτέκτοσιν ἐμπεσεῖν ἀπορίαν ξη- τοῦσιν ὅπως χρὴ στερεὸν στερεοῦ γενέσϑαι διπλάσιον, ἀφικέσϑαι τε πευσομένους περὶ τούτου Πλάτωνος. τὸν δὲ φάναι αὐτοῖς, ὡς ἄρα οὐ διπλασίου βωμοῦ ὁ ϑεὸς 10 δεόμενος τοῦτο Ζ]ηλίοις ἐμαντεύσατο, προφέρων δὲ καὶ ὀνειδίξων τοῖς Ἕλλησιν ἀμελοῦσι μαϑημάτων καὶ γεω- μετρίας ὠλιγωρηκόσιν. ἀκολούϑως δὲ τῇ τοῦ Πυϑίου παραινέσει πολλὰ καὶ * αὐτὸς διέξεισιν ὑπὲρ τοῦ ἐν τοῖς μαϑήμασι χρησίμου. ἔν 16 τὸ γὰρ τῇ Ἐπινομίδι προτρέπων ἐπὶ τὰ μαϑήματά φησιν᾽ οὐ γὰρ ἄνευ τούτων ποτέ τις ἐν πόλει εὐδαιμόνων γενήσεται φύσις, ἀλλ᾽ οὗτος ὁ τρόπος, αὕτη ἡ τροφή, ταῦτα τὰ μαϑήματα, εἴτε χαλεπὰ εἴτε ῥάδια, διὰ ταύ- της ἰτέον᾽ ἀμελῆσαι δὲ ov ϑεμιτόν ἐστι ϑεῶν. καὶ ἐν 30 τοῖς ἐφεξῆς τὸν τοιοῦτόν φησιν ἐκ πολλῶν ἕνα γεγονότα εὐδαίμονά ze ἔσεσϑαι καὶ σοφώτατον ἅμα καὶ μακάριον. ἐν δὲ τῇ Πολιτείᾳ φησίν᾽ ἐκ τῶν κε΄ ἐτῶν οἵ προ- κριϑέντες τιμάς τε τῶν ἄλλων μείζους οἴσονται, τά τε
8 ᾿Ερατοσϑένης: Bernhardy Eratosthenica p. 168. cf. Phi- lol XXX p. 67 12 ὠλιγορηκόσιν À, em. apogr. — 15 Epimn. p. 992 Α οὐ γὰρ ἄνευ γε (γε om. Nicom. introd. arithm. I 8, 5) τούτων μήποτέ τις ἐν πόλεσιν εὐδαίμων (εὐδαιμόνων codd. duo, εὐδαιμονῶν unus) γένηται φύσις, ἀλλ᾽ οὗτος ὃ τρόπος, αὕτη (ἡ add. Ast) τροφή, ταῦτα τὰ μαϑήματα, εἴτε χαλεπὰ εἶτε adiu, ταύτῃ πορευτέον (ἰτέον Nicom.)' ἀμελῆσαι δὲ οὐ ϑεμιτόν ἐστι ϑεῶν εὐδαιμονῶν À 17 φύς Α, tum duae litt. erasae 20 Epin. p. 992 B 22 Civ. VII p. 687 B κέ] εἴκοσιν Plato. cf, Schneider 23 μείξους τῶν ἄλλων Plato .
MATHEMATICAE. 9
χύδην μαϑήματα πᾶσιν ἐν τῇ παιδείᾳ γενόμενα τούτοις συνακτέον εἰς σύνοψιν οἰκειότητός τε ἀλλήλων τῶν μαϑημάτων καὶ τῆς τοῦ ὄντος φύσεως. παραινεῖ T6 πρῶτον μὲν ἔμπειρον γενέσϑαι ἀριϑμητικῆς, ἔπειτα γεω- μετρικῆς, τρίτον δὲ στερεομετρίας, τέταρτον ἀστρονο- μέας, ἥν φησιν εἶναι ϑεωρίαν φερομένου στερεοῦ, πέμ- πτον δὲ μουσικῆς. TO τε χρήσιμον παραδεικνὺς τῶν μαϑημάτων φησίν" ἡδὺς εἶ, ὅτε ξοικας δεδιέναι, μὴ ἄχρηστα τὰ μαϑήματα προστάττοιμι. τὸ δ᾽ ἔστιν οὐ πάνυ φαύλοις, ἀλλὰ πᾶσι χαλεπὸν πιστευϑῆναι, ὅτι ἐν τούτοις τοῖς μαϑήμασιν ἑκάστου οἷον ὀργάνοις τὸ ψυ- χῆς ἐχκαϑαίρεται καὶ ἀναξωπυρεῖται ὄμμα τυφλούμενον καὶ ἀποσβεννύμενον ὑπὲ τῶν ἄλλων ἐπιτηδευμάτων, κρεῖττον ὃν σωϑῆναι μυρίων ὀμμάτων" μόνῳ γὰρ αὐτῷ ἀλήϑεια ὁρᾶται.
ἐν δὲ τῷ ἑβδόμῳ τῆς Πολιτείας περὶ ἀρυϑμητικῆς λέγων ὡς ἔστιν ἀναγκαιοτάτη πασῶν φησιν, ἔπειτα ἧς
1 παισὶν Plato. cf. H. Heller curae crit. in Plat. de republ. libros p. 16 παιδείᾳ corr. ex παιδιᾷ ἃ (παιδιᾷ Platonis codd. treg) 9 οἰκειότητος ἀλλήλων Plato (οὐκειότητός τε ἀλλήλων codd. ires) 3 cf. Civ. p. 525 8qg. παραινέσει À, em. apogr. 8 Civ. p. 527 D ἡδὺς εἶ, ἦν ὃ ἐγώ, ὅτι ἔοικας δε- διότι τοὺς πολλούς, μὴ δοκῇς (ὅτι οἰκας δεδιέναι, μὴ ἄρα Ni- com. I 3, 1) ἄχρηστα μαϑήματα (τὰ μαϑήματα cod. Par. K, ταῦτα τὰ ᾿μαϑήματα Nicom.) προστάττειν (προστάττοιμι Nicom.). τὸ δ᾽ ἔστιν ov πάνυ φαῦλον ἀλλὰ χαλεπὸν πιστεῦσαι (παγχάλε- πον Nicom.), ὅτι ἐν τούτοις τοῖς μαϑήμασιν ἑκάστου ὄργανόν τι ψυχῆς ἐκκαϑαίρεταί τε καὶ ἀναξωπυρεῖται (ὄμμα τῆς ψυχῆς exetat etiam apud Nicom., ubi haec contracta sunt, cf. Alcin.
7 p. 180 Herm., Iambl. de vita Pyth. 8 70, Boeth. Inst. arithm, 1 1 p. 10 Friedl.) ἀπολλύμενον καὶ τυφλούμενον ὑπὸ xrÀ, 9 τὰ
γϑ καὶ προστάττοιμι
fort. add. ab A* σπροστάττοιμι Δ 10 φαύλοις: v in ras. Α
11 cf. Cobet, Mnemos. XI p. 177. Wez, Jahrb. f. Philol. 1863 p. 692 sqq. 1864 p. 381 12 ὄμμα in ras. À 16 Civ. p. $22 C
1*
σι
16
.-- - .ὕ.
5
4 DE UTILITATE
δεῖ πάσαις μὲν τέχναις, πάσαις δὲ διανοίαις καὶ ἐπιστή- μαις καὶ τῇ πολεμικῇ. παγγέλοιον γοῦν στρατηγὸν "Ayauduvove ἐν ταῖς τραγῳδίαις Παλαμήδης ἑκάστοτε ἀποφαίνει. φησὶ γὰρ ἀριϑμὸν εὑρὼν τάς τε τάξεις καταστῆσαι τῷ στρατοπέδῳ ἐν Ἰλίῳ καὶ ἐξαριθμῆσαι ναῦς τε καὶ τὰ ἄλλα πάντα, ὡς πρὸ τοῦ ἀναριϑμήτων ὄντων καὶ τοῦ ᾿4γαμέμνονος ὡς ἔοικεν οὐδὲ ὅσους εἶχε πόδας εἰδότος, εἶγε͵ μὴ ἠπίστατο ἀρυϑμεῖν. κινδυνεύει οὖν τῶν πρὸς νόησιν ἀγόντων φύσει εἶναι, καὶ οὐδεὶς
10 αὐτῷ χρῆται ἑλκτικῷ ὄντι πρὸς οὐσίαν καὶ νοήσεως
παρακλητικῷ. ὅσα μὲν γὰρ ἁπλῶς κινεῖ τὴν αἴσθησιν, οὐκ ἔστιν ἐπεγερτικὰ καὶ παρακλητικὰ νοήσεως, οἷον ὅτε ὁ ὁρώμενος δάκτυλός ἐστι, καὶ ὅτι παχὺς ἢ λεπτὸς ἢ μέγας ἢ μικρός. ὅσα δ᾽ ἐναντίως κινεῖ αἴσθησιν,
15 ἐπεγερτικὰ καὶ παρακλητικά ἐστι διανοίας, οἷον ὅταν τὸ
2
e
αὐτὸ φαίνηται μέγα καὶ μικρόν, κοῦφον καὶ βαρύ, ἕν καὶ παλλά. καὶ τὸ ἕν οὖν καὶ ὃ ἀρυϑμὸς παρακλητικὰ καὶ ἐπεγερτικά ἐστι διανοίας, ἐπεὶ τὸ ἕν move πολλὰ φαίνεται" λογιστικὴ δὲ καὶ ἀρνϑμητικὴ ὁλκὸς καὶ ἀγω- γὸς πρὸς ἀλήϑειαν. ἁπτέον δὲ λογιστικῆς μὴ ἰδιωτικῶς,
2 παγγέλοιον: y ex vy (πανγέλοιον Platonis cod. Vind. F) 8 παλαμίδης À 4 ἀποφαίνει. ἡ oUx ἐννενόηκας, ὅτι φησὶν ἀριϑμὸν εὑρωῶν τάς τε τάξεις τῷ στρατοπέδῳ καταστῆσαι ἐν Ἰλίῳ Plato 7 ὅσους π. εἶχεν εἰδι εἴπερ ἀρ. μὴ ἤπ. Plato μὴ ἠπί- στατο COrr. ex μὴ τίστατὸ Α Civ. p. 5283 Α κινδυνεύει τῶν πρὸς τὴν νόησιν ἀγόντων φύσει εἶναι ὧν ξητοῦμεν, χρῆσθαι δ᾽ οὐδεὶς αὐτῷ ὀρϑῶς, ἑλκτικῷ ὄντι παντάπασι πρὸς οὐσίαν 10 νοήσεως παρακλητικῷ: cf. Civ. p. 623 Ὁ 19 02] δὴ Stall- baum ad Plat. Civ. p. 023 A 20 Civ. p. 526 B προσῆκον δὴ τὸ μάϑημα ἂν εἴη, ὁ Γλαύκων, νομοϑετῆσαι καὶ πείθειν τοὺς μέλλοντας ἐν τῇ πόλει τῶν μεγίστων μεϑέξειν, ἐπὶ λογιστικὴν ἰέναι καὶ ἀνθάπτεσθαι αὐτῆς μὴ ἰδιωτικῶς, ἀλλ᾽ ἕως ἂν ἐπὶ ϑέαν τῆς τῶν ἀριϑμῶν φύσεως ἀφίκωνται τῇ νοήσει αὐτῇ, οὐκ ὠνῆς οὐδὲ πράσεως χάριν ὡς ἐμπόρους ἢ καπήλους μελετῶντας,
MATHEMATICAE. 5
ἀλλ᾽ ὡς ἂν ἐπὶ ϑέαν τῆς τῶν ἀριθμῶν φύσεως ἀφίκων- ται τῇ νοήσει, οὐδέ πράσεως χάριν ἐμπόρων ἢ καπή- λων μελετῶντας, ἀλλ᾽’ ἕνεκα ψυχῆς τῆς ἐπ᾽ ἀλήϑειαν καὶ οὐσίαν ὁδοῦ. τοῦτο γὰρ ἄνω ἄγει τὴν ψυχὴν καὶ περὶ αὐτῶν τῶν ἀριϑμῶν ἀναγκάζει διαλέγεσθαι. οὐκ ὁ ἀποδεχόμενον, ἂν τις αὐτῷ σώματα ἢ αὖ τὰ ὁρατὰ ἔχοντα ἀρυϑμοὺς προσφερόμενος διαλέγηται. καὶ πάλιν ἐν τῷ αὐτῷ φησιν᾽ ἔτι οἵ λογιστικοὶ εἰς ἅπαντα τὰ μαϑήματα ὀξεῖς φύονται, οἵ vs βραδεῖς εἰς τὸ ὀξύτε- got αὐτοὶ αὑτῶν γενέσθαι. ἔτι ἐν τῷ αὐτῷ φησι" καὶ τὸ ἐν πολέμῳ δ᾽ αὖ χρήσιμον πρὸς τὰς στρατοπεδεύσεις καὶ καταλήψεις χωρίων καὶ ξυναγωγὰς καὶ ἐξετάσεις στρατιᾶς. ἔν τε τοῖς ἑξῆς ἐπαινῶν τὴν περὶ τὰ τοιαῦτα μαϑήματα σπουδήν, γεωμετρία μέν, φησίν, ἐστὶ περὶ τὴν τοῦ ἐπιπέδου ϑεωρίαν, ἀστρονομία ᾿'δὲ περὶ τὴν τοῦ 15 στερεοῦ φοράν᾽ αὕτη δ᾽ ἀναγκάζει εἰς τὸ ἄνω ὁρᾶν καὶ ἀπὸ τῶν ἐνθένδε ἐκεῖσε ἄγει. καὶ μὲν δὴ περὶ μουσι- κῆς ἐν τῷ αὐτῷ φησιν, ὅτι δυεῖν δεῖται ἡ τῶν ὄντων ἀλλ᾽ ἕνεκα πολέμου τὰ καὶ αὐτῆς τῆς ψυχῆς ῥᾳστώνης τε (re
om. codd, multi) μεταστροφῆς ἀπὸ γενέσεως ἐπ᾿ ἀλήϑειαν τε (τε
ἐπ᾿ ἀλ. codd. complures) καὶ οὐσίαν 4 Civ. p. 526 D τοῦτό y? — ὡς σφόδρα ἄνω ποι ἄγει τὴν ψυχὴν καὶ περὶ αὐτῶν τῶν ἀριϑμῶν ἀναγκάξει διαλέγεσθαι, οὐδαμῇ ἀποδεχόμενον, ἐών τις αὐτῇ ὁρατὰ ἢ ἁπτὰ (ἢ ἀπὸ τὰ codd. duo, ἢ τοὺς τὰ unus) σώματα ἔχοντας (ἔχοντα codd. tres) ἀριϑμοὺς προτεινόμενος διαλέγηται
8 Civ. p. 626 B τόδε ἤδη ἐπεσκέψω, ὡς οἵ τὸ φύσει λογιστικοὶ εἰς πάντα τὰ μαϑήματα ὡς ἔπος εἰπεῖν ὀξεῖς φύονται, οἵ ce βραδεὶς, ὧν ἐν τούτῳ “παιδευϑῶσι καὶ γυμνάσωνται, κἂν μηδὲν to ὠφεληϑώσιν, ὅμως εἴς γε τὸ ὀξύτεροι αὐτοὶ αὑτῶν γέγνε- σϑαι πάντες ἐπιδιδόασιν; 10 Civ. p. 626 D ὅσον μέν, ἔφη, πρὸς τὰ πολεμικὰ αὐτοῦ τείνει, δῆλον ὅτι προσήκει" πρὸς γὰρ τὰς στρατοπεδεύσεις καὶ καταλήψεις χωρίων καὶ συναγωγὰς καὶ χτάσεις στρατιᾶς --- 16 Civ. p. 629 Α παντὶ γάρ μοι δοκεῖ δῆλον», ὅτι αὕτη γε ἀναγκάζει ψυχὴν εἰς τὸ ἄνω ὁρᾶν καὶ ἀπὸ τῶν ἐνθένδε ἐκεῖσε ὧγει 18 δυεῖν corr. ex δυοῖν Α
6 DE UTILITATE
ϑεωρία, ἀστρονομίας καὶ ἁρμονίας" καὶ αὗται ἀδελφαὶ αἱ ἐπιστῆμαι, ὡς οἱ Πυϑαγορικοί. οἱ μὲν οὖν τὰς ἀκονομένας συμφωνίας αὖ καὶ φϑόγγους ἀλλήλοις ἀνα- μετροῦντες ἀνήνυτα πονοῦσι. τελείως παραβάλλοντες s T& ὦτα, οἷον ἐκ γειτόνων φωνὴν ϑηρώμενοι, οἵ μέν φασιν ἀκούειν ἐν μέσῳ τινὰ ἦχον καὶ μικρότατον εἶναι διάστημα τοῦτο, c) μετρητέον, οἵ δὲ ἀμφισβητοῦσιν ὡς ὅμοιον ἤδη qOtyyouévov, τὰ ὦτα τοῦ νοῦ προστησά- μενοι. ταῖς χορδαῖς πράγματα παρέχουσιν ἐπὶ τῶν κολλά- 10 Bov στρεβλοῦντες. οἱ δὲ ἀγαϑοὶ ἀρυϑμητικοὶ ζητοῦσιν ἐπισκοποῦντες, τίνες σύμφωνοι ἀριϑμοὶ ἀριϑμοῖς καὶ τίνες οὔ. καὶ τοῦτο χρήσιμον πρὸς τὴν τοῦ ἀγαϑοῦ
1 Civ. p. 530 D — καὶ αὗται ἀλλήλων ἀδελφαί τινες al ἐπι- στῆμαι εἶναι, ὡς of τε Πυϑαγόρειοί φασι --- 2 Civ. p. 531 Α τὰς γὰρ ἀκουομένὰς αὖ συμφωνίας καὶ φϑόγγους ἀλλήλοις dva- μετροῦντες ἀνήνυτα ὥσπερ οἵ ἀστρονόμοι πονοῦσι. νὴ τοὺς ϑεούς, ἔφη, καὶ “γελοίως 8, πυκνώματ᾽ ἄττα ὀνομάξοντες καὶ παραβάλλοντες τὰ ὦτα, οἷον ἐκ γειτόνων φωνὴν ϑηρευόμενοι, οἵ μὲν φασιν ἔτι (ἔτι om. codd. tres) κατακούειν ἐν μέσῳ τινὰ
dn καὶ σμικρότατον εἶναι τοῦτο διάστημα, ᾧ μετρητέον, οἵ
ἀμφισβητοῦντες ὡς ὅμοιον ἤδη ᾿φϑεγγομένων (φϑεγγόμενον codd. duo), ἀμφότεροι ὦτα τοῦ νοῦ προστησάμενοι. συ μὲν, ἣν δ᾽ ἐγώ, τοὺς χρηστοὺς λέγεις τοὺς ταῖς χορδαῖς πράγματα παρ- ἔχοντας καὶ βασανίξοντας, ἐπὶ τῶν κολλόπων (κολάβων, καλλό-
zov, κολλόπων ali: cf. Tim. lex.) στρεβλοῦντας 4 ἀνήνυτα v corr. ex οὐ ἃ 6 ἐκ corr. ex ἐγ ἃ 7 μετρητέον: n corr. ex v ἃ 11 Civ. p. 631 C τοὺς yag ἐν ταύταις ταῖς
συμφωνίαις ταῖς ἀκουομέναις ἀριϑμοὺς ξητοῦσιν, ἀλλ᾽ οὐκ εἰς προβλήματα ἀνίασιν ἐπισκοπεῖν, τένες ξυμφωνοι ἀριϑμοὶ καὶ τίνες οὔ, καὶ διὰ τί ἑκάτεροι... δαι όνιον γάρ, ἔφη, πρᾶγμα λέγεις. χρήσιμον μὲν οὖν, ἦν δ᾽ ἐγώ, πρὸρ τὴν τοῦ καλοῦ τε καὶ “ἀγαϑοῦ ξητησιν ἄλλως δὲ ἑταδιωκόμενον ἄχρηστον. εἶκός γ᾽, ἔφη. οἶμαι δέ γε, ἦν δ᾽ ἐγώ, καὶ Jj τούτων πάντων ὧν διεληλύθαμεν μέθοδος ἐὰν μὲν ἐπὶ τὴν ἀλλήλων xowo- νίαν ἀφίκηται καὶ ξυγγένειαν, καὶ ξυλλογισϑῇ ταῦτα ἡ ἐστιν ἀλλήλοις οἰκεῖα, φέρειν τι αὐτῶν εἰς ἃ βουλόμεϑα τὴν πραγμα- τείαν. cf, Schneider
MATHEMATICAE. d
καὶ καλοῖ ξήτησιν, ἄλλως δὲ ἄχρηστον. καὶ τούτων πάντων ἡ μέϑοδος ἂν μὲν ἐπὶ τὴν ἀλλήλων ἀφίκηται χοινωνίαν καὶ ξυλλογισϑῆ ἡ ἐστιν ἀλλήλοις οἰκεῖα, φέ- Qe αὐτῶν ἡ πραγματεία καρπόν. οἵ δὲ ταῦτα δεινοὶ διαλεκτικοί, οὐ γὰρ μὴ δύνωνται λαβεῖν τε καὶ ἀπο- ὃ δέξασϑαι λόγον. οὐχ οἷόν τε δὲ τοῦτο μὴ δι᾽ ἐκείνων ἐλθόντα τῶν μαϑημάτων᾽ ὁδὸς γάρ ἐστι δι᾽ αὐτῶν ἐπὶ τὴν τῶν ὄντων ϑέαν ἐν τῷ διαλέγεσϑαι.
πάλιν vs ἐν τῷ ᾿πινομίῳ πολλα μὲν καὶ ἄλλα ὑπὲρ ἀριϑμητικῆς διεξέρχεται, ϑεοῦ δῶρον αὐτὴν λέγων, καὶ 1 οὐχ οἷόν τε ἄνευ ταύτης σπουδαῖον γενέσϑαι τίνά. ὑπο- βὰς δὲ ἄντικρύς φησιν᾽ εἴπερ γὰρ ἀριϑμὸν ἐκ τῆς &v- ϑρωπίνης φύσεως ἐξέλοιμεν, οὐκ ἄν που ἔτι φρόνιμοι γενοίμεθα, οὐδ᾽ ἂν ἔτι ποτὲ τούτου τοῦ ξῴου, φησίν, ἡ ψυχὴ πᾶσαν ἀρετὴν λάβοι" σχεδὸν ὁ τούτου λόγος i5 εἴη. ξῷον δὲ ὅ τι μὴ γινώσκοι δύο καὶ τρία μηδὲ πε- ριττὸν μηδὲ ἄρτιον, ἀγνοοῖ δὲ τὸ παράπαν ἀριϑμόν, οὐκ ἄν zors διδόναι λόγον, περὶ ὧν αἰσϑήσεις καὶ μνήμας
4 Civ. p. 531 D οὐ γάρ που δοκοῦσί γε σοι οὗ ταῦτα δει- νοὶ διαλεκτικοὶ εἶναι. οὐ μὰ τὸν Δί᾽, ἔφη, εἰ μὴ μάλα γέ τινες ὀλίγοι ὧν ἐγὼ ἐντετύχηκα. ἀλλ᾽ ἤδη, εἶπον, Wr) δυνατοί τινες ὄντες δοῦναί τε καὶ ἀποδέξασθαι λόγον εἴσεσϑαί ποτέ τι ὧν
φαμὲν δεῖν εἰδέναι; 6δ. ἐπ᾽ αὐτῶ post ἐκείνων A, sed de- lenda haec esse punctis significatum est 8 cf. Civ. p. 582 C 10 cf. Epin. p. 976 DE 11 ὑποβὰς corr. ex ὑπερβὰς A
12 Epin. p. 977 C εἴπερ ἀφιϑμὸν ἐκ τῆς ἀνθρωπίνης φύσεως ἐξέλοιμεν, οὐκ ἄν ποτέ τι φρόνιμοι γενοίμεϑα. οὐ γὰρ ἂν ἔτι ποτὲ ψυχὴ τούτου τοῦ ξῴου πᾶσαν ἀρετὴν λάβοι σχεδόν, ὅτου λόγος ἀπείη. ξῷον δέ, ὅ τι μὴ γιγνώσκοι δύο καὶ τρία μηδὲ περιττὸν μηδὲ ἄρτιον, ἀγνοοῖ δὲ τὸ παράπαν ἀριϑμόν, οὐκ ἄν ποτε διδόναι λόγον ἔχοι περὶ ὧν αἰσϑήσεις καὶ μνήμας μόνον εἴη κεκτημένον" τὴν δὲ ἄλλην ἀρετήν, ἀνδρείαν καὶ σωφροσύ- γην͵ οὐδὲν ἀποκωλύει' στερόμενος δὲ ἀληϑοῦς λόγου σοφὸς οὐκ &v ποτὲ γένοιτο 1 γὰρ post σχεδὸν supra vs. add. A?
8 DE UTILITATE
μόνον εἴη κεκτημένος" στερόμενος δὲ ἀληθοῦς λόγου dogóg οὐκ ἄν ποτε γένοιτο. οὐ μὴν οὐδὲ τὰ τῶν ἄλλων τεχνῶν λεγόμενα, ἃ νῦν διήλθομεν, οὐδέποτε τούτων οὐδὲν μένει, πάντα δὲ ἀπολεῖται τὸ παράπαν, ὅταν
5 ἀριϑμητικῆς τις ἀμελῇ. δόξεις δ᾽ ἂν ἴσως τισὶ βραχέως ἀριϑμοῦ δεῖσϑαι τὸ τῶν ἀνθρώπων γένος, ὡς εἰς τὰς τέχνας ἀποβλέψασι" καίτοι μέγα μὲν καὶ τοῦτο. εἰ δέ τις ἴδοι τὸ ϑεῖον τῆς γενέσεως καὶ τὸ ϑνητόν, ἐν ᾧ καὶ τὸ ϑεοσεβὲς γνωρισϑήσεται καὶ ὁ ἀριθμὸς ὄντως, οὐκ
10 ἂν ἔτι πᾶς μάντις γνοίη σύμπαντα ἀριθμόν, ὅσης ἡμῖν δυνάμεως αἴτιος ἂν εἴη συγγινόμενος, ἐπεὶ καὶ μουσι- κὴν πᾶσαν δι᾽ ἀριϑμοῦ μετὰ κινήσεώς ve καὶ φϑόγγων
΄ δῆλον ὅτι δεῖ. καὶ τὸ μέγιστον, ἀγαϑὸν ὡς πάντων al- τιον" ὅτι δὲ κακῶν οὐδενός ἐστι, τοῦτο γνωστέον. Gyc- N 3 , » 3 , »
15 00v δὲ ἀλόγιστος, ἄτακτος, ἀσχήμων ve καὶ ἄρρυϑμος ἀνάρμοστός τε σφόδρα καὶ πάνϑ᾽ ὅσα κακοῦ κεκοινώ- νηκέ τινος, ὅστις λέλειπται παντὸς ἀριθμοῦ. ἐν δὲ τοῖς ἐφεξῆς φησιν ἔστιν ἔχον μηδεὶς ἡμᾶς ποτὲ πειϑέτω τῆς εὐσεβείας εἶναι τῷ ϑνητῷ γένει. ἐκ γὰρ τούτου
, A » ? M “ , A] d 90 φύεσϑαι καὶ τὰς ἄλλας ἀρετὰς τῷ μαϑόντι κατὰ τρόπον. 3
2 Epin. p. 977 D καὶ ὁ νῦν (λόγος) ὀρθῶς ῥηθήσεται, ὅτε
καὶ τὰ τῶν ἄλλων τεχνῶν λεγόμενα, ἃ νῦν δὴ διήλθομεν ἐῶντες εἶναι πάσας τὰς τέχνας, οὐδὲ τούτων ἕν οὐδὲν μένει (μενεῖ Stephanus), πάντα δ᾽ ἀπολεῖται τὸ παράπαν, ὅταν ἀριϑμητικήν τις ἀνέλῃ. δόξειε δ᾽ ἂν ἱκανῶς τισι βραχέων ἕνεκα ἀριϑμοῦ δεῖσϑαι τὸ τῶν ἀνθρώπων γένος, εἰς τὰς τέχνας ἀποβλέψασι" καίτοι κτλ. 9. ὃ non exstat ap. Pl. 11 ἐπεὶ καὶ τὰ κατὰ μοῦυσι- κὴν πᾶσαν διαριϑμουμένων κινήσεώς τε xvÀ. Pl. 18 δεῖ (εἶναι cj. Bullialdus ἀγαθῶν Pl. 14 ὅτι δὲ κακών οὐδενός, εὖ τοῦτο γνωστέον, ὃ καὶ τάχα γένοιτ᾽ ἄν, ἀλλ᾽ ἡ σχεδὸν ἀλόγιστός τὲ καὶ ἄτακτος κτᾶ. Pl. 16 σφόδρα] φορά Pl — ὁπόσα Pl — κε- κοινώνικε À. 17 ὅστις λέλειπται] ἐπιλέλειπται PI. Epin.
p.989 B μεῖξον ub» γὰρ ἀρετῆς μηδεὶς ἡμᾶς ποτε πείθῃ τῆς - εὐσεβείας εἶναι τῷ ϑνητῷ γένει 19 cf. Epin. p. 989 D
MATHEMATICAE. 9
ἔπειτα παραδείκνυσι ϑεοσέβειαν ὅτῳ τρόπῳ τις μαϑήσε- ται. λέγει δὲ δεῖν μαϑεῖν πρῶτον ἀστρονομίαν. εἰ γὰρ τὸ καταψεύδεσϑαι καὶ ἀνθρώπων δεινόν, πολὺ δεινότε- ρον ϑεῶν᾽ καταψεύδοιτο δ᾽ ἂν ὃ ψευδεῖς ἔχων δόξας
περὶ θεῶν" ψευδεῖς δ᾽ ἂν δόξας ἔχοι περὶ ϑεῶν ὁ μηδὲ s
τὴν τῶν αἰσϑητῶν ϑεῶν φύσιν ἐπεσκεμμένος, τουτέστιν ἀστρονομίαν. ἀγνοεῖσθαι δέ φησι τοῖς πολλοῖς, ὅτι σο- φώτατον ἀνάγκη τὸν ἀληϑῶς ἀστρονόμον εἶναι, μὴ τὸν καϑ᾽ Ἡσίοδον ἀστρονομοῦντα, οἷον δυσμάς τε καὶ ἀνα- τολὰς ἐπεσκεμμένον, ἀλλὰ τὰς περιόδους τῶν ἕπτά, ὃ μὴ ῥαδίως ποτὲ πᾶσα φύσις ἱκανὴ γένοιτο ϑεωρῆσαι. τὸν δ᾽ ἐπὶ ταῦτα παρασκευάζοντα φύσεις οἵας δυνατὸν πολλὰς προδιδάσκειν χρεία ἐστὶν ἐθίξζοντα παῖδα ὄντα καὶ νεανίσκον διὰ μαϑημάτων' ὧν τὸ μέγιστον εἶναι
1 Epin. ᾿ς 989 E — ϑεοσεβείας ᾧτινι τρόπῳ τίς τινα μαϑή- σεται 1 Epin. p. 990 A ἀγνοεῖτε ὅτι σοφώτατον ἀνάγκη τὸν ἀληϑῶς ἀστρονόμον εἶναι, μὴ τὸν καθ᾽ Ἡσίοδον ἀστρονομοῦντα καὶ πάντας τοὺς τοιούτους, οἷον δυσμάς τε καὶ ἀνατολας ἐπε- σκεμμένον͵ ἀλλὰ τὸν τῶν ὀκτὼ περιόδων τὰς ἑπτὰ περιόδους, διεξιούσης τὸν αὐτὸν κύκλον ἑκάστης, οὕτως ὡς οὐκ ἂν ῥᾳδίως ποτὲ πᾶσα φύσις ἱκανὴ γένοιτο ϑεωρῆσαικι 12 Epin. p. 990 C ἐπὶ δὲ ταῦτα παρασκευάξοντας φύσεις, δι᾿ ἃς (οἵας et δι᾽ οἵας ali) δυνατὸν εἶναι χρεῶν πολλὰ προδιδάσκοντα καὶ iQífovre δεῖ διαπονήσασθαι παῖδα ὄντα καὶ νεανίσκον. διὸ μαϑημάτων δέον dv» εἴη" τὸ δὲ μέγιστόν τε καὶ πρῶτον ἀριθμῶν αὐτῶν, ἄλλ᾽ οὐ σώματα ἐχόντων, ἀλλὰ ὕλης τῆς τοῦ περιττοῦ τε καὶ ἀρτίου γενέσεώς τε καὶ δυνάμεως, ὅσην παρέχεται πρὸς τὴν τῶν ὄντων φύσιν. ταῦτα δὲ μαϑόντα τούτοις ἐφεξῆς ἐστιν ὃ καλοῦσι μὲν σφόδρα γελοῖον ὄνομα γεωμετρέαν, τῶν οὐκ ὄντων δὲ ὁμοίων ἀλλήλοις φύσει ἀριθμῶν ὁμοίωσις πρὸς τὴν τῶν ἐπιπέδων μοῖ- ραν yeyovvic ἐστι διαφανής 0 δὴ θαῦμα οὐκ ἀνθρώπινον ἀλλὰ γεγονὸς ϑεῖον φανερὸν ἂν γίγνοιτο τῷ δυναμένῳ ξυννοεῖν. μετὰ δὲ τούτην τοὺς τρεῖς (τρὶς Bekker) ηὐξημένους καὶ τῇ στερεᾷ φύσει ὁμοίους, τοὺς δὲ ἀνομοίους αὖ γεγονότας ἑτέρα τέχνῃ ὁμοίᾳ ταύτῃ, ἣν δὴ γεωμετρίαν (στερεομετρίαν cod. Z) ἐκά- λεσαν οἷ προστυχεῖς αὐτῇ γεγονότες" ὃ δὲ θεῖόν τ᾽ ἐστὶ καὶ ϑαυμαστὸν —
10 DE UTILITATE
ἀριϑμῶν ἐπιστήμονα αὐτῶν, ἀλλ᾽ ov σώματα ἐχόντων, καὶ αὐτῆς τῆς τοῖ περιττοῦ τε καὶ ἀρτίου γενέσεως τε καὶ δυνάμεως, ὅσον παρέχεται πρὸς τὴν τῶν ὄντων φύσιν. τούτοις δὲ ἐφεξῆς μαϑήματα μὲν καλοῦσι, φησί, 5 σφόδρα γελοῖον ὄνομα γεωμετρίαν᾽ ἔστι δὲ τῶν οὐκ » e ’ 3 , , 3 ^ e N οντῶν ὁμοίων ἀλλήλοις qvos, ἀριϑμῶν ομοίωσις πρὸς τὴν τῶν ἐπιπέδων μοῖραν. λέγει δέ τινα καὶ ἑτέραν ἐμπειρίαν καὶ τέχνην, ἣν δὴ στερεομετρίαν καλεῖ, εἴ τις, 1 PEE, 1 e M , 3 φησί, τοὺς τρεῖς ἀριϑμοὺς ἐξ ὧν τὰ ἐπίπεδα εἶναι αὐξη- 10 ϑέντας ὁμοίους καὶ ἀνομοίους ὄντας, ὡς προεῖπον, στε- 1 " , i » P , 3 θεὰ ποιεῖ σώματα" τοῦτο δὲ ϑεῖόν τε καὶ ϑαυμαστόν ἐστι. καὶ ἐν Πολιτείᾳ δὲ περὶ συμφωνίας τῆς κατὰ μου- σικήν φησι καλλίστη καὶ μεγίστη τῶν περὶ πόλεων συμφωνιῶν ἐστιν ἡ σοφία, ἧς ὃ μὲν κατὰ λόγον ξῶν 15 μέτοχος, ὁ δὲ ἀπολειπόμενος οἰχοφϑόρος καὶ περὶ πόλιν οὐδαμῇ σωτήριος, ἅτε τὰ μέγιστα ἀμαϑαίνων. καὶ ἐν τῷ τρίτῳ δὲ τῆς Πολιτείας, διδάσκων ὅτι μόνος μουσικὸς ὁ φιλόσοφος, φησίν᾽ ἀρ᾽ οὖν πρὸς ϑεῶν οὕτως οὐδὲ μουσικοὶ πρότερον ἐσόμεϑα, οὔτε αὐτοὶ οὔτε 80 οὖς φαμὲν ἡμεῖς παιδευτέον εἶναι τοὺς φύλακας, πρὶν 12 Leg. III p. 689 D ἀλλ᾽ ἡ καλλίστη καὶ μεγίστη τῶν ξυμφωνιῶν μεγίστη᾽ δικαιότατ᾽ ἂν λέγοιτο σοφία, ἧς ὁ μὲν κατὰ λόγον fov μέϑοχος, ὁ δ᾽ ἀπολειπόμενος οἰκοφϑόρος καὶ περὶ πόλιν οὐδαμῇ σωτὴρ ἀλλὰ πᾶν τοὐναντίον ἀμαϑαίνων εἰς ταῦτα ἑκάστοτε φανεῖται 18 Civ. III p. 402 B ἄρ᾽ οὖν, ὃ λέγω, πρὸς ϑεῶν, οὕτως οὐδὲ μουσικοὶ πρότερον͵ ἐσόμεϑα, οὔτε αὐτοὶ οὔτε οὕς φαμεν ἡμῖν παιδευτέον εἶναι τοὺς φύλακας, πρὶν ἂν τὰ τῆς σωφροσύνης εἴδη καὶ ἀνδρείας καὶ ἐλευϑεριότητος καὶ μεγαλοπρεπείας καὶ ὅ ὁσαὰ τούτων ἀδελφὰ καὶ τὰ τούτων αὖ ἐναν-- τία πανταχοῦ περιφερόμενα γνωφίξωμεν, (cf. p. 12, 1) καὶ ἐνόντα ἐν οἷς ἔνεστιν αἰσϑανώμεϑα κα eic xol εἰκόνας w- τῶν καὶ μήτε ἐν σμικροῖς μήτε ἐν β γάλοις ἀτιμάξωμεν, ἀλλὰ τῆς giri οἰώμεϑα τέχνης εἶναι καὶ μελέτης; ἄρ corr. ex de
MATHEMATICAE. 11
ἂν ἄπαντα τὰ τῆς σωφροσύνης εἴδη καὶ ἀνδρείας καὶ μεγαλειότητος καὶ μεγαλοπρεπείας καὶ ὅσα τούτων ἀδελφὰ καϊ θεὰ τούτων ὑπεναντία πανταχῇ περιφερό- μενα χωρίξωμεν καὶ ἐνόντα ἐν οἷς ἔστιν αἰσϑανώμεϑα καὶ αὐτὰ καὶ εἰκόνας αὐτῶν καὶ μήτε ἐν μικροῖς μήτε 5 ἐν μεγάλοις ἀτιμάξωμεν, ἀλλὰ τῆς αὐτῆς οἰώμεϑα τέχνης εἶναι καὶ μελέτης; διὰ γὰρ τούτων καὶ τῶν πρὸ αὐτῶν τί τε ὄφελος ἐκ μουσικῆς δηλοῖ, καὶ ὅτι μόνος ὄντως μουσικὸς ὁ φιλόσοφος, ἄμουσος δὲ ὁ κακὸς. τῇ μὲν γὰρ εὐηϑείᾳ ὄντως, ἥτις ἐστὶν ἀρετὴ τὸ εὖ τὰ ἤϑη κατε- τὸ δσκευασμένα ἔχειν, ἔπεσϑαί φησιν εὐλογίαν, τουτέστι τὸ εὖ λόγῳ χρῆσϑαι, τῇ δὲ εὐλογίᾳ τὴν εὐσχημοσύνην καὶ εὐρυϑμίαν καὶ εὐαρμοστίαν᾽ εὐσχημοσύνην γὰρ περὶ μέλος, εὐαρμοστίαν δὲ περὶ ἁρμονίαν, εὐρυϑμίαν δὲ περὶ ῥυϑμόν᾽ τῇ δὲ κακοηϑείᾳ, τουτέστι τῷ κακῷ ἤϑει, 15 φησὶν ἕπεσϑαι κακολογέαν, τουτέστι κακοῦ λόγου χρῆ- σιν, τῇ δὲ κακολογίᾳ ἀσχημοσύνην καὶ ἀρρυϑμίαν καὶ ἀναρμοστίαν περὶ πάντα τὰ γενέμενα καὶ μιμούμενα" ὥστε μόνος ἂν εἴη μουσικὸς ὃ κυρίως εὐήϑης, ὅστις εἴη ἂν ὁ φιλέσοφος. δηλοῖ δὲ καὶ τὰ εἰρημένα. ἐπεὶ γὰρ ἡ 30 μουσικὴ τὸ εὔρυϑμον καὶ εὐάρμοστον καὶ εὔσχημον ἐμποιεῖ τῇ ψυχῇ ἐκ νέου εἰσδυομένη διὰ τὸ τῇ ὠφελείᾳ μεμιγμένην ἔχειν ἀβλαβῆ ἡδονήν, ἀδύνατόν φησι τέλεον μουσικὸν γενέσϑαι μὴ εἰδότα τὸ ἐν παντὶ εὔσχημον καὶ τὰ τῆς εὐσχημοσύνης καὶ ἐλευϑεριότητος καὶ σωφροσύ- 56
1 ἂν supra vs. αὶ ὅ αὐτῶν infra vs. A 9 cf. Civ. p. 400D —401 A 12 εὖ λόγῳ] εὐλόγως A 18 ad εὐρυϑμίαν in mg. Α adnotatum erat τὸ βιβλίον ἔχει ἐρυϑμίαν, quae verba
3 e , 3 deleta sunt 17 ἀρυϑμίαν Α 20 τὰ εἰρημένα: p. 10, 18 SQq. àn scr. τὰ προειρημένα
12 DE UTILITATE
νης εἴδη μὴ γνωρίξοντα, τουτέστι τὰς ἰδέας. ἀμέλεὶ ἐπι- φέρει" ἐν παντὶ περιφερόμενα -- τουτέστι τὰ εἴδη — καὶ μὴ ἀτιμάξων αὐτὰ μήτ᾽ ἐν σμικροῖς μήτ᾽ «v. μεγάλοις. ἡ δὲ τῶν ἰδεῶν γνῶσις περὶ τὸν φιλόσοφον᾽ οὐδὲ γὰρ
5 εἰδείη τις. ἂν τὸ κόσμιον καὶ σῶφρον καὶ εὔσχημον αὐτὸς ὧν ἀσχήμων καὶ ἀκόλαστος" τὸ δ᾽ ἐν βίῳ εὔσχη- μον καὶ δὔρυϑμον καὶ εὐάρμοστον εἰκόνες τῆς ὄντως εὐσχημοσύνης καὶ εὐαρμοστίας καὶ εὐρυϑμίας, τουτέστε τῶν νοητῶν καὶ ἰδεῶν εἰχόνες τὰ αἰσϑητά.
10 καὶ οἱ Πυϑαγορικοὶ δέ, οἷς πολλαχῇ ἕπεται Πλάτων, τὴν μουσικήν φασιν ἐναντίων συναρμογὴν καὶ τῶν πολλῶν ἕνωσιν καὶ τῶν δίχα φρονούντων συμφρόνησιν" οὐ γὰρ ῥφυϑμῶν μόνον καὶ μέλους συντακτικήν, ἀλλ᾽ ἁπλῶς παντὸς συστήματος᾽ τέλος γὰρ αὐτῆς τὸ ἕνοῦν
15 τε καὶ συναρμόξειν. καὶ γὰρ 0 ϑεὸς συναρμοστὴς τῶν διαφωνούντων, καὶ τοῦτο μέγιστον ἔργον ϑεοῦ κατὰ μουσικήν vs καὶ κατὰ ἰατρικὴν τὰ ἐχϑρὰ φίλα ποιεῖν. ἐν μουσικῇ, φασίν, 1 ὁμόνοια τῶν πραγμάτων, ἔτι καὶ ἀριστοκρατία τοῦ παντός" καὶ γὰρ αὕτη ἐν κόσμῳ μὲν
0 ἁρμονία, ἐν πόλει δ᾽ εὐνομία, ἐν οἴκοις δὲ σωφροσύνη γένεσϑαι πέφυκε' συστατικὴ γάρ ἐστι καὶ ἑνωτικὴ τῶν πολλῶν" ἡ δὲ ἐνέργεια καὶ ἡ χρῆσις, φησί, τῆς ἐπιστή- μης ταύτης ἐπὶ τεσσάρων γίνεται τῶν ἀνϑρωπίνων, ψυχῆς, σώματος, οἴκου, πόλεως" προσδεῖται γὰρ ταῦτα
:5 τὰ τέσσαρα συναρμογῆς καὶ συντάξεως.
ἐν δὲ τῇ Πολιτείᾳ Πλάτων ὑπὲρ τῶν μαϑημάτων
2 cf. p. 11, 8 sqq. (Civ. p. 402 A C), 10 cf. Boeckh Philolaos Lehren p. 61 12 διχοφρονούντων Ast ad Nicom. p. 299 18 (καὶ ἐν μουσικῇ 20 cf. p. 47, 2 sq.
γῇ ἑνωτική
21 εὐνοητικὴ (og ex corr. ut vid.) A 292 φασί}
MATHEMATICAE. 13
καὶ τάδε ἔφη᾽ ἀγαϑὸς δὲ ἀνὴρ ὅστις διασώξει τὴν ὀρθὴν δόξαν τῶν ἐκ παιδείας αὐτῷ ἐγγενομένων ἔν τε λύπαις xal ἡδοναῖϑ' καὶ ἐπιϑυμέίαις καὶ φόβοις καὶ μὴ ἐκβάλλει. ᾧὦ δέ μοι δοκεῖ ὅμοιον εἶναι, ϑέλω ἀπεικάσαι. οἵ νῦν
βαφεῖς, ἐπειδὰν βουληθῶσι βάψαι ἔρια ὥστ᾽ εἶναι κε
ἁλουργά, πρῶτον μὲν ἐκλέγονται ἐκ τοσούτων χρωμά- τῶν μέαν φύσιν τὴν τῶν λευκῶν, ἔπειτα προκατα- [4 3 3 “ ; e σχευάξζουσιν ovx ὀλίγῃ παρασκευῇ ϑεραπεύσαντες, ὕπως δέξηται ὅ τι μάλιστα τὸ ἄνϑος, καὶ οὕτως βάπτουσι᾽ καὶ ὃ μὲν ὧν τούτῳ τῷ τρόπῳ βαφῇ, ὁμοῦ τι τὸ βαφὲν καὶ
1 Civ. p. 429 C (cf. etiam antecedentia) διὰ παντὸς δὲ ἔλεγον αὐτὴν σωτηρίαν τὸ ἕν τε λύπαις ὄντα διαδώξεσϑαι αὐτὴν καὶ ἐν ἡδοναῖς καὶ ἐν (ἐν om. codices complures Platonis et Stobaei Flor. XXXXIII 97) ἐπιϑυμέίαις καὶ ἐν. (ἐν om. Stob. ed. Trincav.) φόβοις καὶ μὴ ἐκβάλλειν.. ᾧ δέ μοι δοκεῖ ὅμοιον εἶναι, ἐϑέλω ἀπεικάσαι, εἰ βούλει. ἀλλὰ βούλομαι. οὐκοῦν οἶσθα, ἣν δ᾽ ἐγώ, ὅτι of βαφεῖς, ἐπειδὰν βουληθῶσι βάψαε ἔρια ὥστ᾽ εἶναν ἁλουργά, πρῶτον μὲν ἐκλέγονται à τοσούτων χρωμάτων μίαν φύσιν τὴν τῶν λευκῶν, ἔπειτα προπαρασκευάξουσιν οὐκ ὀλίγῃ παρασκευῇ ϑεραπεύσαντες, ὕπως δέξεται (δέξηται Stobaei codex A οὖ complures Platonis) ὅ τὸ μαλιστα τὸ ἄνϑος, καὶ οὕτω δὴ βάπτουσι. καὶ ὃ μὲν ἂν τούτῳ τῷ τρόπῳ βαφῇ, δευσοποιὸν γίγνεται τὸ βαφέν, καὶ ἡ πλύσις οὔτ᾽ ἄνευ ῥυμμάτων οὔτε μετὰ δυμμάτων δύναται αὐτῶν τὸ ὄἄνϑος ἀφαι- ρεἶσθαι᾽ ἃ δ᾽ ἂν μή, οἶσθα οἷα δὴ γέγνεται, ἐάν τέ τις ἄλλα χρώματα βάπτῃ ἐάν τε καὶ ταῦτα μὴ προθεραπεύσας. οἶδα, ἔφη, ὅτι ἔκπλυτα καὶ γελοῖα. τοιοῦτον (τοιοῦτο codd. duo) τοένυν, ἦν δ᾽ ἐγώ, ὑπόλαβε κατὰ δύναμιν ἐργάξεσϑαι χαὶ ἡμᾶς, ὅτε ἐξελεγόμεθα τοὺς στρατιώτας καὶ ἐπαιδεύομεν (ἐν add, codd. Stobaei) μουσικῇ καὶ γυμναστικῇ" μηδὲν olov ἄλλο μηχανᾶσθαι, ἢ ὅπως ἡμῖν ὅ τι κάλλιστα τοὺς νόμους πεισϑέντες δέξοιντο ὥσπερ βαφήν, ἕνα δευσοποιὸς αὐτῶν ἡ δόξα γίγνοιτο καὶ περὶ δεινῶν καὶ περὶ τῶν ἄλλων, διὰ τὸ τὴν τε φύσιν καὶ τὴν τροφὴν ἐπιτηδείαν ἐσχηκέναι, καὶ uj αὐτῶν ἐχπλύναι τὴν βαφὴν τὰ δύμματα ταῦτα, δεινὰ ὄντα ἐκκλύξειν, T] τε ἡδονή, παντὸς γαλεστραίου δεινοτέρα οὖσι: τοῦτο δρᾶν καὶ κονίας, λύπη τὸ καὶ φόβος καὶ ἐπιθυμία, παντὸς ἄλλου δύμματος
[Y
0
14 DE UTILITATE
ἡ φύσις, καὶ οὔτε ἄνευ ῥυμμάτων οὔτε μετὰ ῥῦμμάτων δύναται αὐτῶν τὸ ἄνϑος ἀφαιρεῖσθαι" ἃ δ᾽ ἂν μή, οἶσϑα οἷα δὴ γίνεται, ἂν μὴ προθεραπεῦσας βάπτῃ, ἔχπλυτα καὶ ἐξίτηλα καὶ οὐ δευσοποιά. τοιοῦτο δὲ κατὰ 5 δύναμιν ἐργάξεσϑαι ἡγεῖσϑαι χρὴ καὶ ἡμᾶς" παιδεύομεν γὰρ τοὺς παῖδας ἐν μουσικῇ τε καὶ γυμναστικῇ καὶ γράμμασι καὶ γεωμετρίᾳ καὶ ἐν ἀρυϑμητικῇ, οὐδὲν ἄλλο μηχανώμενοι; ἢ ὅπως ἡμεῖς προεκκαϑάραντες καὶ προ- ϑεραπεύσαντες ὥσπερ τισὶ στυπτικοῖς τοῖς μαϑήμασι 10 τούτοις, τοὺς περὶ ἁπάσης ἀρετῆς ἣν ἂν ἐκμανϑάνωσιν ὕστερον λόγους ἐνδείξοιντο ὥσπερ βαφήν, ἵνα δευσο- ποιὸς αὐτῶν ἡ δόξα γίνοιτο, διὰ τὸ τὴν φύσιν καὶ τροφὴν ἐπιτηδείαν ἐσχηκέναι, καὶ μὴ ἐκπλύνῃ αὐτῶν τὴν βαφὴν τὰ ῥύμματα ταῦτα, δεινὰ ὄντα ἐκκλύξειν, 15 ἥ τε ἡδονή, παντὸς στρεβλοῦ δεινοτέρα οὖσα καὶ κοινω- νίας, λύπη τε καὶ φόβος καὶ ἐπιϑυμία, παντὸς ἄλλου ῥύμματος. καὶ γὰρ αὖ τὴν φιλοσοφίαν μύησιν φαίη τις ἂν ἀληϑοῦς τελετῆς καὶ τῶν ὄντων ὡς ἀληϑῶς μυστηρίων 20 παράδοσιν. μυήσεως δὲ μέρη πέντε. τὸ μὲν προηγού- μενον καϑαρμός᾽ οὔτε γὰρ ἅπασι τοῖς βουλομένοις μετ- ουσία μυστηρίων ἐστίν, ἀλλ᾽ εἰσὶν οὖς αὐτῶν εἴργε- σϑαι προαγορεύεται, οἷον τοὺς χεῖρας μὲ καϑαρὰς καὶ φωνὴν ἀξύνετον ἔχοντας, καὶ αὐτοὺς δὲ τοὺς μὴ εἰργο- :5 μένους ἀνάγκη καϑαρμοῦ τινος πρότερον τυχεῖν. μετὰ δὲ τὴν κάϑαρσιν δευτέρα ἐστὶν ἡ τῆς τελετῆς παράδοσις"
9 στυπτικοῖς: κ in ras. trium &ut quattuor litterarum À
12 γένοιτο A 18 cf Plat Phaed. p. 69 D — 20 Ain margine 88 cf. Bernhardy Grundriss der griech. Litt. I p.
29. Schoemann opusc. II p. 851 26 f mg. A
MATHEMATICAE. 15
τρίτη δὲ (ἡ) ἐπονομρξομένη ἐποπτεία᾽ τετάρτη δέ, ὃ δὴ καὶ τέλος τῆς ἐποπτείας, ἀνάδεσις καὶ στεμμάτων ἐπίϑεσις, ὥστε καὶ ἑτέροις, &g τις παρέλαβε τελετάς, παραδοῦναι δύνασϑαι, δαδουχίας τυχόντα ῇ ἱεροφαντέας ἤ τινος ἄλλης ἱερωσύνης" πέμπτη δὲ ἡ ἐξ αὐτῶν περι- 5 γενομένη κατὰ τὸ ϑεοφιλὲς καὶ ϑεοῖς συνδίαιτον εὐδαι- μονέα. κατὰ ταὐτὰ δὴ καὶ ἡ τῶν Πλατωνικῶν λόγων παρά- δοσις τὸ μὲν πρῶτον ἔχει καϑαρμόν τινα, οἷον τὴν ἐν τοῖς προσήκουσι μαϑήμασιν ἐκ παίδων συγγυμνασίαν. ὁ μὲν γὰρ Ἐμπεδοκλῆςκρηνάων ἀπὸ πέντ᾽ ἀνιμώντάφησιν ἀτει- ρέι χαλκῷ δεῖν ἀπορρύπτεσϑαι᾽ 0 δὲ Πλάτων ἀπὸ πέντε μαϑημάτων δεῖν φησι ποιεῖσθαι τὴν κάϑαρσιν᾽ ταῦτα δ᾽ ἐστὶν ἀρυϑμητική, γεωμετρία, στερεομετρία, μουσική, ἀστρονομία. τῇ δὲ τελετῇ ἔοικεν ἡ τῶν κατὰ φιλοσοφίαν ϑεωρημάτων παράδοσις, τῶν τε λογικῶν καὶ πολιτικῶν 15 καὶ φυσικῶν. ἐποπτείαν δὲ ὀνομάξει τὴν περὶ τὰ
νοητὰ καὶ τὰ ὄντως ὕντα καὶ τὰ τῶν ἰδεῶν πραγ-
ματείαν. ἀνάδεσιν δὲ καὶ κατάστεψιν ἡγητέον τὸ ἐξ
ὧν αὐτός τις κατέμαϑεν οἷόν τε γενέσϑαι καὶ ἑτέρους
εἰς τὴν αὐτὴν ϑεωρίαν καταστῆσαι: πέμπτον δ᾽ ἂν εἴη o καὶ τελεώτατον ἡ ἐκ τούτων τεριγενομένη εὐδαιμονία
[9
0
1yetó mg. À ἡ &dd. Lobeck Aglaoph. p 5 πεμπτη δὲ ἡ] ἡ δὲ FA 6 εὐδαιμονίαν A, em. BHilialdus 7 ταῦτα ἃ Πλατωνικῶν] πολιτικῶν αὶ ϑᾶτρ. À 9 τὴν-- συγγυμνασίαν)] ἡ --- συγγυμνασία À 10 ᾿Εμπεδοκλῆς: vs. 422 Karsten, 442 Stein, 452 Mullach. cf. Aristot. Poet. p. 1457 b ἀνιμῶντα: αν οὗ c'ex corr. ὁ in ras. À ἀτειρέε corr. ex ἀκηρέι, inter eé et ε una lit. er. ἃ 11 χαλκῷ δεῖν ἀπορρύπτεσθϑαι:
xG δεῖν et pr. o in ras. À 18 στερεομετρία: o cOtr. ex ὦ B mg. A 16 cf. Phaedrus p. 250 C. — y mg. A 17 τὰ
τῶν Hultsch] τὴν τῶν ἃ 18 ὃ mg. ἃ 20 & mg. À
16 DE CONSILIO SCRIPTORIS.
καὶ κατ᾽ αὐτὸν τὸν Πλάτωνα ὁμοίωσις θεῷ κατὰ τὸ δυνατόν. πολλὰ μὲν ovv καὶ ἄλλα ἔχοι vig ἂν λέγειν παρα- δεικνὺς τὸ τῶν μαϑημάτων χρήσιμον καὶ ἀναγκαῖον. b τοῦ δὲ μὴ δοκεῖν ἀπειροκάλως διατρέβειν (év» τῷ τῶν μαϑημάτων ἐπαίνῳ τρεπτέον ἤδη πρὸς τὴν παράδοσιν .“..--.-- τῶν ἀναγκαίων κατὰ τὰ μαϑήματα ϑεωρημάτων, οὐχ ὅσα δύναιτο ἂν τὸν ἐντυγχάνοντα ἢ ἀριϑμητικὸν τελέως ἢ γεωμέτρην ἢ μουσικὸν ἢ ἀστρονόμον ἀποφῆναι" οὐδὲ 10 γάρ ἐστι τοῦτο προηγούμενον ἢ προκείμενον ἅπασι τοῖς Πλάτωνι ἐντυγχάνουσι" μόνα δὲ ταῦτα παραδώσο- μεν, ὅσα ἐξαρκεῖ πρὸς τὸ δυνηϑῆναι συνεῖναι τῶν συγγραμμάτων αὐτοῦ. οὐδὲ γὰρ αὐτὸς ἀξιοῖ εἰς ἔσχατον γῆρας ἀφικέσϑαι διαγράμματα γράφοντα καὶ μελῳδίαν, 15 ἀλλὰ παιδικὰ οἴεται ταῦτα τὰ μαϑήματα, προπαρα- σκευαστικὰ καὶ καϑαρτικὰ ὄντα ψυχῆς εἰς τὸ ἐπιτήδειον αὐτὴν πρὸς φιλοσοφίαν γενέσϑαι. μάλιστα μὲν οὖν χρὴ τὸν μέλλοντα οἷς τε ἡμεῖς παραδώσομεν οἷς τὲ Πλάτων συνέγραψεν ἐντεύξεσϑαι διὰ γοῦν τῆς πρώτης 20 γραμμικῆς στοιχειώσεως κεχωρηκέναι᾽ ῥᾷον γὰρ ἂν ξυνέποιτο οἷς παραδώσομεν. ἔσται δ᾽ ὅμως τοιαῦτα καὶ τὰ παρ᾽ ἡμῶν, ὡς καὶ τῷ παντάπασιν ἀμυήτῳ τῶν μαϑημάτων γνώριμα γενέσϑαι. πρῶτον δὲ μνημονεύσομεν τῶν ἀριϑμητικῶν ϑεωρη- 25 μάτων, οἷς συνέξευκται καὶ τὰ τῆς ἐν ἀριϑμοῖς μουσικῆς" τῆς μὲν γὰρ ἐν ὀργάνοις οὐπαντάπασι προσδεόμεϑα, καϑαὰ καὶ αὐτὸς ὁ Πλάτων ἀφηγεῖται λέγων ὡς οὐ χρὴ ὥσπερ
1 Theaet. p. 176 B 8 ἂν λέγειν apogr.] ἀναλέγειν A 24 inscr. περὶ ἀριϑμητικῆς À, B in mg. 27 Civ. VII p. 581 À, cf. p. 6, 5 sqq. P
DE DISCIPLINARUM MATH. ORDINE. 17
ἐκ γειτόνων φωνὴν ϑηρευομένους πράγματα παρέχειν ταῖς χορδαῖς" ὀρεγόμεϑα δὲ τὴν ἐν κόσμῳ ἁρμονίαν καὶ τὴν ἐν τούτῳ μουσικὴν κατανοῆσαι᾽ ταύτην δὲ ovy οἷόν τε κατιδεῖν μὴ τῆς ἐν ἀριϑμοῖς πρίτερον ϑεωρητι- xovg γενομένους. διὸ καὶ πέμπτην ó Πλάτων φησὶν s. εὖναι τὴν μουσικήν, τὴν ἐν κόσμῳ λέγων, ἥτις ἐστὶν ἐν τῇ κινήσει καὶ τάξει καὶ συμφωνίᾳ τῶν ἐν αὐτῷ κινου- μένων ἄστρων. ἡμῖν δ᾽ ἀναγκαῖον δευτέραν αὐτὴν τάττειν μετὰ ἀρυϑμητικὴν καὶ κατ᾽ αὐτὸν τὸν Πλάτωνα, ἐπειδὴ οὐδ᾽ ἡ ἐν κόσμῳ μουσικὴ ληπτὴ ἄνευ τῆς ἐξαριϑ- 10 μουμένης καὶ νοουμένης μουσικῆς. ὥστε εἰ μὲν συνέ- ξευκται τῇ περὶ ψιλοὺς ἀριϑμοὺς ϑεωρέᾳ ἡ ἐν ἀριϑμοῖς μουσική, δευτέρα ἂν ταχϑείη πρὸς τὴν τῆς ἡμετέρας ϑεωρίας εὐμάρειαν. πρὸς δὲ τὴν φυσικὴν τάξιν πρώτη μὲν ἂν εἴη ἡ περὶ ἀριϑμοὺς ϑεωρία, καλουμένη ἀριϑ'- 15 μητική" δευτέρα δὲ ἡ περὶ τὰ ἐπίπεδα, καλουμένη γεω- μετρία᾽ τρίτη δὲ ἡ περὶ τὰ στερεά, ἥτις ἐστὶ στερεομε- τρίχα τετάρτη (δὲ ἡ περὶ τὰ κινούμενα στερεά, ἥτις ἐστὶν ἀστρονομία. ἡ δὲ τῆς τῶν κινήσεων καὶ διαστη- μάτων ποιὰ σχέσις ἐστὶ μουσική, ἥτις οὐχ οἵα τέ ἐστι so ληφϑῆναι μὴ πρότερον ἡμῶν αὐτὴν ἐν ἀριϑμοῖς κατα- νοησάντων᾽ διὸ πρὸς τὴν ἡμετέραν ϑεωρίαν μετ᾽ ἀριϑ- μητικὴν τετάχϑω ἡ ἐν ἀριϑμοῖς μουσική, ὡς δὲ πρὸς τὴν φύσιν πέμπτη (ἡ τῆς τοῦ κόσμου ἁρμονίας ϑεωρη- ud μουσική. κατὰ δὴ τοὺς Πυϑαγορικοὺς πρεσβευτέα 25
τῆς Corr. ex τοῖς Α b Πλάτων: cf. ἝΩ . 580 D 6 τὴν i» κόσ ῳ λέγων} τῶν ἐν κόσμω λόγων Α, vs. 2 et 10 7 αὐτῷ Jull.] αὐτὴ À 10 scrib. vid. ἄνευ τῆς ἐν ἀριϑ-
μοῖς (vel ἐξ ἀριθμῶν) κατανοουμένης, cf. vs. 21 18 δὲ add. Bull. 19 sor. vid. πέμπτη δὲ ἡ τῆς τῶν κιν. καὶ διαστ. πρὸς ἄλληλα σχέσεως ϑοωρητικὴ μουσική 21 αὐτὴν] τὴν
25 μέχρι τούτου mg. À πρεσβευτὰς Α
Theo Smyrn. 2
18 DE UNO
τὰ τῶν ἀριϑμῶν ὡς ἀρχὴ xal πηγὴ καὶ ῥίζα τῶν aüvvov. ἀριϑμός ἐστι σύστημα μονάδων, ἢ προποδισμὸς πλήϑους ἀπὸ μονάδος ἀρχόμενος καὶ ἀναποδισμὸς εἰς 5 μονάδα καταλήγων. μονὰς δέ ἐστι περαίνουσα ποσότης [ἀρχὴ καὶ στοιχεῖον τῶν ἀριϑμώῶν]Ἴ, ἥτις μειουμένου T ους κατὰ τὴν ὑφαίρεσιν τοῦ παντὸς ἀριϑμοῦ στερηϑεῖσα μονήν τε καὶ στάσιν λαμβάνει. οὐ γὰρ οἷόν τὲ περαιτέρω γενέσϑαι τὴν τομήν᾽ καὶ γὰρ ἐὰν εἰς μόρια 10 διαιρῶμεν τὸ ὃν ἐν αἰσθητοῖς, ἔμπαλιν πλῆθος γενή- σεται τὸ ἕν καὶ πολλὰ, καὶ καταλήξει εἰς ὃν κατὰ τὴν ὑφαίρεσιν ἑκάστου τῶν μορίων" κἂν ἐκεῖνο πάλιν εἰς μόρια διαιρῶμεν, πλῆϑός τε τὰ μόρια γενήσεται καὶ ἡ κατάληξις καϑ᾿ ὑφαίρεσιν ἑκάστου τῶν μορίων εἰς ἕν. 15 ὥστε ἀμέριστον καὶ ἀδιαίρετον τὸ ἕν ὡς ἕν. καὶ γὰρ ὁ μὲν ἄλλος ἀριϑμὸς διαιρούμενος ἐλαττοῦται καὶ διαι- ρεῖται εἰς ἐλάττονα αὑτοῦ μόρια, οἷον τὰ ςἰ εἰς và y καὶ y ἢ δ΄ καὶ β' ἢ εἰ καὶ α΄. τὸ δὲ Ev ἂν μὲν ἐν αἰσϑητοῖς διαιρῆται, ὡς μὲν σῶμα ἐλαττοῦται καὶ διαι- 90 ρεῖται εἰς ἐλάττονα αὑτοῦ μόρια τῆς τομῆς γινομένης, ὡς δὲ ἀριϑμὸς αὔξεται᾽ ἀντὶ γὰρ ἑνὸς γίνεται πολλά. ὥστε καὶ κατὰ τοῦτο ἀμερὲς τὸ ἕν. οὐδὲν γὰρ διαιρού- μενον εἰς μείξονα ἑαυτοῦ μόρια διαιρεῖται" τὸ δὲ (Ev»
8 inscr. περὶ ἑνὸς καὶ μονάδος A, y in mg. Stob. ecl. 11,8 ἐκτῶν Μοδεράτου Πυϑαγορείου. ἔστι δ᾽ ἀριϑμὸς ὡς τύπῳ εἰπεῖν σύστημα μονάδων, ἢ 7] προποδισμὸς πλήϑους ἀπὸ μονά- δος ἀρχόμενος καὶ ἀναποδισμὸς εἰς μονάδα καταλήγων, μονάδας δὲ περαένουσα ποσότης, ἥτις μειουμένου τοῦ πλήϑους κατὰ τὴν ὑφαίρεσιν παντὸς ἀ υϑμοῦ στερηϑεῖσα μονήν τὲ καὶ στάσιν λαμ- βανει. περαιτέρω γὰρ ἡ μονὰς τῆς ποσότητος (scr. τῆς μονάδος ἡ ποσότης) οὐκ ἰσχύει ἀναποδίξειν. cf. schol. Dion. Thr. p. 820, 14 9 περαιτέρω: α corr. χε 14 post ἑκάστου ras. irium fere litt, A 23 εἰς (laa ἑαυτῷ ἢ tio» μείξονα ἑαυτοῦ
ET UNITATE. 19
διαιρούμενον καὶ εἰς μείζονα τοῦ ὅλου μόρια ὡς ἐν ἀριϑμοῖς διαιρεῖται καὶ (εἰς) ἴσα τῷ ὅλῳ᾽ οἷον τὸ ἕν τὸ ἐν αἰσθητοῖς ἂν εἰς 9E διαιρεθῇ, εἰς ἴσα μὲν τῷ ὅλῳ ὡς ἀριϑμὸς διαιρεϑήσεται α΄ e α΄ α' « « , εἰς μείξονα δὲ τοῦ ὅλου ὡς ἀριϑμὸς εἰς δ΄ καὶ β΄" τὰ γὰρ B καὶ δ΄ ὡς ἀριϑμοὶ πλείονα τοῦ ἑνός. ἀδιαίρετος ἄρα ἡ μονὰς ὡς ἀριϑμός. καλεῖται δὲ μονὰς ἥτοι ἀπὸ TOU μένειν ἄτρεπτος καὶ μὴ ἐξίστασθαι τῆς ἑαυτῆς φύσεως" ὁσάκις γὰρ ἂν ἐφ᾽ ἑαυτὴν πολλαπλασιάσωμεν τὴν μο-
6
νάδα, μένει μονάς" xal γὰρ ἅπαξ ἕν ἕν, καὶ μέχρις 10
ἀπείρου ἐὰν πολλαπλασιάξωμεν τὴν μονάδα, μένει μονάς. ἢ ἀπὸ τοῦ διακεκρέσϑαι καὶ μεμονῶσϑαι ἀπὸ τοῦ λοιποῖ πλήϑους τῶν ἀριϑμῶν -καλεῖται μονάς. f δὲ διενήνοχεν ἀριϑμὸς καὶ ἀριϑμητόν, ταύτῃ καὶ μονὰς καὶ ἕν. ἀριϑμὸς μὲν γάρ ἐστι τὸ ἐν νοητοῖς ποσόν, οἷον αὐτὰ & καὶ αὐτὰ v, οὐ σώματά τινα οὐδὲ αἰσϑητά, ἀλλὰ νοητά ἀριϑμητὸν δὲ vo ἐν αἰσϑητοῖς ποσόν, ὡς ἵπποι ε΄, βόες ε΄, ἄνϑρωποι ε΄. - καὶ μονὰς τοίνυν ἐστὶν ἡ τοῦ ἑνὸς ἰδέα ἡ νοητή, ἢ ἔστιν ἄτομος᾽ ἕν δὲ τὸ ἐν αἰσϑητοῖς x«0' ἑαυτὸ λεγόμενον, οἷον εἷς ἵππος, εἷς ἄνϑρωπος. ὥστ᾽ εἴη ἂν ἀρχὴ τῶν μὲν ἀριθμῶν ἡ μονάς, τῶν δὲ ἀριϑμητῶν τὸ ἕν᾽ καὶ τὸ fv ὡς ἐν αἰσϑητοῖς
ἴ pergit Stob. 1. c. ὥστε μονὰς ἤτοι ἀπὸ τοῦ ἑστάναι καὶ κατὰ ταὐτὰ ὡσαύτως ἄτρεπτος μένειν, ῇ ἀπὸ τοῦ διακεκρέσϑαι
καὶ poti μεμονῶσϑαι τοῦ πλήϑους εὐλόγως ἐκλήϑη 11 fort. ad “ἑαυτὴν 19] 0 A 21 inscr. τές ἀρχὴ ἀρεϑμοῦ Ν ὃ in mg. 22 Stob. ecl. I 1, 9 τινὲς τῶν ἀριϑ- μῶν ἀρχὴν ἀπεφήναντο τὴν ονάδα, τῶν δὲ ἀριϑ ητῶν τὸ ἕν, τοῦτο δὲ σῶμα τεμνόμενον & ίς ἄπειρον" ὥστε͵ τὰ ἀρυθμητὰ τῶν ἀριθμῶν ταύτῃ διαλλάττειν ἧ δια TI τὰ σώματα τῶν ἀσωμά- των. εἰδέναι δὲ καὶ τοῦτο χρὴ ὅτι τῶν ἀριϑ ὧν δἰσηγήσαντο τὰς ἀρχὰς of μὲν νεώτεροι τήν τε μονάδα xol τὴν δυάδα, οἵ δὲ Πυϑαγόρειοι πάσας παρὰ τὸ ἕξῆς τὰς τῶν ὅρων ἐκϑθέσεις, 9*
90 DE UNO
τέμνεσϑαί φασιν εἰς ἄπειρον, οὐχ ὡς ἀριϑμὸν οὐδὲ. ὡς ἀρχὴν ἀριϑμοῦ, ἀλλ᾽’ ὡς αἰσϑητόν. ὥστε ἡ μὲν μονὰς νοητὴ οὖσα ἀδιαίρετος, τὸ δὲ ὃν ὡς αἰσϑητὸν εἰς ἄπειρον τμητόν. καὶ τὰ ἀριϑμητὰ τῶν ἀριϑμῶν εἴη ἂν διαφέ- 5 ροντα τῷ τὰ μὲν σώματα εἶναι, τὰ δὲ ἀσώματα. ἁπλῶς δὲ ἀρχὰς ἀρυιϑμῶν ol μὲν ὕστερόν φασι τήν τε μονάδα καὶ τὴν δυάδα, οἵ δὲ ἀπὸ Πυϑαγόρου πάσας κατὰ τὸ ἑξῆς τὰς τῶν ὅρων ἐκϑέσεις, δι’ ὧν ἄρτιοί τε καὶ περιτ- τοὶ νοοῦνται, οἷον τῶν ἐν αἰσθητοῖς τριῶν ἀρχὴν τὴν το τριάδα καὶ τῶν ἐν αἰσϑητοῖς τεσσάρων πάντων ἀρχὴν τὴν τετράδα καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων ἀριϑμῶν κατὰ ταὐτά. of δὲ καὶ αὐτῶν τούτων ἀρχὴν τὴν μονάδα φασὶ καὶ τὸ ἕν πάσης ἀπηλλαγμένον διαφορᾶς ὡς ἐν ἀριϑμοῖς, μόνον αὐτὸ ἕν, οὐ τὸ ἕν, τουτέστιν οὐ τόδε τὸ ποιὸν καὶ διαφοράν τινα πρὸς ἕτερον ὃν προσειληφός, ἀλλ᾽ αὐτὸ καϑ᾽ αὑτὸ ἕν. οὕτω γὰρ ἂν ἀρχή vs καὶ μέτρον εἴη τῶν ὑφ᾽ ἑαυτὸ ὄντων, καϑὸ ἕκαστον τῶν ὄντων ἕν λέγεται, μετασχὸν τῆς πρώτης τοῦ ἑνὸς οὐσίας τὸ καὶ ἐδέας. ᾿άρχύτας δὲ καὶ Φιλόλαος ἀδιαφόρως τὸ ἕν καὶ 80 μονάδα καλοῦσι καὶ τὴν μονάδα ἕν. οἷ δὲ πλεῖστοι προστιϑέασι τῷ μονάδα αὐτὴν τὴν πρώτην μονάδα, ὡς οὔσης τινὸς οὐ πρώτης μονάδος, 1j ἐστι κοινότερον καὶ αὐτὴ μονὰς καὶ ἕν — λέγουσι δὴ καὶ τὸ ἕν — , τουτ-
δι’ ὧν ἄρτιοί τε καὶ περιττοὶ νοοῦνται. cf. Phot. Bibl. p. 438b 84. Zeller die Philos. d. Gr. I* p. 818, 335, 1. 839,4 5 ἁπλῶς
corr. ex ἁπλῶν Α 11 ταῦτά Α 14 μόνον (0v) αὐτὸ Ev? αὐτὸ ἣν corr. in αὐτον À ποιὸν (i5? 16 καθ᾽ αὑτὸ τὸ ἕν Bull. 17 ἑαυτὸ: 0 corr. ex o α 19 Aoxvvog:
Mullach fragm. philos. Gr. II p. 117 Φιλόλαος : Boeckh Phi- lolaos Lehren p. 147. Mullach II p. 5. cf. Zeller I p. 320, 1
21 τῷ μονάδα] scrib. , "3d. aub τῇ «μονάδι aut τῷ μονάδα (εἶναι 22 μονάδος] μ΄ A 28 αὕτη Α καὶ τὸ ἕν] οὐ τὸ E»? cf. vs. 14
ET UNITATE. 21
ἐστιν ἡ πρώτη xol νοητὴ οὐσία τοῦ ἑνός, ἑκάστου τῶν πραγμάτων παρέχουσα ἕν᾽ μετοχῇ γὰρ αὐτῆς ἕκαστον ὃν καλεῖται. διὸ καὶ τοὔνομα αὐτοῦ οὐδὲν παρεμφαίένει τί ἕν καὶ vívog γένους, κατὰ πάντων δὲ κατηγορεῖται, [ὥστε καὶ ἡ μονὰς καὶ ἕν ἐστι.) κἂν τὰ μὲν νοητὰ καὶ 5 παραδείγματα μηδὲν ἀλλήλων διαφέροντα, τὰ δὲ αἰσϑητά. ἔνιοι δὲ ἑτέραν διαφορὰν τῆς μονάδος καὶ τοῦ ἕνὲς παρέδοσαν. τὸ μὲν γὰρ ἕν οὔτε κατ᾽ οὐσίαν ἀλλοιοῦται, οὔτε τῇ μονάδι καὶ τοῖς περιττοῖς αἴτιόν ἐστι τοῦ μὴ ἀλλοιοῦσϑαι κατ᾽ οὐσίαν, οὔτε κατὰ ποιότητα, αὐτὸ 10 γὰρ μονάς ἐστι καὶ οὐχ ὥσπερ ci μονάδες πολλαί, οὔτε κατὰ τὸ ποδσόν᾽ οὐδὲ γὰρ συντίϑεται ὥσπερ aL μονάδες ἄλλῃ μονάδι" ὃν γάρ ἐστι καὶ οὐ πολλά, διὸ καὶ ἑνικῶς καλεῖται ἕν. καὶ γὰρ εἰ παρὰ Πλάτωνι ἕνάδες εἴρηνται ἐν Φιλήβῳ, οὐ παρὰ τὸ ἕν ἐλέχϑησαν, ἀλλὰ παρὰ τὴν τὸ ἑνάδα, ἥτις ἐστὶ μονὰς μετοχῇ τοῦ ἑνός. κατὰ πάντα δὴ ἀμετάβλητον τὸ ὃν τὸ ὡρισμένον τοῦτο ἐν τῇ μονάδι. ὥστε διαφέροι ἂν τὸ ἕν τῆς μονάδος, ὅτι τὸ μέν ἐστιν ὡρισμένον καὶ πέρας, αἱ δὲ μονάδες ἄπειροι καὶ ἀόριστοι.
τῶν δὲ ἀριϑμῶν ποιοῦνται τὴν πρώτην τομὴν εἰς 30 δύο᾽ τοὺς μὲν γὰρ αὐτῶν ἀρτίους, τοὺς δὲ περιττούς φασι. καὶ ἄρτιοι μέν εἰσιν οἵ ἐπιδεχόμενοι τὴν εἰς ἴσα διαίρεσιν, ὡς ἡ δυάς, ἡ τετράς" περισσοὶ δὲ οἵ εἰς ἄνισα διαιρούμενοι, οἷον ὁ ε΄, ὃ ξ΄. πρώτην δὲ τῶν περισσῶν ἔνιον ἔφασαν τὴν μονάδα. τὸ γὰρ ἄρτιον τῷ περισσῷ 536 ἐναντίον" ἡ δὲ μονὰς ἧτοι περιττόν ἐστιν ἢ ἄρτιον" καὶ
1 ἑκαστῳῦ 9 καὶ τοῖς ζἀρτίοις xal) περιττοῖς μὴ del. Bull. 19 συντίθεται À 14 εἰ corr. ex of ἃ 15 év Φιλήβῳ: p.16 À 16 μετοχῆ corr. ex petoyz αὶ 18 τὸ μὲν
(»$? — 90 inscr. περὶ ἀρτέου xol περιττοῦ À, € in mg. 22 εἰς δύο ἴσα Gelder, sed cf. p. 25, 21 sqq. 70, 16. 19. 71, 3. 72, 20
22 DE NUM. PARIBUS ET IMPARIBUS.
ἄρτιον μὲν ovx ἂν εἴη" οὐ yàg ὅπως εἰς ἴσα, ἀλλ᾽ οὐδὲ ὅλως διαιρεῖται" περιττὴ ἄρα ἡ μονὰς. κἂν ἀρτίφ δὲ ἄρτιον προσθῇς, τὸ πᾶν γίνεται ἄρτιον" μονὰς δὲ ἀρτίῳ προστιϑεμένη τὸ πᾶν περιττὸν ποιεῖ" οὐκ ἄρα ἄρτιον δ ἡ μονὰς ἀλλὰ περιττόν. ᾿Αριστοτέλης δὲ ἐν τῷ Πυϑα- γορικῷ τὸ ἕν φησιν ἀμφοτέρων μετέχειν τῆς φύσεως" ἀρτίῳ μὲν γὰρ προστεϑὲν περιττὸν ποιεῖ, περιττῷ δὲ ἄρτιον, ὃ οὐκ ἂν ἠδύνατο, εἰ μὴ ἀμφοῖν τοῖν φυσέοιν μετεῖχε διὸ καὶ ἀρτιοπέριττον καλεῖσθαι τὸ ἕν. συμ- 1:0 φέρεται δὲ τούτοις καὶ "oyüreg. περιττοῦ μὲν οὖν πρώτη ἰδέα ἐστὶν ἡ μονάς, καθάπερ καὶ ἐν κόσμῳ τῷ ὡρισμένῳ καὶ τεταγμένῳ τὸ περιττὸν προσαρμόξουσιν᾽" ἀρτίου δὲ πρώτη ἰδέα ἡ ἀόριστος δυάς, xat καὶ ἐν κόσμῳ τῷ ἀορίστῳ καὶ ἀγνώστῳ καὶ ἀτάκτῳ τὸ ἄρτιον :6 προσαρμόττουσι. διὸ καὶ ἀόριστος καλεῖταε ἡ δυάς, ἐπειδὴ οὐκ ἔστιν ὥσπερ ἡ μονὰς ὡρισμένη. ol δ᾽ ἑξῆς ἑπόμενοι τούτοις ὅροι ἀπὸ μονάδος ἐκειϑέμενοι τὰ αὐτὰ αὔξονται μὲν τῇ ἴσῃ ὑπεροχῇ μονάδι γὰρ ἕκαστος αὖ- τῶν τοῦ προτέρου πλεονάξει᾽ αὐξόμενοι δὲ τοὺς λόγους 30 τῆς πρὸς ἀλλήλους σχέσδως αὐτῶν μειοῦσιν. οἷον ἐκτε- ϑέντων ἀριϑμῶν c B γ' 0 ε΄ ς΄ ὃ μὲν τῆς δυάδος λόγος πρὸς τὴν μονάδα ἐστὶ διπλάσιος, ὁ δὲ τῆς τριάδος πρὸς τὴν δυάδα ἡμιόλιος, ὁ δὲ τῆς τετράδος πρὸς τὴν τριάδα ἐπίτριτος, ὁ δὲ τῆς πεντάδος πρὸς τὴν τετράδα ἐπιτέ- 35 ταρτος, 0 δὲ τῆς ἑξάδος πρὸς τὴν πεντάδα ἐπίπεμπτος. ἔστι δ᾽ ἐλάττων λόγος ὃ μὲν ἐπίπεμπτος τοῦ ἐπιτετάρτου,
ὅ ᾿Δριστοτέλης: ed. Berol fr. 194. Rose Arist. pseudepigr. fr. 184. Heitz fragm. Aristot. 115. cf. Zeller I p. 868, 4. 2* p. 48 πυϑαγορικῶ: o corr. ex ov ut vid. À 8. φυσέοιν mut. in φύσεον À 17 τὰ αὐτὰ del. esse cj. Hultsch 18
pova γὰρ corr. ex μόνοι À
DE NUMERIS PRIMIS. 23
ὁ δὲ ἐπιτέταρτος τοῦ ἐπιτρίτον, ὁ δὲ ἐπίτριτος (rov) ἡμιολίου, ὁ δὲ ἡμιόλιος τοῦ διπλασίου" καὶ ἐπὶ τῶν λθιπῶν δὲ ἀριϑμῶν ὁ αὐτὸς λόγος. ἐναλλὰξ δ᾽ εἰσὶν ἀλλήλοις οἵ τε ἄρτιοι καὶ οἵ περιττοὶ παρ᾽ ἕνα ϑεω- φρούμενοι. δ τῶν δὲ ἀριϑμῶν οἱ μὲν πρῶτοι καλοῦνται ἁπλῶς καὶ ἀσύνϑετοι, οἵ δὲ πρὸς ἀλλήλους πρῶτοι καὶ οὐχ ἁπλῶς, οἱ δὲ σύνϑετοι ἁπλῶς, οἱ δὲ πρὸς αὑτοὺς σύν- ϑετοι. πρῶτοι μὲν ἁπλῶς καὶ ἀσύνϑετοι οἵ ὑπὸ μηδε- γὸς μὲν ἀριϑμοῦ, ὑπὲ μόνης δὲ μονάδος μετρούμενοι, 10 ὡς ὁ y & € ia wy i καὶ of τούτοις ὅμοιοι. λέγονται δὲ οἵ αὐτοὶ οὗτοι γραμμικὄὶ καὶ εὐθυμετρικοὶ διὰ τὸ καὶ τὰ μήκη καὶ τὰς γραμμὰς κατὰ μίαν διάστασιν ϑεω- ρεῖσϑει᾽ καλοῦνται δὲ καὶ περισσάκις περισσοί᾽ ὥστϑ ὀνο- μάξεσϑαι αὐτοὺς πενταχῶς, πρώτους, ἀσυνθέτους, γραμ- 15 μικούς, εὐθυμετρικούς, περισσάκις περισσούς. μόνον δὲ οὕτως καταμετροῦνται. τὰ γὰρ τρία οὐκ ἂν vx ἄλλου καταμετρηϑείη ἀριϑμοῦ ὥστε γεννηθῆναι ἐκ τοῦ πολλα- πλασιασμοῦ αὐτῶν, ἢ ὑπὸ μένης μονάδος" ἅπαξ γὰρ τρία τρέα. ὁμοίως δὲ καὶ ἅπαξ δ΄ ε΄, καὶ ἀπαξ ζ΄ ζ΄, καὶ 30 ἅπαξ ια΄ ια΄. διὸ καὶ περισσάκις περισσοὶ κέκληνται" οἵ τε γὰρ καταμευτρούμενοι περιασοὶ ἤ τε καταμετροῦσα αὐτοὺς μονὰς περισδή. διὸ καὶ πρῶτοι καὶ ἀσύνϑετοι μόνοι of περισσοί. οἵ γὰρ ἄρτιοι οὔτε πρῶτοι οὔτε ἀσύν- ϑετοι οὔτε ὑπὸ μόνης μονάδος μετρούμενοι, ἀλλὰ καὶ ὑπ᾽ 36
1 τοῦ add. apogr. 2 καὶ supra vs. add. À 6 inscr. περὶ πρώτου καὶ ἀσυνθέτου Δ, ξ 80 mox ad significanda
quattugr genera à β y ὃ in mg. 8 scr. vid. οἵ δὲ σύνϑετοι ἁπλῶς καὶ πρὸρ αὑτούς, οὗ δὲ πρὸς ἀλλήλους σύνϑετι 9 ἃ mg. À 11 ὡς] οὕτως A 16 μόνοι ἃ 18 πολλασιασμοῦ À, em, apogr.
24 DE NUM. COMPOSITIS.
ἄλλων ἀριϑμῶν᾽ olov τετρὰς μὲν ὑπὸ Óvadog: δὶς γὰρ B. 0': ἑξὰς δὲ ὑπὸ δυάδος καὶ τριάδος" δὶς γὰρ y ς΄ καὶ τρὶς B ς΄ καὶ οἵ λοιποὶ ἄρτιοι κατὰ τὰ αὐτὰ ὑπό τινων μει- ξόνων τῆς μονάδος ἀριϑμῶν καταμετροῦνται , πλὴν τῆς
5 δυάδος. ταύτῃ γὰρ μόνῃ συμβέβηκεν, 0 ὅπερ, καὶ ἐνίοις τῶν περισσῶν, τὸ ὑπὸ μονάδος μετρεῖσθαι μόνον" ἅπαξ γὰρ β΄ B'* διὸ καὶ περισσοειδὴς εἴρηται ταὐτὸ τοῖς περισ- Gotg πεπονϑυῖα. πρὸς ἀλλήλους δὲ λέγονται πρῶτοι ἀριϑ- μοὶ καὶ οὐ καϑ᾽ αὑτοὺς o κοινῷ μέτρῳ μετρούμενοι τῇ 10 μονάδι, κἂν ὑπ᾽ ἄλλων τινῶν ἀριϑμῶν ὡς πρὸς éxv- τοὺς καταμετρῶνται. οἷον ἑ η΄ μετρεῖται μὲν καὶ ὑπὸ τῶν B' καὶ δ΄, καὶ ὁ 9' ὑπὸ τῶν γ΄, καὶ 0v ὑπὸ τῶν B. καὶ ε΄" ἔχουσι δὲ καὶ κοινὸν μέτρον καὶ πρὸς ἀλλήλους καὶ πρὸς τοὺς xe" ἑαυτοὺς πρώτους τὴν μονάδα᾽ καὶ γὰρ
15 ἅπαξ y' γ΄ καὶ ἅπαξ « η καὶ ἅπαξ ϑ' 9 καὶ ἅπαξ wv. σύνϑετοι δέ εἰσι πρὸς ἑαυτοὺς οἵ ὑπό τινος ἐλάτ- τονος ἀριϑμοῦ μετρούμενοι, ὡς ὁ g ὑπὸ δυάδος καὶ τριάδος. πρὸς ἀλλήλους δὲ σύνϑετοι οἷ κοινῷ ᾧτινιοῦν μέτρῳ μετρούμενοι" ὡς ὁ η΄ καὶ ὁ ς΄ [καὶ ὁ 81᾽ κοινὸν 20 γὰρ ἔχουσι μέτρον δυάδα [καὶ τριάδα] δὶς γὰρ γ' ς΄ καὶ δὶς δ΄ η΄ [καὶ τρὶς γ΄ 97 (xol ὁ ς΄ καὶ ὁ 8΄ κοινὸν γὰρ αὐτῶν μέτρον ἡ τρίας᾽ καὶ γὰρ τρὶς B ς΄ καὶ τρὶς y ϑ΄. οὔτε δὲ ἡ μονὰς ἀριϑμὸς, ἀλλὰ ἀρχὴ ἀριϑμοῦ, οὔτε ἡ ἀόριστος δυάς, πρώτη οὖσα ἑτερότης μονάδος 25 καὶ μηδὲν αὐτῆς ἐν ἀρτίοις ἀρχικώτερον ἔχουσα. τῶν 0b συνθέτων τοὺς μὲν ὑπὸ δύο ἀριϑμῶν περιεχομένους καλοῦσιν ἐπιπέδους, ὡς κατὰ δύο διαστάσεις ϑεωρου-
4 ἀφιϑμῶν corr. ex ἀριϑμὸν Καὶ 8 B mg. A. 14 καὶ]
ὡς À 16 inscr. zegl συνϑέτου ἀριθμοῦ À, ξ et y in mg. 18 ὃ mg. ἃ 28 sqq. οὔτε δὲ — ἔχουσα fort, del.
DE NUM. PARIUM GENEBIBUS. 25
μένους xal olov ὑπὸ μήκους xal πλάτους περιεχομένους, τοὺς δὲ ὑπὸ τριῶν στερεούς, ὡς καὶ τὴν τρίτην διάστα- σιν προσειληφότας. περιοχὴν δὲ καλοῦσιν ἀριϑμῶν τὸν δι’ ἀλλήλων αὐτῶν πολυπλασιασμόν.
τῶν δὲ ἀρτίων οἱ μέν εἰσιν ἀρτιάκις ἄρτιοι, ob δὲ s περιττάκις ἄρτιοι, οἵ δὲ ἀρτιοπέριττοι. ἀρτιάκις μὲν ἄρ- τιοι [τὸ σημεῖον τοῦτό ἐστιν] olg τρέα συμβέβηκεν, ὃν τὸ ὑπὸ δύο ἀρτέων ἐπ᾽ ἀλλήλους πολυπλασιασϑέντων γεγενῆσθαι, δεύτερον τὸ πάντα ἄρτια ἔχειν τὰ μέρη μέχρι τῆς εἰς μονάδα καταλήξεως, τρίτον τὸ μηδὲν αὐ- 10 τῶν μέρος ὁμώνυμον εἶναι περιττῷ᾽ ὁποῖοί εἰσιν ὃ λβ΄ ξδ΄ ρκη΄ καὶ oí ἀπὸ τούτων ἑξῆς κατὰ τὸ διπλάσιον λαμβανόμενοι. τὰ γὰρ AB. γέγονε μὲν ἔκ τε δ΄ καὶ η΄, & ἐστιν ἄρτια᾽ μέρη δὲ αὐτῶν πάντα ἄρτια, ἥμισυ ig, τέταρτον ὁ η΄, ὕγδοον ὁ δ΄" αὐτά τε τὰ μόρια ὁμώνυμα 15 ἀρτέοις, τό τε ἥμισυ ὡς ἐν δυάδι ϑεωρούμενον καὶ τέταρτον καὶ ὄγδοον. ὃ δὲ αὐτὸς λόγος καὶ ἐπὶ τῶν λοιπῶν ὁμοίως ἀριϑμῶν.
ἀρτιοπέριττοι δέ εἶσιν οἱ ὑπὸ δυάδος καὶ περιττοῦ οὑτινοσοῦν μετρούμενοι, οἵτινες ἐκ παντὸς περιττὰ μέρη 0 ἔχουσι τὰ ἡμίσεα κατὰ τὴν εἰς ἴσα διαίρεσιν᾽ ὡς τὰ δὲς E ιδ΄. ἀρτιάκις μὲν γὰρ οὗτοι καλοῦνται περιττοί, ἐπεὶ ὑπὸ τῆς δυάδος ἀρτίας οὔσης μετροῦνται καὶ περισσοῦ τινος. ὁ μὲν δύο τοῦ ἑνός, ὁ δὲ ς΄ τοῦ γ΄, ὁ δὲ v τοῦ ε΄, ὁ δὲ ιδ' τοῦ ζ΄. διαιροῦνται δὲ οὗτοι τὴν πρώτην s5
ὅ inscr. περὶ τῆς τῶν ἀρτίων διαφορᾶς Α, mg. 6 inser. περὶ τῶν ἀρτιάκις ἀρτέων Α. cf. Zeller Ip p. 366
μὲν ἄρτιοι ΑἹ μὲν ἀρτίου apogr. 7 olg] ὦ 9 τὸ apogr.] v0» À 11 ὁμώνυμον: ὦ cOrr. ex o À Α πέρατα, ὦ COrr. ex ov À 14 is corr. ex 17 Α 18 inscr. περὶ
ἀρτιοπερέττων À, Tin mg. 20 μέρη del. Hultsch
26 DE NUM. QUADRATIS
διαίρεσιν sig περιττόν, μετὰ δὲ τὴν πρώτην εἰς ἴσα διαίρεσιν οὐχ ἔτι διαιροῦνται. τῶν γὰρ ς΄ τὰ μὲν γ' ἥμισυ, τὰ δὲ y' οὐκ ἔτι εἰς ἴσα διαιρεῖται" μονὰς γὰρ ἀδιαίρετος.
δ περισσάχις ὃΣ ἄρτιοί εἶσιν ὧν ὁ πολλαπλασιασμὸς ἐκ δυεῖν ὡντινωνοῦν περισσοῦ καὶ ἀρτίου γένεται, καὶ πολλαπλασιασϑέντες εἰς ἴσα μὲν ἄρτια μέρη δίχα διαι- ροῦνται, κατὰ δὲ τὰς πλείους διαιρέσεις ἃ μὲν ἄρτια μέρη, ἃ δὲ περισσὰ ἔχουσιν" ὡς ὁ ιβ΄ καὶ x^ τρὶς γὰρ
10 δ΄ (f , καὶ πεντάκις δ' x^ καὶ τὰ μὲν ιβ΄ διχῆ διαιφεῖ- ται (εἰς) ς΄ καὶ ς΄, τριχῇ δὲ εἰς δ΄ καὶ δ' καὶ δ΄, τετραχῆ 05 síg τετράκις y" τὰ δὲ κ' διχῆ μὲν εἰς v, τετραχῆ δὲ εἰς ε΄, πενταχῆ δὲ εἰς δ΄.
ὅτι τῶν συνθέτων ἀριϑμῶν οἵ μὲν ἰσάκις ἴσοι εἰσὶ
i5 καὶ τετράγωνοι καὶ ἐπέπεδοι, ἐπειδὰν ἴσος ἐπὶ ἴσον πολλαπλασιασϑεὶς γεννήσῃ τινὰ ἀριϑμόν, [ὁ γεννηϑεὶς ἰσάκις τε ἴδος καὶ τετράγωνός ἐστιν) ὡς ὁ δ΄, ἔστι γὰρ δὶς β΄, καὶ ὃ 9', ἔστι γὰρ τρὶς y οἵ δὲ ἀνισάκις ἄνι- σοι, ἐπειδὰν ἄνισοι ἀρυϑμοὶ ἐπ᾽ ἀλλήλους πολλαπλα-
30 σιασϑῶσιν, ὡς ὁ ς΄" ἔστι γὰρ δὶς y ς΄.
τούτων δὲ ἑἕτερομήκεις μέν εἰσιν οἵ τὴν ἑτέραν πλευρὰν τῆς ἑτέρας μονάδι μείξονα ἔχοντες. ἔστι δὲ ὁ τοῦ περισσοῦ ἀριϑμοῦ μονάδι πλεονάξων καὶ ἄρτιος"
5 inscr. περὶ περισσάκις ἀρτέων À, τὰ in mg. 14 inscr.
περὶ ἰσάκις ἴσων A, iB in mg. 15 καὶ ἐπίπεδοι fort. del.
ydo post ἐπειδὰν add. A3 A6 γεννήση: σὴ corr. ex σὰ ἃ 18 inscr. περὶ τῶν ἀνισάκις ἀνίσων À, ty in mg.
21 sqq. cf. Cantor mathemat. Beitr. zum Culturleben der
Vülker p. 106 sqq. — inscr. περὶ ἑτδρομηπῶν (corr. ex ἕτε-
θομήκων) Α 28 τοῦ περισσοῦ ἀριϑμοῦ mut. in và πϑερισσῶ
ἀριϑμῶ Α
ET ALTERA PARTE LONGIORIBUS. 2T
διὸ μόνον ἄρτιοι οἵ ἑτερομήκεις. 1 γὰρ ἀρχὴ τῶν ἀριϑμῶν, τουτέστιν ἡ μονάς, περισσὴ οὖσα τὴν δτερό- τῆτα. ξητοῦσα τὴν δυάδα ἑτερομήκη τῷ αὑτῆς διπλα-
σιασμῷ ἐποίησε, καὶ διὰ τοῦτο ἡ δυὰς τῆς μονάδος ἑτερομήκης οὖσα καὶ μονάδι ὑπερέχουσα τοὺς ἀρτίους ; ἀριϑμοὺς τῶν περισσῶν ἑτερομήκεις ποιεῖ μονάδι ὑπερ- ἔχοντας. γεννῶνται δὲ διχῶς, ἔκ vs πολλαπλασιασμοῦ καὶ ἐπισυνθέσεως. ἐκ μὲν ἐπισυνθέσεως οἷ ἄρτιοι τοῖς ἐφεξῆς ἐπισυντιθέμενοι τοὺς ἀπογεννωμένους ποιοῦσιν ἑτερομήκεις. οἷον ἐκκείσϑωσαν ἄρτιοι κατὰ τὸ ἑξῆς D 10 δ΄ ς΄ η΄ v ιβ΄ ιδ΄ ig τη γένονται δὲ κατ᾽ ἐπισύνϑεσιν β΄ καὶ δ΄ ς΄, c καὶ c ιβ΄, ιβ΄ καὶ m κ΄, κ' καὶ ἐ' λ΄ ὥστε εἶεν ἂν οἵ γεγεννημένοι ἑτερομήκεις ς΄ iB. κ' Δ΄. ὁ δὲ αὐτὸς λόγος καὶ ἐπὶ τῶν ἑξῆς. κατὰ δὲ πολλαπλασια- σμὸν ol αὐτοὶ ἑτερομήκεις γεννῶνται τῶν ἐφεξῆς ἀρτίων is τε καὶ περιττῶν τοῦ πρώτου ἐπὶ τὸν ἑξῆς πολλαπλασια- tou£vov: οἷον α΄ B y 0 s ς΄ ζ΄ q 9 (* ἅπαξ μὲν γὰρ B β΄, δὶς δὲ y' ς΄, τρὶς (055 δ΄ εβ΄, τετράκις δὲ ε΄ x, πεντάκις δὲ ς΄ λ΄" καὶ ἐπὶ τῶν ἑξῆς ὁ αὐτὸς λόγος. évs- ρομήκχεις δὲ οἵ τοιοῦτοι κέχληνται, ἐπειδὴ πρώτην ἕτε- so ρότητα τῶν πλευρῶν ἡ προσϑήκη τῇ ἑτέρᾳ πλευρᾷ τῆς μονάδος ποιδῖ. |
παραλληλόγραμμοι δέ εἶσιν ἀριϑμοὶ οἱ δυάδι ἢ καὶ μείζονι ἀριϑμῷ τὴν ἑτέραν πλευρὰν τῆς ἑτέρας
1 διὸ corr. ut vid. ex δύο ΚΑ ὃ ἕτερομήκη: o corr. ex ὦ Α
5 ἑτερομήκης: ομήκη in ras., ego corr. uf vid. ex go A 6 τῶν περισσῶν mut. in τῷ περισσῷ Α 9 ἀπογεννωμένους: o corr. ex o À ΩΝ E. ero uni " o6 nd» epoge] seriem add. A , 13 18 γεγενημένοι 16 τὸν aros A
vov» À 18 ὃ 20 πρώτην ἣν COrr. ex πρῶτον 23 inscr. ^ l παραλληλογράμμων ἀριϑμῶν Α, i5 in
mg. figuras inutiles add. Α
28 DE NUM. QUADRATIS
ὑπερέχουσαν ἔχοντες, ὡς ὁ δὶς δ΄ καὶ ὁ τετράκις ς΄ καὶ ὁ ἑξάκις q καὶ ὁ ὀκτάκις v, οἵτινές εἰσιν ὁ η΄ κδ΄ μη π΄. τετράγωνοί εἰσιν οἱ ἐκ τῶν κατὰ τὸ ἑξῆς περισσῶν ἐπισυντιϑεμένων ἀλλήλοις γεννώμενοι. οἷον ἐκκείσϑω- δ σαν ἐφεξῆς περισσοὶ α΄ y ε΄ ξ΄ ϑ' ια΄" ὃν καὶ y' δ΄, ὅς ἐστι τετράγωνος, ἰσάκις γάρ ἐστιν ἴσος, τουτέστι δὶς B. 0'* δ΄ καὶ ε΄ 8', ὃς καὶ αὐτὸς τετράγωνος᾽ ἔστι γὰρ τρὶς y 9'* ϑ' καὶ £ ις΄, ὃς καὶ αὐτὸς τετράγωνός dar." τετράκις γὰρ δ' ἐς" ug καὶ 9 κε΄, ὃς καὶ αὐτὸς τετράγωνός ἐστι καὶ 10 ἐσάκις ἴσος" ἔστι γὰρ πεντάκις & κε΄ καὶ μέχρις ἀπείρου ὁ αὐτὸς λόγος. κατὰ μὲν οὖν ἐπισύνϑεσιν οὕτως γεννῶν- ται οἷ τετράγωνοι, τῶν ἐφεξῆς περισσῶν τῷ γεννωμένῳ ἀπὸ μονάδος τετραγώνῳ προστιϑεμένων᾽" κατὰ πολλαπλα- σιασμὸν δέ, ἐπειδὰν ὁστισοῦν ἀριϑμὸς ἐφ᾽ ἑαυτὸν πολλα-
15 πλασιασϑῇ, οἷον δὶς β΄ δ΄, τρὶς γ΄ ϑ΄, τετράκις δ' ig. οἵ μὲν οὖν τετράγωνοι πάντες τοὺς ἑτερομήκεις περιλαμβάνουσι κατὰ τὴν γεωμετρικὴν ἀναλογίαν καὶ μέσους αὐτοὺς ποιοῦσι [τουτέστι τοὺς μονάδι μείξονας τὴν ἑτέραν πλευρὰν τῆς ἑτέρας ὑπερέχοντας] οἵ δὲ '?o ἑτερομήκεις οὐκ ἔτει τοὺς τετραγώνους περιλαμβάνουσιν ὡς μέσους εἶναι κατὰ ἀναλογίαν. οἷον « B y à c. οὗτοι τῷ μὲν ἰδίῳ πλήϑει πολλαπλασιαξόμενοι ποιοῦσι τετραγώνους" ἅπαξ τε γὰρ α' α΄ καὶ δὶς β΄ δ' καὶ τρὶς y 9' καὶ τετράκις Ó ις΄ καὶ πεντάκις ε΄ xs' καὶ οὐκ 35 ἐχβαίνουσι τῶν ἰδίων ρων" ἥ τε γὰρ δυὰς ἑαυτὴν
8 inscr. περὶ τετραγώνων ἀριϑμῶν Α,τξ in mg. τε- τράγωνοι (Oé) εἰσιν ὅ ὃ 9 ic xe 15 supra numerorum se- rem add. A ὅς apogr] ὅ A 16 inscr. ὅτι of τετράγω- vov μέσους τοὺς ἑτερομήκεις λαμβάνουσιν À, i£ in mg.
18 μεέξονα Gelder 19 ὑπερέχοντας) ἔχοντας apogr.
22 οὗτοι] οὕτως of A 23 τὸν ἴδιον ὅρον [δ
ET ALTERA PARTE LONGIORIBUS. 209
ἐδύασε καὶ ἡ τριὰς ἑαυτὴν ἑἐτρίασεν, ὥστε εἶεν ἂν τε- τράγωνοι oí ἑξῆς a 0 ϑ' ug κε΄. μέσους δὲ ἔχουσι τοὺς ἑτερομήκεις οὕτως. τετράγωνοι δύο ἐφεξῆς ὅ ve α΄ καὶ δ΄ τούτων μέσος ἑτερομήχης ὁ β΄ κείσϑωσαν δὴ « β΄ δ΄" μέσος γίνεται ὁ β΄, τῷ αὐτῷ λόγῳ τῶν ἄκρων τοῦ 5 μὲν ὑπερέχων, ὑφ᾽ οὗ δὲ ὑπερεχόμενος᾽ τοῦ μὲν γὰρ ἑνὸς τὰ B' διπλάσια, τῶν δὲ β΄ τὰ δ΄. πάλιν τετράγω- νοι μὲν ὁ Ó' καὶ 9" μέσος δὲ αὐτῶν ἑτερομήκης ὁ g^ κείσϑωσαν δὴ δ΄ ς΄ 9' μέσος ὁ c, τῷ αὐτῷ λόγῳ τῶν ἄκρων τοῦ μὲν [γὰρ] ὑπερέλων, ὑφ᾽ οὗ δὲ ὑπερεχόμε- τὸ vog' τῶν μὲν γὰρ δ' τὰ ς΄ ἡμιόλια, τῶν δὲ ς΄ τὰ 8΄. ὁ δὲ αὐτὸς λόγος καὶ ἐπὶ τῶν ἕξῆς. οἵ δὲ ἑτερομήκεις, ὑπὸ τῶν τῇ μονάδι ὑπερεχόντων πολλαπλασιαξόμενοι, οὔτε μένουσιν ἐν τοῖς ἰδίοις ὅροις οὔτε περιέχουσι τοὺς τετραγώνους. οἷον τὰ δὶς y γεννᾷ τὸν ς΄ καὶ τὰ τρὶς 15 δ' γεννᾷ τὸν ιβ΄ καὶ τὰ τετράκις & γεννᾷ τὸν κ΄, καὶ οὐδεὶς αὐτῶν μένει ἐν τῷ ἑαυτοῦ ὅρῳ, ἀλλὰ μεταπίπτει ἐν τῷ πολλαπλασιασμῷ, οἷον δυὰς ἐπὶ τριάδα καὶ τριὰς ἐπὶ τετράδα καὶ τετρὰς ἐπὶ πεντάδα᾽ οἵ τὸ γεννώμενοι ὑπὸ τῶν ἑτερομήχων οὐ περιλαμβάνουσι τοὺς τετραγώ- 30 νους ἀριϑμούς" οἷον ἐφεξῆς ἑτερομήκχεις B ς΄, μεταξὺ 0b αὐτῶν ἐστι τῇ τάξει τετράγωνος 0 0^ ἀλλὰ κατ᾽ οὐδεμίαν ἀναλογίαν περιλαμβάνεται ὑπ᾽ αὐτῶν ὥστε ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ πρὸς τὰ ἄκρα εἶναι. ἐκκείσϑω γὰρ f δ΄ ς΄" ἡ τετρὰς ἐν διαφόροις λόγοις πρὸς τὰ ἄκρα ss γενήσεται᾽ τῶν μὲν γὰρ f τὰ 0 διπλάσια, τῶν δὲ δ΄
9 μέσος 0] μέσα τὰ Α 10 γὰρ om. apogr. 20 ὑπὸ τῶν ἑτερομήκων del. vid. 28 οὐδὲ μίαν À, em. apogr. 24 αὐτῷ supra vs. add. A ἐκκείσθω γὰρ] ἐκκεέσθωσαν
apogr. 4206 τὰ ὃ πλάσια Δ, em. apogr.
30 DE NUM. OBLONGIS.
τὰ ς΄ ἡμιόλια. ἵνα δὲ ἀναλόγως μέσον ἧ, δεῖ αὐτὲ οὕτως μέσον εἶναι, ὥστε ὃν ἔχει λόγον τὸ πρῶτον πρὸς τὸ μέσον, τοῦτον τὸ μέσον πρὸς τὸ τρίτον. πάλιν τῶν ς΄ καὶ ιβ΄ ἑτερομήκων μέσος τῇ τάξει τετράγωνος € ϑ', 5 ἀλλ᾽ οὐχ εὑρεϑήσεται ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ πρὸς τὰ ἄκρα" ς΄ 8' ιβ΄ τῶν μὲν γὰρ ς΄ τὰ 9' ἡμιόλια, τῶν δὲ 8΄' τὰ ιβ΄ ἐπίτριτα. ὃ δὲ αὐτὸς καὶ ἐπὶ τῶν ἑξῆς λόγος. προμήκης δέ ἐστιν ἀριϑμὸς Ó ὑπὸ δύο ἀνίσων ἀριθμῶν ἀποτελούμενος ὠντινωνοῦν, ἢ μονάδι ἢ δυάδι 10 ἢ καὶ πλείονι τοῦ ἑτέρου τὸν ἕτερον ὑπερέχοντος, ὡς ὁ xÓ', ἔστι γὰρ ἑξάκις δ΄, καὶ "οἷ τοιοῦτοι. ἔστι δὲ τρία μέρη τῶν προμήκων. καὶ γὰρ πᾶς ἑἕτερομήκης προμή- κης,) καϑὸ μεέξονα τὴν ἑτέραν πλευρὰν τῆς ἑτέρας ἔχει. ὥστε εἰ μέν τις ἕτερομήκης, οὗτος καὶ προμήκης᾽ οὐ 15 μὴν ἀνάπαλιν᾽ ὁ γὰρ μείξονα πλέον ἢ μονάδι τὴν ἕτέ- ραν ἔχων πλευρὰν προμήκης μέν, οὐ μὴν ἑτερομήκης" ἦν γὰρ ἑτερομήκης ὃ μονάδι μεέξονα τὴν ἑτέραν ἔχων πλευράν, ὡς ὁ ς΄ ἔστι γὰρ δὶς y ς΄. ἔτι προμήκης καὶ ὁ κατὰ διαφορὰν πολλαπλασιασμοῦ ποτὲ μὲν μονάδι 20 μείζονα τὴν ἑτέραν πλευρὰν (Éyov», ποτὲ δὲ πλεῖον ἢ μονάδι" ὡς ὁ ιβ΄ ἔστι γὰρ καὶ τρὶς δ΄ καὶ δὶς ς΄, ὥστε κατὰ μὲν τὸ τρὶς Ó εἴη ἂν ἑτερομήκης, κατὰ δὲ τὸ δὶς ς΄ προμήκης. ἔτι προμήκης ἐστὶν ὁ κατὰ πάσας τὰς σχέσεις τῶν πολλαπλασιασμῶν πλέον ἢ μονάδι μείξονα 6 τὴν ἑτέραν ἔχων πλευραάν᾽ ὡς ὁ μ᾽ καὶ γὰρ τετράκις U 8 τὸ τρίτον apogr.] τὸν τρίτον A. 6 ς΄ ϑ΄ ιβ΄ fort. del. 8 inscr. περὶ προμηκῶν (corr. ex προμήκων) ἀριϑμῶν A,
min mg. 9 δυάδι apogr] δια A 15 μέρη] yévn? 14 οὗτος COrr. ex οὕτως α 19 πολλαπλασιασμός À, κατὰ διάφορον πολλαπλασιασμὸν Bull. 20 ἔχων &dd. apogr. , 925 τετράκε À, em. apogr.
DE NUM. PLANORUM GENERATIONE. 91
καὶ πεντάκις η΄ καὶ δὶς x^ ὅστις καὶ μόνος ἂν εἴη προ- μήχης. ἑτερομήκης γάρ ἐστιν ὁ ἐκ τῶν ἴσων ἀριϑμῶν τὴν πρώτην λαμβάνων ἑτερότητα᾽ ἡ δὲ τῆς μονάδος τῷ ἑτέρῳ ἀριϑμῷ προσϑήκη πρώτην ποιεῖ ἑτερότητα᾽ διὸ of ἐκ τούτων κυρίως ἀπὸ τῆς πρώτης τῶν πλευρῶν 5 ἑτερότητος ἕτερομήκεις. οἱ δὲ πλέον ἢ μονάδι τὴν ἕτέ- ραν πλευρὰν μείξονα ἔχοντες διὰ τὸν ἐπὶ πλέον προ- βιβασμὸν τοῦ μήκους προμήκεις κέκληνται.
εἰσὶ δὲ τῶν ἀριϑμῶν οἱ μὲν ἐπίπεδοι, ὅσοι ὑπὸ δύο ἀριϑμῶν πολλαπλασιάξονται, οἷον μήκους καὶ πλά- 10 τους, τούτων δὲ οἵ μὲν τρέγωνοι, οὗ δὲ τετράγωνοι, οἵ ὃὲ πεντάγωνοι καὶ κατὰ τὸ ἑξῆς πολύγωνοι.
γεννῶνται δὲ οἱ τρίγωνοι τὸν τρόπον τοῦτον. [ὥσπερ] οἵ ἐφεξῆς ἄρτιοι ἀλλήλοις ἐπισυντιϑέμενοι κατὰ τὸ ἑξῆς ἑτερομήκεις ἀριϑμοὺς ποιοῦσιν. οἷον ὁ 15 B πρῶτος ἄρτιος᾽ καὶ ἔστιν ἑτερομήκης᾽ ἔστι γὰρ ἅπαξ β΄. εἶτα τοῖς β΄ ἂν προσϑῆς δ΄, γίνεται ς΄, ὃς καὶ αὐτὸς ἑτερομήκης᾽ ἔστι γὰρ δὶς γ΄. καὶ μέχρις ἀπείρου C αὐτὸς λόγος. ἐναργέστερον δέ, ὥστε πᾶσιν εὐσύνοπτον εἶναι τὸ λεγόμενον, δείκνυται καὶ τῇδε. πρώτη δυὰς 0 ἔστω ἄλφα éxxs(usve δύο τάδε᾽ τὸ δχῆμα αὐτῶν ἔσται ἑτερόμηέΕς κατὰ μὲν γὰρ τὸ μῆκός ἐστιν ἐπὶ δύο, κατὰ δὲ τὸ πλάτος ἐφ᾽ ἕν. μετὰ τὰ δύο ἐστὶν ἄρτιος ὁ 0 ἃ ἐὰν προσϑῶμεν τοῖς πρώτοις 56
1 μόνονν ὃ λαμβάνον A, em. apogr. 4 πρώτην corr. ex πρῶτον ut vid., antea una litt. erasa A 9 inscr. περὶ
ἐπιπέδων ἀριϑμῶν A, 8 in mg. 18 inscr. περὶ τρι- γώνων ἀριϑμῶν πῶς γεννῶνται καὶ περὶ τῶν ἑξῆς πολυγώνων À, x in mg. ost ἔσται compendium eius- dem voculae erasum in À ex ] 99 AÀ 26 7v À
92 DE NUM. PLAN. GENERATIONE.
δύο ἄλφα [« «] καὶ περιϑῶμεν τὰ Ó τοῖς β΄, γίνεται ἑτερόμηκες τὸ τῶν ς΄ σχῆμα᾽ κατὰ μὲν γὰρ τὸ μῆκος γίνεται ἐπὶ τρία, κατὰ δὲ τὸ πλάτος ἐπὶ β΄. ἑξῆς ἐστιν ἄρτιος μετὰ Ó' C ς΄" ἂν προσϑῇς ταῦτα τοῖς πρώτοις ς΄, ὁ γίνεται ὃ ιβ΄, κἂν περιϑῇς αὐτὰ τοῖς πρώτοις, ἔσται σχῆμα ἑἕτερόμηκερ᾽ ὡς ἔχειν ταῦτα κατὰ τὸ μῆχος μὲν δ΄, κατὰ πλάτος ὃὲ γ΄. καὶ μέχρις ἀπείρου ὁ αὐτὸς λόγος κατὰ τὴν τῶν ἀρτίων ἐπισύνϑεσιν. «eoo «aeocauocow Coucou «ocnocwu αααα πάλιν δὲ οἱ ἑξῆς περισσοὶ ἀλλήλοις ἐπισυντιϑέμενοι 10 τετραγώνους ποιοῦσιν ἀριϑμούς. εἰσὶ δὲ οἵ ἐφεξῆς περισσοὶ α΄ y ε΄ ζ΄ ϑ' ια΄. ταῦτα δὲ ἐφεξῆς συντιϑεὶς ποιήσεις τετραγώνους ἀριϑμούς. οἷον τὸ ὃν πρῶτον τετράγωνον᾽ ἔστι γὰρ ἅπαξ ὃν ἕν. εἶτα περισσὸς ὁ y' τοῦτον ἂν προσϑῇς τὸν γνώμονα τῷ ἑνί, ποιήσεις 15 τετράγωνον ἰσάκις ἴσον᾽ ἔσται γὰρ κατὰ μῆκος β΄ καὶ κατὰ πλάτος β΄. ἐφεξῆς περισσὸς ὃ ε΄" τοῦτον ἂν περι- ϑῇς τὸν γνώμονα τῷ Ó' τετραγώνῳ, γενήσεται πάλιν τετράγωνος 0 $9', καὶ κατὰ μῆκος ἔχων y' καὶ κατὰ πλάτος γ΄. ἐφεξῆς περισσὸς ὁ ζ΄ τοῦτον ἂν προσϑῆῇς 30 τῷ 9, ποιεῖς τὸν ις΄, καὶ κατὰ μῆκος δ΄ καὶ κατὰ πλά- τος δ΄. ὁ δὲ αὐτὸς Ἀδγος μέχρις ἀπείρου.
«o «cuoc «cuoc «a «wu «occa «ou «cod
«cao
κατὰ ταὐτὰ δὲ ἂν μὴ μόνον τοὺς ἐφεξῆς ἀρτίους
2 γὰρ supra vs. À περιϑῇς Bull] προσϑῆς À τοῖς πρώτοις] τοῖς ς΄ ὃ cf. vs. 1 ὁ ταῦτα del. vid. 8 fig. semper lineis circumser. ἃ 14 σεϑριϑῇς Gelder 22 ravra corr. ex ταῦτα À
DE NUM. TRIANG. GENERATIONE. 88
μηδὲ μόνον τοὺς ἐφεξῆς περισσούς, ἀλλὰ καὶ ἀρτίους καὶ περισσοὺς ἀλλήλοις ἐπισυντιϑῶμεν, τρίγωνοι ἡμῖν ἀριϑμοὶ γενήσονται. ἐκκείσϑωσαν γὰρ ἐφεξῆς περισσοὶ καὶ ἄρτιοι, & B y δ' & ς΄ ζ΄ «y 9 v. γένονται κατὰ τὴν τούτων σύνϑεσιν οἵ τρίγωνοι. πρώτη μὲν ἡ μονάς" 5 αὕτη γάρ, εἰ καὶ μὴ ἐντελεχείᾳ, δυνάμει πάντα ἐστίν, ἀρχὴ πάντων ἀριϑμῶν οὖσα. τῆς δὲ ἑξῆς αὐτῇ δυάδος προστεϑείσης γίνεται τρίγωνος ὃ γ᾽" εἶτα πρόσϑες γ΄, γίνεται ς΄" εἶτα πρόσϑες δ΄, γίνονται v^. εἶτα πρόσϑες ε΄, γένονται ιε΄" εἶτα πρόσϑες ς΄, γίνονται κα΄" εἶτα 10 πρόσϑες ζ΄, γίνονται κη΄" εἶτα πρόσϑες η΄, γίνονται Ag εἶτα πρόσϑες 9', γένονται us" εἶτα πρόσϑες ι΄, γίνον- ται νε΄" καὶ μέχρις ἀπείῤου ὁ αὐτὸς λόγος. δῆλον δὲ ὅτι τρίγωνοι οὗτοι ol ἀριϑμοὶ κατὰ τὸν σχηματισμόν, τοῖς πρώτοις ἀριϑμοῖς τοῦ ἐφεξῆς γνώμονος προστιϑε- 15 μένου" καὶ εἶεν ἂν οἱ ἐκ τῆς ἐπισυνϑέσεως ἀπογεννώ- μενοι τρίγωνοι οἵδε" γ΄ ς΄ v ιε΄ κα' κη΄ Ag με΄ νε΄. καὶ οὕτως ἐπὶ τῶν ἑξῆς τῶν με΄ καὶ νε΄.
α y ΓΙ ι LE κα α α c α α α «a α «ow «ew «wu «uo aue «now αα πα σαεα αα ἃ α αα κα evo aoaou«x «eaoeanocodwa «aeoaoauoacuau , x7 λς΄ α α «uo [^ 4071 αα α «uoc «eaoeaowwu «ouo «eocaoxuococ ααακα α α ἀκἀαασασαα ὰαὰ ααακδσαα α αακσαοκαααα αοαακψαα κα
«aacoeuoaweax
4 γίνωνται A! — 6 ἐντελεχεία corr. ex ἐντελέχεια À 10 γένονται κα΄ : γένονται compendio sor. À ut in sequentibus 18 τῶν με΄ καὶ νε΄ del. vid.
Theo Smyrn. 9
94 DE NUM. MULTIANG. GENERATIONE.
of 0$ τετράγωνοι γεννῶνται μέν, ὡς προείρηται, ix τῶν ἐφεξῆς ἀπὸ μονάδος περιττῶν ἀλλήλοις ἐπισυντι- ϑεμένων᾽ συμβέβηκε δὲ αὐτοῖς ὥστε ἐναλλὰξ παρ᾽ ἕνα ἀρτίοις εἶναι καὶ περιττοῖς, ὥσπερ ὁ πᾶς ἀριϑμὸς παρ᾽
ἕνα ἄρτιός ἐστιν ἢ περιττός" οἷον α΄ δ΄ ϑ' ig κε΄ Ag ιϑ' ξδ΄ πα΄ ρ΄. τῇ δὲ ἀπὸ μονάδος κατὰ τὸ ἑξῆς ἐκϑέσει τῶν ἀρτίων τε καὶ περιττῶν ἀριϑμῶν συμβέβηκε, τοὺς γνώμονας τοὺς δυάδι ἀλλήλων ὑπερέχοντας ἐν τῇ συν- ϑέσει τετραγώνους ἀποτελεῖν, ὡς ἐπάνω ἀποδέδεικται" 10 ὑπερέχουσι γὰρ δυάδι ἀλλήλων ἀπὸ μονάδος ἀρχόμενοι (οἷν περιττοί. ὁμοίως δὲ οἵ τριάδι ἀλλήλων ὑπερέχον- τες ἐν τῇ συνθέσει ἀπὸ μονάδος πενταγώνους ἀποτε- λοῦσιν, ἕξαγώνους δὲ oí τετράδι, αἰεί τε ἡ ὑπεροχὴ vOv γνωμόνων ἐξ ὧν ἀποτελοῦνται ol πολύγωνοι δυάδι 15 λείπεται τοῦ πλήϑους τῶν ἀποτελουμένων γωνιῶν. ἑτέρα δὲ πάλιν ἐστὶ τάξις ἐν τοῖς πολυγώνοις τῶν ἀπὸ μονάδος πολλαπλασίων ἀριϑμῶν. τῶν γὰρ ἀπὸ μονάδος πολλαπλασέων, λέγω δὲ διπλασίων τριπλασίων καὶ τῶν ἑξῆς, οἵ μὲν ἕνα παρ᾽ ἕνα διαλείποντες ἀρυϑμοὶ 20 τετράγωνοι πάντες εἰσίν, οἱ δὲ δύο διαλείποντες κύβοι πάντες, οἱ δὲ πέντε διαλείποντες κύβοι ἅμα καὶ τετρά- γωνοί εἶσι καὶ τὰς μὲν πλευρὰς ἔχουσι τετραγώνους
1 inscr. περὶ τῶν ἑξῆς πολυγώνων Α, κα in mg. ὃ 9 ig xs ἃς &yttO9iuuin mg. A. προείρηται: p. 28, 8. 82, 9 &ec 8
6 in mg. sup. cod. ἃ cripta sunt: 9 ug xs , αβγϑδεςξηϑι ; ὃ € τς xs τετράγωνοι 8 t x 8 αβγδεςξηϑιιαιβιγ 8$ ιβ xf Ae πεντάγωνοι
uo x] ue , αβγδεςξηϑθϑιιαιβιγιδιεις ιξ cie κὴ μὲ ἑξάγωνοι 12 πενταγώνους corr. ex τετραγώνους Α 18 ἡ supra vs. ἃ
DE NUM. QUADRATIS ET CUBICIS. 35
ἀριϑμοὺς κύβοι ὄντες, τετράγωνοι δὲ ὄντες ἀριϑμοὶ κυβικὰς ἔχουσι τὰς πλευράς. ὅτι δὲ τῶν πολλαπλασίων ἀριϑμῶν οἵ μὲν παρ᾽ ἕνα ἀπὸ μονάδος τετράγωνοί εἰσιν, oí δὲ παρὰ β' κύβοι, οἱ δὲ παρὰ ε΄ κύβοι ἅμα καὶ τε- τράγωνοί εἶσι, δῆλον οὕτως. ἐν μὲν τοῖς διπλασίοις, κειμένων πλειόνων ἀριϑμῶν οἷον α' B y δ΄ ε΄ ς΄ tw ϑ' V κα΄ εβ΄ uy ιδ΄ ιδ΄ ag LE νη΄ υϑ' x xa κβ΄ xy xÓ xs “πρῶτος διπλάσιος ὁ B^ εἶτα ὁ δ΄, ὅς ἐστι τετράγωνος" εἶτα ὁ η΄, ὅς ἐστι κύβος" εἶτα ις΄, ὅς ἐστι τετράγωνος" εἶτα ὁ AB us9" ὃν ὁ ξδ΄, ὅς ἐστι τετράγωνος ἅμα καὶ 10 κύβος εἶτα ρκη μεϑ᾽ Ov σνς΄, ὅς ἐστι τετράγωνορ᾽ καὶ μέχρις ἀπείρου ὁ αὐτὸς λόγος. καὶ ἐν τῷ τριπλασίῳ εὑρεϑήσονται o£ παρ᾽ ἕνα τετράγωνοι, καὶ ἐν τῷ πεν- ταπλασίῳ, καὶ κατὰ τοὺς ἑξῆς πολλαπλασίους. ὁμοίως δὲ εὐὑρεϑήσονται καὶ οἱ δύο διαλεέποντες ἐν τοῖς πολλα- 15 πλασέοις κύβοι πάντες, καὶ οἵ ε΄ διαλείποντες κύβοι ἅμα καὶ τετφάγωνοι. ἰδίως δὲ τοῖς τετραγώνοις συμβέβηκεν ἤτοι τρίτον ἔχειν ἢ μονάδος ἀφαιρεϑείδης τρίτον ἔχειν πάντως, ἢ πάλιν τέταρτον ἔχειν 1] μονάδος ἀφαιρεϑείσης τέταρτον ἔχειν πάντως καὶ τὸν μὲν μονάδος ἀφαιρε- 20 ϑείσης τρίτον ἔχοντα ἔχειν καὶ τέταρτον πάντως, ὡς ὁ δ΄, τὸν δὲ μονάδος ἀφαιρεϑείσης τέταρτον ἔχοντα ἔχειν τρίτον πάντως, ὡς 0 ϑ', ἢ τὸν αὐτὸν πάλιν καὶ τρίτον ἔχειν καὶ τέταρτον, ὡς ὁ Ae [ἢ μηδέτερον τούτων ἔχοντα τοῦτον μονάδος ἀφαιρεϑείσης τρίτον ἔχειν πάν- 5
Q
6 ἐν μὲν τοῖς διπλασίοις δῆλον οὕτως) ὁ pro hac numero- rum serie Gelderus hane posuit: α΄ β' à w is Af ξδ΄ oxm ovs 18 ἐν τῶ πενταπλασίω ΑἾ of παρ᾽ ἕνα πενταπλαάσιοι Αἱ
16 διαλείποντες: εἰ corr. ex ἐ À 17 sqq. cf. Nesselmann die Algebra der Griechen p. 227 sq. 24 7 — πάντως del. Bull ^ 25 τοῦτον corr. ex τούτων À
8*
36 DE NUM. SIMILIBUS.
vog], ἢ μήτε τρίτον μήτε τέταρτον ἔχοντα μονάδος ἀφαιρεϑείσης καὶ τρίτον ἔχειν καὶ τέταρτον, ὡς ὁ κε΄. ἔτι τῶν ἀριϑμῶν ol μὲν ἰσάκις ἴσοι τετράγωνοί εἶσιν, οἵ δὲ ἀνισάκις ἄνισοι ἑτερομήκεις καὶ προμήκεις, 5 καὶ ἁπλῶς οἵ διχῶς πολλαπλασιαξόμενοι ἐπίπεδοι, οἵ δὲ τριχῶς στερεοί. λέγονται δὲ ἐπίπεδοι ἀρυϑμοὶ καὶ τρίγωνοι καὶ τετράγωνοι καὶ στερεοὶ καὶ τἄλλα οὐ κυ- ρίως ἀλλὰ καϑ᾽ ὁμοιότητα τῶν χωρίων ἃ καταμετροῦ- σιν᾽ ὁ γὰρ δ΄, ἐπεὶ τετράγωνον χωρίον καταμετρεῖ, ἀπ᾿ 10 αὐτοῦ καλεῖται τετράγωνος, καὶ ὁ ς΄ διὰ τὰ αὐτὰ ἕτερο- μήκης. ὅμοιοι δ᾽ εἰσὶν ἀριϑμοὶ ἐν μὲν ἐπιπέδοις τετράγω- vou of πάντες πᾶσιν, ἑτερομήκεις δὲ ὅσων αἷ πλευραί, τουτέστιν οἵ περιέχοντες αὐτοὺς ἀριϑμοί, ἀνάλογόν 15 εἰσιν. οἷον ἑτερομήκη ἦν τὰ ς΄ πλευραὶ δὲ αὐτοῦ μῆ- κος γ΄, πλάτος β΄" ἕέξερος πάλιν ἐπίπεδος ὁ xÓ * πλευραὶ ὃὲ αὐτοῦ μῆκος μὲν 5: πλάτος ὃὲ δ΄. καὶ ἔστυν ὡς τι μῆκος πρὸς τὸ μῆκος, οὕτως τὸ πλάτος πρὸς τὸ πλάτος" ὡς γὰρ ς΄ πρὸς γ΄, οὕτως δ΄ πρὸς β΄. ὅμοιοι οὖν ἀριϑ- 90 pol ἐπίπεδοι ὅ τε ς΄ καὶ ὁ xà. σχηματίζονται ὃς οἵ αὐτοὶ ἀριθμοὶ ὁτὲ μὲν εἰς πλευρὰς ὡς μήκη καὶ πρὸς ἑτέρων σύστασιν λαμβανόμενοι, ὁτὲ δὲ εἰς ἐπιπέδους, ῦταν ἐκ πολλαπλασιασμοῦ δύο ἀριϑμῶν γεννηϑῶσιν, ὁτὲ
1 ἢ supra v& À 8 inscr. περὶ ἰσώκις ἴσων καὶ ἄνι- σάκις ἀνέσων À, κβ in mg. 7 στερεοὶ corr, ex στερρεοὶ A 9 πετράγωνον apogr.] [] (i. e. τετραγώνων) A 12. inscr.
περὶ ὁμοίων ἀριϑμῶν À, wj in mg, figuras add, A?
β a αὐτοὺρ] αὐτὰς Α, cf. p. 24, 26 19 ὃ πρὸς B apogr. B πρὸς à A 21 ὡς μήκη καὶ {πλάτη καὶ (59)? 28 δύο apogr.] B δύο A
4
DE NUM. TRIANGULIS. 31
δὲ εἰς στερεούς, ὅταν ἐκ πολλαπλασιασμοῦ τριῶν λη- φϑῶσιν ἀρυιϑμῶν. ἐν δὲ τοῖς στερεοῖς πάλιν ob μὲν κύ- βοι πάντες πᾶσίν εἰσιν ὅμοιοι, τῶν δὲ ἄλλων οἵ τὰς πλευρὰς ἔχοντες ἀνάλογον᾽ ὡς ἡ τοῦ μήκους πρὸς τὴν τοῦ μήκους, οὕτως ἡ τοῦ πλάτους πρὸς τὴν τοῦ πλά- 5 τους καὶ (ἡ) τοῦ ὕψους πρὸς τὴν τοῦ ὕψους.
τῶν δὲ ἐπιπέδων καὶ πολυγώνων ἀριϑμῶν πρῶτος ὁ τρίγωνος, ὡς. καὶ τῶν ἐπιπέδων εὐθυγράμμων σχη- μάτων πρῶτόν ἐστι τὸ τρίγωνον. πῶς δὲ γεννῶνται προείρηται, ὅτι τῷ πρώτῳ ἀριϑμῷ τοῦ ἑξῆς ἀρτίου καὶ 10 περιττοῦ προστυϑεμένου. πάντες δὲ οἵ ἐφεξῆς ἀριϑμοί, ἀπογεννῶντες τριγώνους ἢ τετραγώνους ἢ πολυγώνους, γνώμονες καλοῦνται. τοσούτων δὲ μονάδων ἕκαστον τρίγωνον ἔχει πλευρὰς πάντως, ὅσων καὶ μόνος ἐστὶν ὁ προσλαμβανόμενος γνώμων. οἷον ἔστω πρῶτον ἡ ιὖ μονάς, λεγομένη τρίγωνον οὐ κατ᾽ ἐντελέχειαν, ὡς προειρήκαμεν, ἀλλὰ κατὰ δύναμιν᾽ ἐπεὶ γὰρ αὕτη οἷον ὅπέρμα πάντων ἐστὶν ἀριϑμῶν, ἔχει ἐν αὑτῇ καὶ τρι- γωνοειδὴ δύναμιν. προσλαμβάνουσα γοῦν τὴν δυάδα ἀποτελεῖ τρίγωνον, ἔχον πλευρὰς τοσούτων μονάδων, so ὕσων ἐστὶν ὁ προσληφϑεὶς γνώμων τῆς δυάδος. τὸ δὲ ὕλον τρίγωνον τοσούτων ἐστὶ μονάδων, ὅσων καὶ οἵ συντεϑέντες γνώμονες. ὅ τε γὰρ τοῦ ἑνὸς καὶ (0» τῶν δυεῖν γνώμων τὰ y' ἐποιήσαν, ὥστε καὶ τὸ τρίγωνον
--
7 inscr. περὶ τριγώνων ἀριϑμῶν À, xÓ in mg. 10 προείρηται: p. 38, 1 11 cf. Nesselmann p. 208 14 τὰς ante πλευρὰς add. A?* πάντως corr. ex πάντων αὶ 17 προ- εἰρήκαμεν: p. 83, 6 24 τοσούτων, qnot, μονάδων ἐστὶν ἡ πλενρὰ τοῦ τριγώνου, ὅσων μονάδων ἐστὶν ὁ προστεϑεὶς γνώ- μων" τοσαῦται δέ εἰσιν αἴ τοῦ γνώμονος μονάδες, ὅσοι εἰσὶν οἵ γνώμονες οἵ εἰς τὸ τρίγωνον συνελθόντες mg. Α
38 DE NUM. CYCLICIS.
ἔσται μὲν τριῶν μονάδων, ἕξει δ᾽ ἑκάστην πλευρὰν τῶν δυεῖν, ὅσοι καὶ οἵ γνώμονες συνετέϑησαν. εἶτα τὸ y τρίγωνον προσλαμβάνει τὸν τῶν y' γνώμονα, ὃς μονάδι ὑπερέχει τῆς δυάδος, καὶ γένεται τὸ μὲν ὅλον τρί-
5 yovov ς΄" πλευρὰς δ᾽ ἕξει τοσούτων μονάδων καὶ τοῦτο τὸ τρίγωνον, ὅσοι γνώμονες συντέϑεινται᾽ ἐκ γὰρ τοῦ ἑνὸς καὶ B' καὶ y' συνετέϑη ὁ ς΄.
α α αα «aw «wow
εἶτα ὁ ς΄ προσλαμβάνει τὸν δ΄" γίνεται τὸ τοῦ V τρίγω- vov, ἑκάστην πλευρὰν ἔχον δ΄ μονάδων" ὁ γὰρ προσλη- 10 φϑεὶς γνώμων ἦν ὁ δ΄, καὶ ἐκ δ' δὲ γνωμόνων ἦν τὸ ὅλον, τοῦ τε ἑνὸς καὶ β΄ καὶ y' καὶ δ΄. ἔτι ὁ v προσ- λαμβάνει τὸν ε΄, καὶ γένεται {τὸ τοῦ ιε΄ τρίγωνον, πλευρὰν ἔχον ἑκάστην μονάδων ε΄, καὶ ἐκ τῶν ε΄ yvo- μόνων συνέστη. ὁμοίως καὶ οἵ ξξ γνώμονες ......... e. 15 TOUS γνωμονικοὺς ἀριϑμοὺς ἀποτελοῦσι. λέγονται δέ τινες καὶ κυκλοειδεῖς καὶ σφαιροειδεῖς καὶ ἀποκαταστατικοὶ ἀριϑμοί, οὗτοι δ᾽ εἰσὶν οἵτινες ἐν τῷ πολλαπλασιάξεσθϑαι ἢ ἐπιπέδως ἢ στερεῶς, τουτ- ἐστι κατὰ δύο διαστάσεις ἢ κατὰ τρεῖς, ἀφ᾽ οὗ ἂν 20 ἄρξωνται ἀριϑμοῦ ἐπὶ τοῦτον ἀποκαϑιστάμενοι. τοιοῦ- τον δέ ἐστι καὶ ὁ κύκλος" ἀφ᾽ οὗ ἂν ἄρξηται σημείου,
2 γνώμονες: o corr. ex o À εἶτα corr. ex εἰς ἃ y] τρίτον A, om. apogr. 8 ὃς corr. ex ot ἃ 4 τῆς δυάδος corr. ex τὴν δυάδα À 6 τὰς ante πλευρὰς add. A 9 ἔχον corr. ex ἔχων À 10 γνώμων A*] γνώμω Α' 12 τὸ τοῦ ιε΄ add. apogr. 13 γνωμόνω Αἱ 14 Ἐξ] ἑξῆς apogr. 16 inscr. περὶ κυκλοειδῶν xal σφαιροειδῶν καὶ ἀποκαταστατικῶν ἀριϑμῶν À, κὃ in mg. 11 of- τινες --- ἀποκαθιστάμενοι) scr. of --- ἀποκαϑιστάμενοι δαὶ οἵ- τινὲς --- ἀποκαϑίστανται 21 κύκλος (0g)?
DE NUM. QUADRATIS ET PENTAGONIS. 39
ἐπὶ τοῦτο ἀποκαϑίσταται᾽ ὑπὸ γὰρ μιᾶς γραμμῆς περι- ἐχόμενος ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ ἄρχεται καὶ εἰς ταὐτὸ καταλή- γει. τοιαύτη δὲ καὶ ἐν στερεῷ ἡ σφαῖρα᾽ κύχλου γὰρ κατὰ πλευρὰν περιαγομένου ἡ ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ ἐπὶ τὸ αὐτὸ ἀποκατάστασις σφαῖραν γράφει. καὶ ἀριϑμοὶ δὴ 5 οἵ ἐν τῷ πολλαπλασιασμῷ ἐφ᾽ ἑαυτοὺς καταλήγοντες xvxAuxoé τε καλοῦνται καὶ σφαιροειδεῖς᾽ ὧν εἰσιν ὅ τε & καὶ ὁ g' πεντάκις γὰρ ε΄ κε΄, πεντάκις κε΄ Qx6 , ἕξά- xig ς΄ Àg, καὶ ἑξάκις λς΄ Gig.
τῶν δὲ τετραγώνων ἡ μὲν γένεσις, ὡς εἶπον, ἐκ 10 τῶν περισσῶν ἀλλήλοις ἐπισυντιϑεμένων, τουτέστι τῶν ἀπὸ μονάδος δυάδι ἀλλήλων ὑπερεχόντων᾽ ὃν γὰρ καὶ y 9, καὶ δ΄ καὶ ε΄ 9, καὶ 09 καὶ ζ΄ ig, καὶ ις΄ καὶ 0 κε΄.
«c a «aua «awccw ceoococou « « «awoau aaocodu eceoaouoanx «oux «coa e«ocoocwaaua
«ew«cuocw cCoowcocu
αασᾶαᾶα ἃ
πεντάγωνοι δέ εἰσιν ἀριϑμοὶ οἵ ἐκ τῶν ἀπὸ μονά- δὸς κατὰ τὸ ἑξῆς τριάδι (ἀλλήλων ὑπερεχόντων συν- i5 τιϑέμενοι. ὧν εἰσιν οἱ μὲν γνώμονες αἰ δ' ζ΄ v wy ig i97 αὐτοὶ δὲ οἵ πεντάγωνοι α΄ ε΄ ιβ΄ κβ΄ λε΄ v« καὶ ἑξῆς ὁμοίως. σχηματίξονται δὲ πενταγωνικῶς οὕτως"
, α΄ ε΄ B κβ΄ Ae α α α α [^
« a «ew «o0 auo cao cow aco «uoc «owctu €ouxdc ααὰαὰ ἃ ααα αααα «ouo ααασα
10 inscr. περὶ τετραγώνων ἀριϑμῶν Α εἶπον: P 98,8. 32, 9. 34, 1 14 inscr. περὶ πενταγώνων ἀριϑμῶν
À, xr in mg.
40 DE NUM. MULTIANGULIS.
ἑξάγωνοι δέ εἰσιν ἀριϑμοὶ οἱ ἐκ τῶν κατὰ τὸ ἑξῆς
ἀπὸ μονάδος τετράδι ἀλλήλων ὑπερεχόντων συντιϑέμε-
τ , ,? P; , , , , ᾿
vou ὧν οἵ γνώμονές εἰσιν α' & 9' wy ιξ΄ κα' κε ol δὲ
ἐκ τούτων ἕξάγωνοι οἵδε᾽ α΄ ς΄ ιδ΄ κη΄ us ἕς΄ πα΄. σχη- 5 ματίξονται δὲ οὕτως"
, a sg ις΄ x" με΄ Ec 4 « « α α α au «o oc e c «€ «c « « «eu aou αα ἃ αα κα αα κα « ewou aqaao«sou «auocwx «uoawvcww «ou cqowcau cCcoaoceoca eoanuoaowocu caua aono «aoc «aqauaoowow α eonun «aco a«eauocanoaoctu aono «eaauunu«wu auaocauonocc eu eauouowx «&euwoaouovxou e αααα ααασααᾶα α «ow aoaoaco «c a eoowuoc * € «anoauwowu «quaoaou . ea
ἐπτάγωνοι δέ εἰσιν οἵ ἀπὸ μονάδος πεντάδι ἀλλή-
λων ὑπερεχόντων συνιστάμενοι" ὧν γνώμονες μὲν αἰ ς΄ (X ig κα' xg' oí Ób ἐκ τούτων συντιϑέμενοι α΄ ζ΄ ιη΄ λδ΄ νε΄ πα΄. ὁμοίως δὲ καὶ ὀκτάγωνοι (of) ἀπὸ 10 μονάδος ἑξάδι ἀλλήλων ὑπερεχόντων συντιϑέμενοι, ἐν- νεάγωνοι δὲ ol ἀπὸ μονάδος ἑβδομάδι ἀλλήλων ὑπερ- ἐχόντων συνιστάμενοι, δεκάγωνοι δὲ οἵ ἀπὸ μονάδος ὀγδοάδι ἀλλήλων ὑπερεχόντων συντιϑέμενοι. ἐπὶ πάν- vOv δὲ τῶν πολυγώνων καϑόλου ὁσάγωνος ἂν λέγηται 15 ἀριϑμός, δυεῖν δεούσαιν μονάδων τοῦ πλήϑους τῶν
1 inscr. περὶ ἐξαγώνων ἀριϑμῶν Α 6 inscr. ὁμοέα δὲ ἡ σύνθεσις καὶ ἐπὶ τῶν λοιπῶν πολυγώνων ἃ ἐκ τῶν hic et in iis quae sequuntur neglegenter omissum 11 μονάδος A?] νάδος Αἱ 18 καὶ ante ἐπὶ add. A? 15 δυεῖν δεούσαιν μονάδων corr. ex δύο δὲ οὔσαις μόνας ut vid.
DE NUM. SOLIDIS. 41
γωνιῶν ἡ ὑπεροχὴ τῶν ἀριϑμῶν λαμβάνεται, ἐξ ὧν οἵ πολύγωνοι συντέϑενται.
ἐκ δύο τριγώνων ἀποτελεῖται τετράγωνον᾽ αἰ καὶ y δ΄, y' καὶ ς΄ ϑ΄, ς΄ καὶ τ΄ wg, V καὶ ιε΄ κε΄, ιε΄ καὶ κα' Ag , xa καὶ κη΄ μϑ', κη΄ καὶ λς΄ ξδ΄, Ag καὶ με΄ πα΄, καὶ οἵ ἑξῆς ὁ ὁμοίως συνδυαξόμενοι τρίγωνοι τετραγώνους ἀποτελοῦ- σιν, ὡς καὶ ἐπὶ τῶν γραμμικῶν τριγώνων σύνϑεσις τε- τράγωνον σχῆμα ποιεῖ.
ΜΌΝ
ἔτι τῶν στερεῶν ἀριϑμῶν οἱ μὲν ἴσας πλευρὰς ἔχουσιν, [ὡς ἀριθμοὺς τρεῖς ἴσους ἐπὶ ἴσους πολλαπλα- σιάξεσϑαι.] οἱ δὲ ἀνίσους. τούτων δ᾽ oí μὲν πάσας ἀν- 1 ίσους ἔχουσιν, οἱ δὲ τὰς δύο ἴσας καὶ τὴν μίαν ἥττονα. πάλιν τε τῶν τὰς δύο ἴσας ἔχοντων οἱ μὲν μείξονα τὴν τρίτην ἔχουσιν, οἵ δὲ ἐλάττονα. οἱ μὲν οὖν ἴσας ἔχον- τες πλευρᾶς, ἰσάκις ἴσοι ἰσάκις ὄντες, κύβοι καλοῦνται" οἱ ὃὲ πάσας ἀνίσους τὰς πλευράς, ἀνισάκις ἄνισοι ἀν- 15 ἰσάκις, βωμίσκοι καλοῦνται" οἵ δὲ δύο μὲν ἴσας, τὴν ὃὲ τρίτην ἑκατέρας τῶν δυεῖν ἐλάσσονα, ἰσάκις ἴσοι ἐλαττονάκις, πλινϑέδες ἐκλήϑησαν᾽ o( δὲ δύο μὲν ἴσας,
᾿ς 1 γωνιῶν Bull] ἀριϑμῶν in ras. À ἀριϑμῶν] γωνιῶν in ras, voeis ἀριϑμῶν Α 2 πολύγωνοι: , post ν er. À
3 inscr. ὅτε ἐκ δύο τριγώνων τὸ τετράγωνον À, xc in mg. ἐκ: inter E et x complures literae erasae in ἃ δὲ post δύο add. A? 7 ἐπὶ] ἡ 8 inscr. περὶ στερεῶν
ἀφριϑμῶν ἃ, κξ in mg. 11 gut delenda aunt verba καὶ τὴν μέαν ἥττονα (sic Bullialdue) aut scribendum καὶ τὴν μέαν ἄνι- δον 16 τὰς post δὲ add. A? ἴσας corr. ex ἴσοι À 18 πλινϑέδες corr. ex πληνϑίδες À τὰς post δὲ add. A?
42 DE NUM. PYRAMIDALIBUS.
τὴν δὲ τρίτην ἑκατέρας τῶν δυεῖν μείξονα, ἰσάκις ἴσοι μειξονάκις, δοκίδες καλοῦνται.
8. β ὃ β (: 89 ΕΓ (1 β " 7 ἐδ
δι --β “1
E LA—ME à | [i e$
εἰσὶ δὲ xal πυραμοειδεῖς ἀριϑμοὶ πυραμίδας κατα- μετροῦντες καὶ κολουροπυραμίδας. κόλουρος δὲ πυρα- δμίς ἐστιν ἡ τὴν κορυφὴν ἀποτετμημένη. τινὲς δὲ [κόλουρον] τὸ τοιοῦτον τραπέξιον προσηγόρευσαν ἀπὸ τῶν ἐπιπέδων τραπεξίων᾽ τραπέξιον γὰρ λέγεται, ὅταν τριγώνου ἡ κορυφὴ ὑπὸ παραλλήλου τῇ βάσει εὐϑείας ἀποτμηϑῇ.
10 ὥσπερ δὲ τριγωνικοὺς καὶ τετραγωνικοὺς καὶ πεν-
2 ad figuras, quae satis neglegenter descriptae sunt, perti- nei haec adnotatio marginis ἃ: τὸ ἐπάνω σημεῖόν ἐστιν ἶσον, τὸ ὑποκάτω μεῖζον 8 inscr. περὶ πυραμοειδῶν ἀριϑμὼν À, xp in mg. πυραμίδα À 4 κολουροπυραμέδας: ας corr. ex eg À 10 inscr. περὶ πλευρικῶν καὶ διαμετρικῶν ἀφιϑμῶν À, x€ in mg. cf. Nesselmann p. 228 sqq.
t
DE NUM. LATERALIBUS ET DIAGONIIS. 43
ταγωνικοὺς καὶ κατὰ và λοιπὰ σχήματα λόγους ἔχουσι δυνάμει o£. ἀριϑμοί, οὕτως καὶ πλευρικοὺς xal διαμε- τρικοὺς λόγους εὕροιμεν Qv κατὰ τοὺς σπερματικοὺς λόγους ἐμφανιξομένους τοῖς ἀριϑμοῖς. ἐκ γὰρ τούτων ῥυϑμίξεται τὰ σχήματα. ὥσπερ οὖν πάντων τῶν σχημά- τῶν κατὰ τὸν ἀνωτάτω καὶ σπερματικὸν λόγον ἡ μονὰς ἄρχει, οὕτως καὶ τῆς διαμέτρου καὶ τῆς πλευρᾶς λόγος ἐν τῇ μονάδι εὑρίσκεται. οἷον ἐχτίϑενται δύο μονάδες, ov τὴν μὲν ϑῶμεν εἶναι διάμετρον, τὴν δὲ πλευράν, ἐπειδὴ τὴν μονάδα, πάντων οὖσαν ἀρχήν, δεῖ δυνάμει 10 καὶ πλευρὰν εἶναι καὶ διάμετρον. καὶ προστίϑεται τῇ μὲν πλευρᾷ διάμετρος, τῇ δὲ διαμέτρῳ δύο πλευραί, ἐπειδὴ ὅσον ἡ πλευρὰ δὶς δύναται, ἡ διάμετρος ἅπαξ. ἐγένετο οὖν μείξων μὲν ἡ διάμετρος, ἐλάττων δὲ ἡ πλευρά. καὶ ἐπὶ μὲν τῆς πρώτης πλευρᾶς τε καὶ δια- 15 μέτρου εἴη ἂν τὸ ἀπὸ τῆς μονάδος διαμέτρου τετράγω- νον μονάδι μιᾷ ἔλαττον ἢ διπλάσιον τοῦ ἀπὸ τῆς μονά- δος πλευρᾶς τετραγώνου᾽ ἐν ἰσότητι γὰρ αἷ μονάδες" τὸ δ᾽ ἕν τοῦ ἑνὸς μονάδι ἔλαττον ἢ διπλάσιον. προσ- ϑῶμεν δὴ τῇ μὲν πλευρᾷ διάμετρον, τουτέστι τῇ μονάδι so μονάδα" ἔσται ἡ πλευρὰ ἄρα δύο μονάδων᾽ τῇ δὲ δια- μέτρῳ προσθῶμεν δύο πλευράς, τουτέστι τῇ μονάδι δύο μονάδας" ἔσται ἡ διάμετρος μονάδων τριῶν καὶ τὸ
Q
δια , 4 (iv) vois ἀριϑμοῖς 19 δὲ μέτρω ἃ 16 γ' μονα- δικῆς supra πρώτης add. A? 16 μονάδος διαμέτρου] povo-
ποδὸς (ex corr.) δ A 17 ἔλαττον ἢ corr. ex ἐλάττονι À. μονάδος apogr.] μονόποδος A 20 διάμετρον») δ᾽ ΔΑ
21 μονάδων apogr. Uu A, μονάδες Bull. 28 μονάδας] μος Α, em. apogr. σταιΊ. nota vocabuli ἄρα in ras. notae voc. ἔσται À μονάδων corr. ex μονάδι
44 DE NUM. LATERALIBUS ET DIAGONIIS.
μὲν ἀπὸ τῆς δυάδος πλευρᾶς τετράγωνον δ΄, τὲ δ᾽ ἀπὸ τῆς τρίαδος διαμέτρου τετράγωνον 9'* τὸ 9' ἄρα μονάδι μεῖξον ἢ διπλάσιον τοῦ ἀπὸ τῆς β΄ πλευρᾶς. πάλιν προσϑῶμεν τῇ μὲν β΄ πλευρᾷ διάμετρον τὴν τρίαδα᾽ 5 ἔσται ἡ πλευρὰ ε΄" τῇ δὲ τρίαδι διαμέτρῳ β΄ πλευράς, τουτέστι δὶς τὰ B ἔσται ξζ΄" ἔσται τὸ μὲν ἀπὸ τῆς (ε΄) πλευρᾶς τετράγωνον κε΄, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ξ΄ (διαμέτρου u9'* μονάδι ἔλασσον ἢ διπλάσιον τοῦ κε΄ ἄρα τὸ μϑ'. πάλιν ἂν τῇ (85 πλευρᾷ προσθῇς τὴν ζ΄ διάμετρον, 10 ἔσται ιβ΄" κἂν τῇ € διαμέτρῳ προσϑῆς δὶς τὴν ε΄ πλευ- ράν, ἔσται i^ καὶ τοῦ ἀπὸ τῆς ιβ' τετραγώνου τὸ ἀπὸ τῆς ιξ΄ μονάδι πλέον ἢ διπλάσιον. καὶ κατὰ τὸ ἑξῆς τῆς προσϑήκης ὁμοίως γιγνομένης, ἔσται τὸ ἀνάλογον ἐναλλαξ᾽ ποτὲ μὲν μονάδι ἔλαττον, ποτὲ δὲ μονάδι πλέον 15 1] διπλάσιον τὸ ἀπὸ τῆς διαμέτρου τετράγωνον τοῦ ἀπὸ τῆς πλευρᾶς" καὶ ῥηταὶ αἱ τοιαῦται καὶ πλευραὶ καὶ
τδιάμεροι. v "ἡ ["] [9] [9] [5]
αἱ δὲ διάμετροι τῶν πλευρῶν ἐναλλὰξ παρὰ μέαν ποτὲ
1 δυάδος inras. A 2. διαμέτρου] δύ A — 9'- τὸ 9' ἄρα: τὸ
et nota vocis ἄρα supra v&, 9 τὸ inras. α 46] δύο α διά- μετρο» δ' y À 6 ἔσται Αἴ) μονάδων ἄρα A? διαμέτρῳ]
δυνάμει αὶ 6 ἔσται ζ΄: μ΄ supra notam vocis ἔσται add. A? — ἔσται τὸ: nota voc. ἔσται mut. in ἄρα A 8 τοῦ xs ἄρα τὸ L9 apogr.] τὸ ws ἄρα τοῦ pO À 9 διάμετρον] δυνάμει ἃ
10 nota vocis ἔσται mut. in u? À 11 nota vocis ἔσται mut. in μονάδων Α ἄρα post καὶ add. A? 17 duo quadrata cum numeris ομϑ' et σπϑ' add. A? 18 af δὲ corr. ex ἡ διαι À
DE NUM. PERFECTIS. 45
μὲν μονάδι μείξους ἢ διπλάσιαι δυνάμει, ποτὲ δὲ μονάδι ἐλάττους ἢ διπλάσιαι ὁμαλῶς πᾶσαι οὖν al διάμετροι πασῶν τῶν πλευρῶν γενήσονται δυνάμει διπλάσιαι, τοῦ ἐναλλὰξ πλείονος καὶ ἐλάττονος τῇ αὐτῇ μονάδι ἐν
πάσαις ὁμαλῶς τιϑεμένῃ ἰσότητα ποιοῦντος εἰς τὸ μήτε 5
ἐλλείπειν μήτε ὑπερβάλλειν ἐν ἁπάσαις τὸ διπλάσιον" τὸ γὰρ τῇ προτέρα διαμέτρῳ λεῖπον δυνάμει τῇ ἐφεξῆς ὑπερβάλλει.
ἔτει τε τῶν ἀριϑμῶν ol μέν τινες τέλειοι λέγονται,
of δ᾽ ὑπερτέλειοι, οἵ δ᾽ ἐλλιπεῖς. καὶ τέλειοι μέν εἰσιν 10
of τοῖς αὑτῶν μέρεσιν ἴσοι, ὡς ὁ τῶν g^ μέρη γὰρ αὐτοῦ ἥμισυ γ΄, τρίτον β΄, ἕκτον α΄, ἅτινα συντιϑέμενα ποιεῖ τὸν ς΄. γεννῶνται δὲ οἵ τέλειοι τοῦτον τὸν τρό- πον. ἐὰν ἐκθώμεϑα τοὺς ἀπὸ μονάδος διπλασίους καὶ συντιϑῶμεν αὐτούς, μέχρις οὗ ἂν γένηται πρῶτος καὶ ἀσύνθετος ἀριϑμός, καὶ τὸν ἐκ τῆς συνϑέσεως ἐπὶ τὸν ἔσχατον τῶν συντιϑεμένων πολλαπλασιάσωμεν, ὁ ἀπο- γεννηϑεὶς ἔσται τέλειος. οἷον ἐκκείσθωσαν διπλάσιοι c B δ΄ η΄ ig. συνϑῶμεν οὖν α' καὶ B^ γίνεται γ΄" καὶ
τὸν γ΄ ἐπὶ τὸν ὕστερον τὸν ἐκ τῆς συνθέσεως πολλα-
πλασιάσωμεν, τουτέστιν ἐπὶ τὸν β΄" γίνεται ς΄, 0g ἐστι πρῶτος τέλειος. ἂν πάλιν τρεῖς τοὺς ἐφεξῆς διπλασίους συνθῶμεν, α' καὶ B καὶ δ΄, ἔσται ξ΄" καὶ τοῦτον ἐπὶ τὸν ἔσχατον τῶν τῆς συνθέσεως πολλαπλασιάσωμεν, τὸν ζ΄
1 τῶν πλευρῶν post δυνάμει er. À 6 ἐλλείπειν: λει Corr. ex 4, Α 9 inscr. πδρὶ τελείων xal ὑπερτελείων καὶ ἐλλιπῶν (corr. ex ἐλλιπόντων) ἀριϑμῶν À, 1 in mg.
16 μέχρε À, em. apogr. 19 οὖν add. fori. A* γένεται corr. ex nota vocis ἔσται ut vid. ἃ 20 τὸν ἐκ τῆς συνθέσεως: immo τῶν συντεθέντων 22 τρεῖς: εἰ ex v ἃ 28 et p. 41,1 ἔσται Α1] γένεται αὖ vid. A? fort. recte 24 τῶν ex-vtoy À τῆς συνθέσεως: immo συντεθέντων πολαπλασιάσωμεν À, em. apogr.
15
460 DE NUM. SUPERFLUIS ET DEMINUTIS.
ἐπὶ τὸν δ΄" ἔσται ὁ κη΄, ὅς ἐστι δεύτερος τέλειος" σύγκει- ται ἐκ τοῦ ἡμίσεος τοῦ ιδ΄, τετάρτου τοῦ ζ΄, ἑβδόμου τοῦ δ΄, τεσσαρακαιδεκάτου τοῦ β΄, εἰκοστοῦ ὀγδόου τοῦ α΄. ὑπερτέλειοι δέ εἰσιν ὧν τὰ μέρη συντεϑέντα μείζονά
5 ἐστι τῶν ὅλων, οἷον 0 τῶν ιβ΄" τούτου γὰρ ἥμισύ ἐστιν c , τρίτον δ΄, τέταρτον γ΄, ἕκτον β΄, δωδέκατον α΄, ἅτινα συντεϑέντα γένεται ig, ὅς ἐστι μείξων τοῦ ἐξ ἀρχῆς, τουτέστι τῶν ιβ΄.
ἐλλιπεῖς δέ εἰσιν ὧν τὰ μέρη συντεϑέντα ἐλάττονα
10 τὸν ἀριϑμὸν ποιεῖ τοῦ ἐξ ἀρχῆς προτεϑέντος ἀριϑμοῦ, οἷον ὁ τῶν η΄" τούτου γὰρ ἥμισυ δ΄, τετάρτον β΄, ὄγδοον ἕν. τὸ αὐτὸ δὲ καὶ τῷ v συμβέβηκεν, ὃν καϑ᾽ ἕτερον λόγον τέλειον ἔφασαν οἵ Πυϑαγορικοί, περὶ ot κατὰ τὴν οἰκείαν χώραν ἀποδώσομεν. λέγεται δὲ καὶ ὁ
15 τέλειος, ἐπειδὴ πρῶτος ἀρχὴν καὶ μέσα καὶ πέρας ἔχει" ὁ δ᾽ αὐτὸς καὶ γραμμή ἐστι καὶ ἐπίπεδον, τρίγωνον γὰρ ἰσόπλευρον ἑκάστην πλευρὰν δυεῖν μονάδων ἔχον, καὶ πρῶτος δεσμὸς καὶ στερεοῦ δύναμις" ἐν γὰρ τρισὶ δια- στάσεσι τὸ στερεὸν νοεῖσϑαι.
30 ἐπεὶ δὲ καὶ συμφώνους τινάς φασιν ἀριϑμούς, καὶ
ὁ περὶ συμφωνίας λόγος οὐκ ἂν εὑρεϑείη ἄνευ ἀρι-
1 δεύτερος] B A σύγκειται — τοῦ αἴ in mg. A (fort. haec e contextu verborum removenda), γὰρ post t σύγκειται apogr. 2 ἑβδόμου) £A 8Β τεσσαρακαιδεκάτου] ἰδ A εἰκοστοῦ ὀγδοου] ζῇ κὴ A : συντεθέντα: τε corr, ex τῷ À ὅὄὅ τῶν B A3] τὸν ιβ Αἱ 7 ὅς (ὃ) A!] καὶ Α3 8 τῶν corr. ex τὸν 19 cà corr. ex τὸ A 14 ἀποδώσομεν: p. 99, 18. 106, Ki y : τρία corr ex τρίτος À — 16 μέσον apogr. 16 γάρ (ous)? 18 δύναμις corr. ex δυνάμεις A — . 19 νοεῖται apogr.; fort. excidit φασίν vel tale quid — 20 inscr. 8éovog Πλατωνικοῦ συγκεφαλαΐίωσις καὶ σύνοψις τῆς ὅλης μουσικῆς Z, περὶ μουσικῆς A? « À
DE SONO. 41
ϑμητικῆς᾽ ἥτις συμφωνία τὴν μεγίστην ἔχει ἰσχύν, ἐν λόγῳ μὲν οὖσα ἀλήϑεια, ἐν βίῳ δὲ εὐδαιμονία, ἐν δὲ τῇ φύσει ἁρμονία. καὶ αὐτὴ δὲ ἡ ἁρμονία ἥτις ἐστὶν ἐν κόσμῳ οὐκ ἂν εὑρεθείη μὴ ἐν ἀριϑμοῖς πρότερον ἐξευρεϑεῖσα᾽ ἥτις ἐστὶ καὶ νοητή, ἡ 0$ νοητὴ ῥᾷον ἀπὸ τῆς 5 αἰσϑητῆς κατανοεῖται. νῦν μὲν οὖν περὶ τῶν δυεῖν ἁρμονιῶν λεκτέον, τῆς τ᾽ αἰσϑητῆς ἐν ὀργάνοις xal τῆς νοητῆς ἐν ἀριϑμοῖς. μετὰ δὲ τὸν περὶ πάντων τῶν μαϑηματικῶν λόγον τελευταῖον ἐπάξομεν καὶ τὸν περὶ τῆς ἐν κόσμῳ ἁρμονίας λόγον, οὐκ ὀκνοῦντες τὰ ὑπὸ 10 τῶν πρὸ ἡμῶν ἐξευρημένα καὶ αὐτοὶ ἀναγράφειν, ὥσπερ καὶ τὰ πρόσϑεν ὑπὸ τῶν Πυϑαγορικῶν παραδοϑέντα ἐπὶ τὸ γνωριμώτερον ἐξενεγκόντες παραδεδώκαμεν, οὐδὲν αὐτοὶ τούτων ἐξευρηκέναι φάσκοντες. παραδει- χνύντες δέ τινα τῶν ὑπὸ τῶν πρὸ ἡμῶν παραδοϑέντῶΩν 1 τῷ μέλλοντι συνήσειν τὰ Πλάτωνος ἀναγκαίαν καὶ τούτων συναγωγὴν ἐποιησάμεϑα.
Θράσυλλος τοένυν περὶ τῆς ἐν ὀργάνῳ αἰσϑητῆς λέγων ἁρμονίας φϑόγγον φησὶν εἶναι φωνῆς ἐναρμονίου τάσιν. ἐναρμόνιος δὲ λέγεται, ἐπὰν δύνηται καὶ τοῦ 90 ὀξέος ὀξύτερος εὑρεϑῆναι καὶ τοῦ βαρέος βαρύτερος" καὶ ὃ αὐτὸς καὶ μέσος ἐστίν. ὡς εἴγε τινὰ τοιαύτην φωνὴν νοήσαιμεν ἥτις ὑπεραίρει πᾶσαν ὀξύτητα, οὐκ ἄν εἴη évaguóviog" οὐδὲ γὰρ τὸν τῆς ὑπερμεγέϑους
2 μὲν οὐσα] μένουσα A! 4 πρώτερον À! 6 cf. Boeckh kl. Schr. III p. 138 sqq. 7 τῆς v αἰσϑητῆς iv ὀργά- φοις Z] τῆς τε αἰσθητῶν ὀργάνοις Αἷ, τῆς τε ἐν αἰσθητοῖς ὀργάνοις A* 11 ἐποιησάμεθα Z] πεποιήμεϑα A — 18 inscr.
βτί ἐστι φϑόγγος καὶ τέ φωνὴ ἐναρμόνιος mg. Δ. cf. C. Fr. Hermann de Thrasyllo p. 9. Marquard δὰ Aristox. p. 226 ϑράσυλλος 2] Θρασυλλὸς À!, Θρασύλβος A? 29 καὶ 0 αὐτὸς καὶ μέσος ἐστίν del. vid. -
48 DE INTERVALLIS.
βροντῆς ψόφον ἐναρμόνιον ἐροῦμεν, ὅς ys καὶ ὀλέϑριος διὰ τὴν ὑπερβολὴν πολλάκις γίνεται, ὥς τις ἔφη᾽ πολλοὺς δὲ βροντῆς τραῦμ᾽ ἄναιμον ὥλεσε. καὶ μὴν εἴ τις οὕτως βαρὺς εἴη φϑόγγος, ὡς μὴ ἔχειν 5 αὑτοῦ βαρύτερον, οὐχ ἂν οὐδὲ φϑόγγος εἴη τὸ ἐναρ- μόνιον οὐκ ἔχων. διὰ τοῦτ᾽ οὖν φϑόγγος εἶναι λέγεται οὐ πᾶσα φωνὴ οὐδὲ πάσης φωνῆς τάσις, ἀλλ᾽ ἡ évag- μόνιος, οἷον μέσης, νεάτης, ὑπάτης. διάστημα δέ φησιν εἶναι φϑόγγων τὴν πρὸς ἀλλήλους ποιὰν σχέσιν, οἷον 10 διὰ τεσσάρων, διὰ πέντε, διὰ πασῶν, σύστημα δὲ διαστημάτων ποιὰν περιοχήν, οἷον τετράχορδον, πεντά- χορδον, ὀχτάχορδον. ἁρμονία δέ ἐστε συστημάτων σύνταξις, οἷον Δύδιος, Φρύγιος, Δώριος. καὶ τῶν φϑόγγων οἱ μὲν ὀξεῖς, οἵ δὲ βαφεῖς, οἵ δὲ μέσοι" 15 ὀξεῖς μὲν οἱ τῶν νητῶν, βαρεῖς δὲ oí τῶν ὑπατῶν, μέσοι δὲ oí τῶν μεταξύ. τῶν δὲ διαστημάτων τὰ μὲν σύμφωνα, τὰ δὲ διάφωνα. σύμφωνα μὲν τά τὸ κατ᾽ ἀντίφωνον, οἷόν ἐστι τὸ διὰ πασῶν καὶ τὸ δὶς διὰ πασῶν, καὶ và {κατὰ παράφωνον, οἷον τὸ διὰ πέντε, :0 τὸ διὰ τεσσάρων. σύμφωνα δὲ κατὰ συνέχειαν οἷον τόνος, δίεσις. τά τε γὰρ κατ᾽ ἀντίφωνον σύμφωνά ἐστιν, ἐπειδὰν τὸ ἀντικείμενον τῇ ὀξύτητι βάρος συμ- φωνῇ; τά τε κατὰ παράφωνόν ἐστι σύμφωνα, ἐπειδὰν 3 Eurip. fr. 912 ἀἍ4 εἴ] 5 Α' ὃ τοῦτ᾽ A] τοῦτοΖ 8 inser. τί ἐστι διάστημα À, ὃ in mg. cf. Marquard p. 231
10 & mg. À. cf. Boeckh kl. Schr. III p. 147 sqq. 157. de metris Pind. p. 204 sqq. 12 inscr. τέ ἐστιν ἁρμονία καὶ περὶ διαφορᾶς φϑόγγων Ἀ, $ f in mg. cf. Marquard p. 212 16 τῶν Ζ] om. A inscr. περὶ διαστημάτων À, £ ἢ in mg.
17 cf. Westphal Metrik der Griechen I p. 289. Marquard p. 252 19 va] vó AZ, cf. vs. 29 τὸ om. Αἴ 20 σύμ- φωνα — δίεσις fort. del. cf. Marquard p. 236
DE PARTIBUS MODULATIONIS. 49
μήτε ὁμότονον φϑέγγηται φϑόγγος φϑόγγῳ μήτε διά- φωνον, ἀλλὰ παρά τι γνώριμον διάστημα ὅμοιον. διά- φῶνοι δ᾽ εἰσὶ καὶ οὐ σύμφωνοι φϑόγγοι, ὧν ἔστι vo διάστημα τόνου ἢ διέσδως᾽ ὁ γὰρ τόνος καὶ ἡ δίεσις ἀρχὴ μὲν συμφωνίας, οὕπω δὲ συμφωνία. 5 ὁ δὲ περιπατητικὸς "άδραστος, γνωριμώτερον περί τε ἁρμονίας καὶ συμφωνίας διεξιών, φησί: καϑάπερ τῆς ἐγγραμμάτου φωνῆς καὶ παντὸς τοῦ λόγου ὁλοσχερῆ μὲν καὶ πρῶτα μέρη τά τε ῥήματα καὶ ὀνόματα, τούτων δὲ αἱ συλλαβαί, αὗται δ᾽ ἐκ γραμμάτων, τὰ δὲ γράμ- τὸ ματα φωναὶ πρῶταί εἶσι καὶ στοιχειώδεις καὶ ἀδιαίρετοι καὶ ἐλάχισται --- καὶ γὰρ συνίσταται ὁ λόγος ἐκ πρώ- τῶν γραμμάτων καὶ εἰς ἔσχατα ταῦτα ἀναλύεται —, οὕτως καὶ τῆς ἐμμελοῦς καὶ ἡρμοσμένης φωνῆς καὶ παντὸς τοῦ μέλους ὁλοσχερῆ μὲν μέρη τὰ λεγόμενα i5 συστήματα, τετράχορδα καὶ πεντάχορδα καὶ ὀχτάχορδα᾽ ταῦτα δέ ἐστιν ἐκ διαστημάτων, τὰ δὲ διαστήματα ἐκ φϑόγγων, οἵτινες πάλιν φωναί εἰσι πρῶται καὶ ἀδι- αίρετοι καὶ στοιχειώδεις. ἐξ ὧν πρώτων συνίσταται τὸ πᾶν μέλος καὶ εἰς ἃ ἔσχατα ἀναλύεται. διαφέρουσι δὲ so
1 ὁμότονον: vo in ras. À (fort. corr. ex ὁμόφωνον), cf. Vetter additam, ad. Steph. Thes. (Zwickau 1807) p. 16 8 ov] of AZ ἐστὶ Z] ἐπὶ A 6 inscr. περὶ ἁρμονίας καὶ συμ- φωνίας À. cf. Chaleid. 44 10 αὗται δ᾽ ἅτινα ΑΖ, αἵτινες Manuel Bryennius p. 893 11 ἀδιαίρετοι Z] διαιρεταὶ corr. ex διαερετοὶ À, quae sunt primae voces individvae atque ele- mentariae Chalcid, 16 ὥστε ἀναλογεῖν ταῦτα ταὶς λέξεσιν, οἷον ἤμασι καὶ ὀνόμασι, τὰ δὲ διαστήματα ταῖς συλλαβαῖς, τοῖς ὃ φθόγγοις. τοῖς στοιχείοις (τὰ στοιχεῖα corr. A?, scr. τοὺς δὲ φϑόγγους τοῖς στοιχείοις) mg. Α 18 φϑόγγων 2] τῶν φϑόγγων Α ἀδιαίρετοι) διαιρεταὶ corr. ex διαιρετοὶ Α 19 πρώτων ΑἹ πρῶτον Z 20 ἃ Z] om. A, cf. Nicom. introd. arthm. p. 73, 6 H.
Theo Bmyrn. 4
50 DE SONORUM DIFFERENTIA.
ἀλλήλων οἱ φϑόγγοι ταῖς τάσεσιν, ἐπεὶ ol μὲν αὐτῶν ὀξύτεροι, οἵ δὲ βαρύτεροι" αἱ δὲ τάσεις αὐτῶν κατά τινας λόγους εἰσὶν ἀφωρισμέναι.
φησὶ δὲ καὶ τοὺς Πυϑαγορικους περὶ αὐτῶν οὕτω 5 τεχνολογεῖν᾽ ἐπεὶ μέλος μὲν πᾶν καὶ πᾶς φθόγγος φωνή τίς ἐστιν, ἄπασα δὲ φωνὴ ψόφος, ψόφος δὲ πλῆξις ἀέρος κεκωλυμένου ϑρύπτεσθϑαι, φανερὸν ὡς ἠρεμίας μὲν οὔσης περὶ τὸν ἀέρα οὐκ ἂν γένοιτο οὔτε ψόφος οὔτε φωνή, διὸ οὐδὲ φϑόγγος, πλήξεως δὲ καὶ κινήσεως 10 γενομένης περὶ τὸν ἀέρα, ταχείας μὲν ὀξὺς ἀποτελεῖται ὁ φϑόγγος, βραδείας δὲ βαρύς, καὶ σφοδρᾶς μὲν μείζων ἦχος, ἠρέμου δὲ μικρός. τὰ δὲ τάχη τῶν κινήσεων καὶ αἵ σφοδρότητος ἢ ἐν λόγοις τισὶν ἀποτελοῦνται ἢ καὶ ἀλόγως πρὸς ἄλληλα. ὑπὸ μὲν οὖν τῶν ἀλόγων ἄλογοε 15 καὶ ἐκμελεῖς γίνονται ψόφοι, ovg οὐδὲ φϑόγγους χρὴ καλεῖν κυρίως. ἤχους δὲ μόνον, ὑπὸ δὲ τῶν ἐν λόγοις τισὶ πρὸς ἀλλήλους πολλαπλασίοις ἢ ἐπιμορίοις 7] ἁπλῶς ἀριϑμοῦ πρὸς ἀριϑμὸν ἐμμελεῖς καὶ κυρίως καὶ ἰδίως φϑόγγοι᾽ ὧν οἱ μὲν ἄλλοι μόνον ἡρμοσμένοι, οἵ δὲ κατὰ 90 τοὺς πρώτους καὶ γνωριμωτάτους καὶ κυριωτάτους λό- γους πολλαπλασίους τε καὶ ἐπιμορίους ἤδη καὶ σύμφωνοι. συμφωνοῦσι δὲ φϑόγγοι πρὸς ἀλλήλους, ὧν ϑατέ-
1 ἀλλήλων ΔΑ] ἄλλων Z 8 λόγους ante λόγους er. A 4 φησὶ ΑἹ φασὶ 6 Porph. comm. in Piol. Harm. p. 198 ὁ γοῦν περιπατητιπὸς Ἄδραστος τὰ κατὰ τοὺς Πυϑαγορείους ἐκτιϑέμενος γράφει" ἐπεὶ μέλος — δὲ μικρός (vs. 12) 6 ψόφος δὲ 2] om. A, ὁ δὲ add. A?*, ὁ δὲ ψόφος Porph. 71 φανερὸν Porph.] φανερὸν δ AZ 11 μεῖξον A! ὀ 12 goéuov ΑἹ ἠρέμα Z, ἠρεμαέας Porph. 18 ἀριϑμοῦ ΑἹ κἀὶ Z 21 πολλαπλασίους A] πολλαπλάσιοί Z ἐπιμορίους Α] ἐπιμόριοι σύμφωνοι corr. ex. συμφώνους ut vid. À 22 Porph.
comm. in Ptol. Harm. p. 270 Ἄδραστος δὲ ὃ περιπατητικὸς ἐν τοῖς εἰς τὸν Τίμαιον λέγει οὕτως" συμφωνοῦσι δὲ — ἐξακούεται
DE CONSONANTIIS. 51
ρου κρουσϑέντος ἐπί τινος ὀργάνου τῶν ἐντατῶν καὶ ὁ λοιπὸς κατά τινα οἰκειότητα καὶ συμπάϑειαν συνηχεῖ" κατὰ ταὐτὸ δὲ ἀμφοῖν ἅμα κρουσϑέντων ἡδεῖα καὶ προσηνὴς ἐκ τῆς κράσεως ἐξακούεται φωνή. τῶν δὲ κατὰ τὸ ἑξῆς ἡρμοσμένων φϑόγγων πρῶτοι μὲν οἵ τέταρτοι τάξει συμφωνοῦσι πρὸς ἀλλήλους, συμφωνοῦσι δὲ συμφωνίαν τὴν δι᾽ αὐτὸ τοῦτο διὰ τεσσάρων Asyo- μένην, ἔπειτα oí πέμπτοι τὴν διὰ πέντε, καὶ μετὰ ταῦτα οἵ περιλαμβάνοντες ἀμφοτέρας τὰς συμφωνίας, γινόμενοι δ᾽ ἀπ᾿ ἀλλήλων ὄγδοοι, τὴν διὰ πασῶν, οὕτω προσαγορευϑεῖσαν ἐπειδὴ τὸ πρῶτον ἀπὸ τῆς ὀκταχόρδου λύρας ὁ πρῶτος καὶ βαρύτατος φϑόγγος, καλούμενος ὑπάτη, τῷ τελευταίῳ καὶ ὀξυτάτῳ, τουτέστι τῇ νήτῃ, τὴν αὐτὴν εὑρέϑη συνέχων συμφωνίαν κατ᾽ ἀντέφωνον. ἐπηυξημένης δὲ τῆς μουσικῆς καὶ πολυχόρ- 0ov καὶ πολυφϑόγγων γεγονότων ὀργάνων τῷ προσ- ληφϑῆναι καὶ ἐπὶ τὸ βαρὺ καὶ ἐπὶ τὸ ὀξὺ τοῖς προῦπ- ἄρχουσιν ὀκτὼ φϑόγγοις ἄλλους πλείονας, ὅμως τῶν πρώτων συμφωνιῶν αἴ προσηγορίαι φυλάττονται, διὰ τεσσάρων. διὰ πέντε, διὰ πασῶν.
φωνή (p. 51, 4. οὗ Marquard p. 237. C. Lang .Ueberblick über die altgriech. Harmonik p. 27 1 ἐντατῶν A] ἐν τού- τοις Ζ 2 συνηχῇ Porph. 3 ταὐτὸ AZ] τὸ αὐτὸ Porph. ἡδεῖα 2] ἠδία Αἱ, ἠδεῖα A*, λεία Porph. 6 τέτταρες A?
συμφωνία ἡ διὰ ὃ ἐν ἐπιτρίτῳ, 7 διὰ E συμφωνία ἐν ἡμιολίῳ, ἡ διὰ πασῶν συμφωνία A* vel recentior manus in Ig. Sup., adiectis lineis inutilibus — 8 πέμπτοι Z| ἃ 10 δ᾽ Z] om. A 11 ὅτι τὸ πρῶτον μέχρις ὁκταχορδὼν (tum καὶ del.) ἡ μουσικὴ ὑπῆρχεν, ὁ à ὑπάτη βαρύτατος, ὁ ἔσχατος Parm ὀξύτατος: ἐπεὶ ὁ (μὲν add. A?) ὀξύτατος φϑόγγος ὁ ὃ (ὁ ὃ corr. in ὁ δὲ βαρύτατος AT) οὗτοι δὲ ἀντίφωνοι mg. À
12 βαρύτατος ὁ ἃ φϑόγγος ὑπάτη, ἢ ὀξύτατος νήτη A* vel rec. m. in mg. inf, adiectis lineis 1 εὐρέϑη]) ἐὐρεθήσοται ΑΖ
b
15
20
52 DE CONSONANTIIS.
προσανηύρηνται δὲ ταύταις ἕτεραι πλείους. τῇ γὰρ, διὰ πασῶν πάσης ἄλλης προστιϑεμένης, καὶ ἐλάττονος καὶ μείζονος καὶ ἴσης. ἐξ ἀμφοῖν ἑτέρα γίνεται συμ- φωνία, οἷον ἥ ve διὰ πασῶν καὶ διὰ τεσσάρων, καὶ 5 διὰ πασῶν καὶ διὰ πέντε, καὶ δὶς διὰ πασῶν, ἔτι δὲ πάλιν τῇ διὰ πασῶν εἰ προστεϑείη τούτων tig, οἷον ἡ δὶς διὰ πασῶν καὶ διὰ τεσσάρων, καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων ὁμοίως μέχρι τοῦ δύνασθαι φϑέγγεσϑαι ἢ κρίνειν ἀκούοντας. τόπος γάρ τις καλεῖται τῆς φωνῆς ὃν 10 διεξέρχεται ἀπὸ βαρυτάτου τινὸς ἀρξαμένη φϑόγγου καὶ κατὰ τὸ ἕξῆς ἐπὶ τὸ ὀξὺ προϊοῦσα, ἢ ἀνάπαλιν. τούτων δὲ ol μὲν ἐπὶ πλεῖον, οἱ δὲ ἐπ᾽ ἔλαττον διιστᾶσιν. τὸ μέντοι ἑξῆς καὶ ἐμμελῶς ἐν τούτῳ προκόπτειν οὔτε ὡς ἔτυχε γένεται οὔτε μὴν ἁπλῶς καὶ μοναχῶς, ἀλλὰ 15 κατά τινας τρόπους ἀφωρισμένους, καϑ᾽ οὖς αἱ τῶν λεγομένων γενῶν τῆς μελῳδίας ϑεωροῦνται διαφοραί. καϑάπερ γὰρ ἐπὶ τοῦ λόγου καὶ τῆς ἐγγραμμάτου φωνῆς οὐ πᾶν γράμμα παντὶ συμπλεκόμενον συλλαβὴν ἢ λόγον ἀποτελεῖ, οὕτως οὐδὲ ἐν τῷ μέλει κατὰ τὴν ἡρμοσμένην 40 φωνὴν οὐδ᾽ ἐν τῷ ταύτης τόπῳ πᾶς φϑόγγος μετὰ παντὸς τιϑέμενος ἐμμελὲς ποιεῖ διάστημα, ἀλλ᾽ ὥς φαμεν κατὰ τρόπους τινὰς ἀφωρισμένους.
1 ταῦται Α' — 6 τῇ δὶς διὰ πασῶν Α οὗ Bryenn. p. 394 sí primo om., tum add. A, deest in Z 8 ὁμοίως Α] οὕτως Ζ 9 cf. Aristox. p. 18, 27 Marq. Vetter additam. ad. Steph. Thes. p. 34 yf οὕτως ὅτι ὁ τῆς φωνῆς τόπος ἢ ἀπὸ βαρυ- τάτου ἀρξάμενος κατὰ τὸ ἑξῆς ἐπὶ τὸ ὀξὺ δίεισιν ἢ ἔμπαλιν ἀπὸ ὀξυτάτου ἐπὶ τὸ βαρύ mg. A 12 τούτων --- διιστᾶ-
σιν fort. del. 18 sq. τὸ — ἐμμελῶς — προκόπτειν 2 corr. inj — ἐμμελὴς — προκοπὴ A 14 ἀλλὰ A] ἀλλὰ καὶ 17 cf. Aristox. p. 88 et 52 Marq. 19 χατὰ τὴν Z]
om. ἃ
DE GENERE DIATONO. 53
τοῦ δὲ λεγομένου τόπου τῆς φωνῆς xal παντὸς τοῦ ἐν τούτῳ διαστήματος γνωριμώτατον μέρος τε καὶ μέτρον ἐστὶ τὸ καλούμενον τονιαῖον διάστημα, καϑάπερ ὁ πῆχυς τοῦ κυρίως τοπικοῦ διαστήματος ὃ φερόμενα τὰ σώματα διέξεισιν. ἔστι δὲ γνωριμώτατον τὸ τονιαῖον διάστημα, 5 ἐπειδὴ τῶν πρώτων καὶ γνωριμωτάτων συμφωνιῶν ἐστι διαφορά᾽ τὸ γὰρ διὰ πέντε τοῦ διὰ τεσσάρων ὑπερέχει τόνῳ. τὸ μέντοι ἡμιτόνιον οὐχ ὡς ἥμισυ τόνου λέγεται, ὥσπερ ᾿Δριστόξενος ἡγεῖται, καϑὸ καὶ τὸ ἡμιπήχιον ἥμισυ πήχεως, ἀλλ᾽ ὡς ἔλαττον τοῦ τόνου μελῳδητὸν 10 διάστημα καϑὰ καὶ τὸ ἡμίφωνον γράμμα οὐχ ὡς ἥμισυ φωνῆς καλοῦμεν, ἀλλ᾽ ὡς μὴ αὐτοτελῆ καϑ' αὑτὸ
, . A e , e , φωνήν. δείκνυται γὰρ ὁ τόνος μηδ᾽ 040g εἰς δύο ἴσα διαιρεῖσϑαι δυνάμενος, ἐν λόγῳ ϑεωρούμενος ἐπογδόω, καϑάπερ οὐδ᾽ ἄλλο τι ἐπιμόριον διάστημα. τὰ γὰρ ϑ' is οὐχ οἷόν τε διαιρεϑῆναι εἰς ἴσα.
ὅταν μὲν οὖν ἡ φωνὴ μελῳδοῦσα ἐν τῷ λεγομένῳ τόπῳ αὐτῆς ἀπό τινος βαρυτέρου φϑόγγου ἐπὶ τὸν ἑξῆς ὀξύτερον μεταβῇ τὸ λεγόμενον ἡμιτονιαῖον διάστημα ποιησαμένη κἄπειτ᾽ ἀπ᾽ αὐτοῦ τόνον διαστήσασα πρῶτον 20
1 inscr. περὶ τόνου A, i in mg. 6 διέξεισιν: εἰ corr. ex. LÀ γνωριμώτατον Bryenn. p. 396] γνωριμώτερον ΑΖ
6 cf. Marquard p. 258 sq 8 inscr. περὶ ἡμιτονίου Α. cf. Procl ad Plat. Tim. p. ^96 B 9 ᾿Αριστόξενος: Harm. p. 80, 7 Marq.. 12 αὐτοτελῆ καϑ᾽ αὑτὸ φωνήν 2] τὸ αὐτὸ τελεῖ κατ αὐτὸ φωνὴν Al τῷ αὐτοτελεῖ κατὰ ταυτὸ φωνεῖν A3 14 ὅτι ὃ τόνος ἐν ἐπογδόῳ λόγῳ ϑεωρεῖται mg. À 17 inscr. τέ τὸ διάτονον μέλος (γένος Bull) τῆς μελῳ - δίας À, τὰ in m 18 βαρυτέρου Al βραχυτέρου A'Z 19 ἡμιτονιαῖον 2] ἡμιτόνιον Α το » ὡς οὐ πάντως (πάντος A') οὕτως ἔχει τὸ διάτονον, ἀλλ᾽ ἐνδέχεται καὶ μετὰ τὸ ἡμιτόνιον (τὸ ἡμιτόνιον A? corr. αὖ vid. ex τῶν) δύο τόνους
(τόνων A") εἶναι καὶ ἑκατέρωθεν (ἑκατέροθεν A!)' ἐκ δὲ δια- φόρου τάξεως διάφορον γένεται μέλος mg. Α
54 DE GENERE CHROMATICO.
ἐπ’ ἄλλον παραγένηται φϑόγγον, βουλομένη κατὰ τὸ ἑξῆς προκόπτειν ἐμμελῶς, οὐδὲν ἕτερον εἶναι δύναται διάστημα οὐδὲ προενέγκασϑαι φϑόγγον ἕτερον ἐμμελῆ καὶ ἡρμοσμένον, ἢ διάστημα μὲν τονιαῖον, φϑόγγον ὃὲ 5 τὸν ἐπὶ τὸ ὀξὺ τοῦτο ὁρίξοντα καὶ συμφωνοῦντα τῷ ἐξ ἀρχῆς τὴν διὰ τεσσάρων συμφωνίαν. καλεῖται δὲ τὸ οὕτω μελῳδηϑὲν σύστημα τετράχορδον, συνεστηκὸς ix διαστημάτων μὲν τριῶν, ἡμιτονίου καὶ τόνου καὶ τόνου, φϑόγγων δὲ τεσσάρων, ὧν ol περιέχοντες, τουτέστιν ὅ 1:0 v5 βαρύτατος καὶ ὀξύτατος, συμφωνοῦσιν εὐθὺς ἣν διὰ τεσσάρων ἔφαμεν λέγεσθαι συμφωνίαν δύο τόνων οὖσαν καὶ ἡμιτονίου. καλεῖται δὲ τὸ τοιοῦτον γένος τῆς μελῳδίας διάτονον, ἤτοι ὅτι διὰ τῶν τόνων τὸ πλεῖστον διοδεύει ἢ ὅτι σεμνόν τι καὶ ἐρρωμένον καὶ 15 εὔτονον ἦϑος ἐπιφαίνει. ἐὰν μέντοι ἡ φωνὴ, τὸν ἐξ ἀρχῆς πρῶτον ὁρίσασα φϑόγγον καὶ ἡμιτόνιον ἐπὶ τὸ ὀξὺ μεταβᾶσα, ἐπὶ τὸν αὐτὸν ἔλθῃ δεύτερον φϑόγγον, εἶτα πάλιν ἀπὸ τοῦδε ἡμιτόνιον διαστήσασα τρίτον ὁρίσῃ φϑόγγον ἄλλον, 30 ἀπὸ τούτου κατὰ συνέχειαν πειρωμένη προκόπτειν ἐμμε- λῶς οὔτε διάστημα δύναται ποιήσασθαι ἄλλο πλὴν τὸ λειπόμενον τοῦ πρώτον γενομένου τετραχύρδου, τὸ τριημιτονιαῖον ἀσύνϑετον, οὔτε φϑόγγον ἕτερον ὁρίσαι
2 εἶναι] ποιήσασθαι cf. p. 53, 20. 54, 21 6 τοῦτον A? 10 x«i om. A! τίς ἡ διὰ ὃ καὶ πῶς γίνεται: τί τὸ διάτονον γένος τῆς μελῳδέαρ καὶ πῶς γίνεται: mg. À οὖν post εὐθὺς add. A? ἣν corr. ex ἢ À 11 ἔφαμεν A] φαμὲν Z. cf. p. 61, 7 12 γίνεται post ἡμιτονίου A3 14 τι Z] τε À 16 inscr. τέ τὸ χρωματικόν AÀ, iB in mg. καὶ τοῦτο τῆς διὰ ὃ mg. Α τὸν] τῶν Αἱ 18 ἔλθη apogr.] ἔλϑοι AZ ut vid. 19 ὁρίσει À!
DE GENERE ENARMONIO. 55
ἢ τὸν ἐπὶ τὸ ὀξὺ περιέχοντα τὸ πρῶτον τετράχορδον, συμφωνοῦντα τῷ βαρυτάτῳ κατὰ τὸ διὰ τεσσάρων᾽ ὥστε γίνεσϑαι τὴν τοιαύτην μελῳδίαν κατὰ -ἡμιτύνιον καὶ ἡμιτόνιον καὶ τριημιτόνιον ἀσύνϑετον. καλεῖται δὲ πάλιν τὸ γένος τῆς τοιαύτης μελῳδίας χρωματικὸν διὰ 5 τὸ παρατετράφϑαι καὶ ἐξηλλάχϑαι τοῦ πρόσϑεν γοερώ- τερόν τε καὶ παϑητικώτερον ἦϑος ἐμφαίνειν.
λέγεται δέ τι καὶ τρίτον γένος μελῳδίας ἐναρμόνιον, ἐπειδὰν ἀπὸ τοῦ βαρυτάτου φϑόγγου κατὰ δίεσιν καὶ δίεσιν καὶ δίτονον ἡ φωνὴ προελθοῦσα μελῳδήσῃ τὸ 10 τετράχορδον. δίεσιν δὲ καλοῦσιν ἐλαχίστην ol περὶ ᾿Αριστόξενον τὸ τεταρτημόριον τοῦ τόνου, ἥμισυ δὲ ἡμιτονίου, ὡς ἐλάχιστον μελῳδητὸν διάστημα, τῶν Πυϑαγορείων διέσιν καλούντων τὸ νῦν λεγόμενον ἡμιτόνιον. καλεῖσθαι δέ φησιν ᾿Δριστόξενος τοῦτο τὸ 15 προειρημένον γένος ἁρμονίαν διὰ τὸ εἶναι ἄριστον, ἀπενεγκάμενον τοῦ παντὸς ἡρμοσμένου τὴν προσ-
1 τὸ ὀξὺ A] τὸν ὀξὺ Z 2 κατὰ τὸν διὰ δ' Z (κατὰ τὴν διὰ τεσσάρων συμφωνίαν duo codd. et Bryenn. p. 897), κατὰ τῶν διὰ E À — 4 τὸ τριημιτόνιον (τρημητόνιον A!) τριῶν ἐστὶν ἡμιτονίων, τόνου ἀφ᾿ εἶτα τὰ β ἡμιτόνια" γίνεται ἡ πᾶσα τόνων fc mg. A 6 xolante γοερώτερόν add. A? ut vid. — 8 inscr. τί τὸ ἐναρμόνιον A, ty in mg. 9 ἐπεὶ γὰρ τὸ (ᾧ add. A?) διὰ ὃ δίατονον (scr. δύο τόνων καὶ ἡμιτονίου) ἐστίν͵ ἀνάγκη τῶν (τῶν Α', τὸ A?) B διαστημάτων διεσιαῖον τῶν (scr. διεσιαίων ὄντων) arc ἐστιν ἡμιτονίου τὸ y wo εἶναι τόνων mg. Α (in postremis complura ex corr. Α ἔτι τῆς διὰ ὃ mg. À καὶ δίεσιν 2] om. A 10 δίτονον 2] διὰ τόνον Α βηλωδήση ΑἹ μελῳδήσει Z 11: inscr. τί ἐστι δέεσις Α ol περὶ ᾿Δριστόξενον: Harm. p. 30, ὅ sq. 66, 9
14 πυϑαγορέων A!Z 15 Moor. A] ὁ 'άριστ. Z. cf. Mahne diatr..de Arist. p. 163 17 ἀπενεγκάμενον 2] énevey- κάμενον Α
56 DE INVENTIONE
ηγορίαν. ἔστι δὲ δυσμελῳδητότατον καί, ὡς ἐκεῖνός
φησι, φιλότεχνον καὶ πολλῆς δεόμενον συνηϑείας, ὅϑεν
οὐδ᾽ εἰς χρῆσιν ῥαδίως ἔρχεται, τὸ δὲ διάτονον γένος
ἁπλοῦν τι καὶ γενναῖον καὶ μᾶλλον κατὰ φύσιν" διὸ 5 μᾶλλον τοῦτο παραλαμβάνει Πλάτων.
ἡμιτόνιον τόνος τόνος διάτονον ἡμιτόνιον ἡμιτόνιον τριημιτόνιον χρωματικόν δέεσις]δέεσις δίτονον ἁρμονικόν
τοὺς δὲ συμφωνοῦντας φϑόγγους ἐν λόγοις τοῖς
1 πρὸς ἀλλήλους πρῶτος ἀνευρηκέναι δοκεῖ Πυϑαγόρας, τοὺς μὲν διὰ τεσσάρων ἐν ἐπιτρίτῳ, τοὺς δὲ διὰ πέντε ἐν ἡμιολίῳ, τοὺς δὲ διὰ πασῶν ἐν διπλασίῳ, καὶ τοὺς μὲν διὰ πασῶν καὶ διὰ τεσσάρων ἐν λόγῳ τῶν η΄ πρὸς γ΄ ὅς ἐστι πολλαπλασιεπιμερής, διπλάσιος γὰρ καὶ δισ- 15 ἐπίτριτός ἐστι, τοὺς δὲ διὰ πασῶν καὶ διὰ πέντε ἐν λόγῳ τριπλασίῳ, τοὺς δὲ δὶς διὰ πασῶν ἐν τετραπλασίῳ, καὶ τῶν ἄλλων ἡρμοσμένων τοὺς μὲν τὸν τόνον περι- ἔχοντας ἐν ἐπογδόῳ λόγῳ, τοὺς δὲ τὸ νῦν λεγόμενον ἡμιτόνιον, τότε δὲ δίεσιν, ἐν ἀριϑμοῦ λόγῳ πρὸς ἀριϑ-
1 ἐκεῖνος: Harm. p. 26, 18, cf. Westphal I p. 420. Mar- quard p. 267 5 cf. Macrob. in Somn. Scip. II 4, 18. Procl. ad Plat. Tim. p. 191 E 6 τόνος διάτονον apogr.] διάτονος διατόνου AZ (utrumque intra figurae lineas scriptum, sicut eiiam sequentia) 7 τριημιτόνιον χρῶμα apogr. ᾿χρωματικοῦ τριημιτονίου ΑΖ 8 δίτονον ἁρμονικόν) ἁρμονικὸν διατόνιον ΑΖ, δίτονον ἐναρμόνιον apogr. 9 sqq. cf. Chaleid. 48. Zeller I p. 371. Westphal 1 p. 62 10 ἀνευρικέναι Αἱ 11 κεῖται τὸ ὑπόδειγμα ἐπὶ καταγραφῆς i" τῷ τέλει mg. À 19 ἀριϑμοῦ A] c ἀριϑμὸν ΑἹ c
CONSONANTIARUM. 51
μὸν τῷ τῶν σνς΄ πρὸς σμγ΄, ἐξετάσας τοὺς λόγους διά τε τοῦ μήκους καὶ πάχους τῶν χορδῶν, ἔτι δὲ τῆς τάσεως γινομένης κατὰ τὴν στροφὴν τῶν κολλάβων ἢ γνωριμώτερον κατα τὴν ἐξάρτησιν τῶν βαρῶν, ἐπὶ δὲ τῶν ἐμπνευστῶν καὶ διὰ τῆς εὐρύτητος τῶν κοιλιῶν 5 ἢ διὰ τῆς ἐπιτάσεως καὶ ἀνέσεως τοῦ πνεύματος, ἢ δι ὄγκων καὶ σταϑμῶν οἷον δίσκων ἢ ἀγγείων. ὅ τι γὰρ ἂν ληφϑῇ τούτων κατά τινα τῶν εἰρημένων λόγων, τῶν ἄλλων (ἴσων ὄντων, τὴν κατὰ τὸν λόγον ἀπεργάσεται συμφωνίαν. 10 ἢ δ΄
διὰ πασῶν
διὰ πασῶν καὶ διὰ δ΄
δὶς διὰ πασῶν
ἀρκείτω δ᾽ ἡμῖν ἐν τῷ παρόντι διὰ τοῦ μήκους τῶν χορδῶν δηλῶσαι ἐπὶ τοῦ λεγομένου κανόνος. τῆς γὰρ ἐν τούτῳ μιᾶς χορδῆς καταμετρηϑείσης εἰς τέσσαρα ἴσα ὃ ἀπὸ τῆς ὅλης φϑόγγος τῷ μὲν ἀπὸ τῶν τριῶν 1 τῷ 2] τῶν ut vid. eras. A γὰρ post ἐξετάσας A? ut
vid. 6 κοιλιῶν: οἱ corr. ex o αὶ 9 (eov: cf. p. 69, 12. 60, 19. 65, 18. 19 excidit fort. τοῦτο
58 DE INVENTIONE
μερῶν ἐν λόγῳ γενόμενος ἐπιτρίτῳ συμφωνήσει διὰ τεσσάρων, τῷ δὲ ἀπὸ τῶν δύο, τουτέστι τῷ ἀπὸ τῆς
L] ew διὰ πασῶν καὶ
δὶς διὰ πασῶν
ἡμισείας, ἐν λόγῳ γενόμενος διπλασίῳ συμφωνήσει διὰ πασῶν, τῷ δὲ ἀπὸ τοῦ τετάρτου μέρους γενόμενος ἐν
5 λόγῳ τετραπλασίῳ συμφωνήσει δὶς διὰ πασῶν. ὁ δὲ ἀπὸ τῶν τριῶν μερῶν φϑόγγος πρὸς τὸν ἀπὸ τῶν δύο γενόμενος ἐν ἡμιολίῳ συμφωνήσει διὰ πέντε, πρὸς δὲ τὸν ἀπὸ τοῦ τετάρτου μέρους γενόμενος ἐν λόγῳ τρι- πλασίῳ συμφωνήσει διὰ πασῶν καὶ διὰ πέντε. ἐὰν δὲ
10 δίς ἐννέα διαμετρηϑῇ 5 χορδή, ὁ ἀπὸ τῆς ὕλης φϑόγγος προς τὸν ἀπὸ τῶν ὀκτὼ μερῶν ἐν λόγῳ ἐπογδόῳ τὸ τονιαῖον περιέξει. διάστημα.
- πάσας δὲ τὰς συμφωνίας περιέχει ἡ τετρακτύς.
συνέστησε μὲν γὰρ αὐτὴν α΄ καὶ f καὶ y καὶ δ΄. ἐν 15 0$ τούτοις τοῖς ἀριϑμοῖς ἔστιν 1j τὸ διὰ τεσσάρων συμ-
1 μερῶν Bull] μέτρων A 11 excidit fort. γενόμενος 18 οὗ Pp. 98, 19 14 συνέστησαν Bull 16 E διὰ ὃ ὡς ἔχει ὃ πρὸς τὰ γ᾽ ἡ διὰξ ὡς ὃ y πρὸς τὸν β' ἢ διὰ πασῶν ὡς B πρὸς à: διὰ πασῶν καὶ διὰ ξ ὡς y πρὸς &* δὶς δια πασῶν
ὡς ὃ πρὸς à' τὴν δὲ διὰ πασῶν καὶ διὰ ὃ οὐκ ἔστιν εὑρεῖν ἐν
| Q^
CONSONANTIARUM. 59
φωνία καὶ ἡ διὰ πέντε xal ἡ διὰ πασῶν, καὶ ὁ ἐπίτρι- τος λόγος καὶ ἡμιόλιος καὶ διπλάσιος καὶ τριπλάσιος καὶ τετραπλάσιος. -
ταύτας δὲ τὰς συμφωνίας oí μὲν ἀπὸ βαρῶν ἠξίουν λαμβάνειν, οἵ δὲ ἀπὸ μεγεθῶν, οὗ δὲ ἀπὸ κινήσεων 5 [xol ἀρυϑμῶν}], o( δὲ ἀπὸ ἀγγείων [καὶ μεγεϑῶν]. Λᾶσος δὲ ὃ Ἑ ρμιονεύς, ὥς φασι, καὶ οἵ περὶ τὸν Μετα- ποντῖνον Ἵππασον Πυϑαγορικὸν ἄνδρα συνέπεσϑαι τῶν κινήσεων τὰ τάχη καὶ τὰς βραδυτῆτας, Ov ὧν αἵ συμφωνίαι cce RR νι 3n 10 ἐν ἀριϑμοῖς ἡγούμενος λόγους τοιούτους ἐλάμβανεν ἐπ᾽ ἀγγείων. ἴσων γὰρ ὄντων καὶ ὁμοίων πάντων τῶν ἀγγείων τὸ μὲν κενὸν ἐάσας, τὸ δὲ ἥμισυ ὑγροῦ {πλη- ρώσας» ἐψόφει ἑκατέρῳ, καὶ αὐτῷ ἡ διὰ πασῶν ἀπεδί- δοτο συμφωνία" ϑάτερον δὲ πάλιν τῶν ἀγγείων κενὸν 15 ἐῶν εἰς θάτερον τῶν τεσσάρων μερῶν τὸ ἕν ἐνέχεε, καὶ χρούσαντι αὐτῷ ἡ διὰ τεσσάρων συμφωνία ἀπεδίδοτο, ἡ δὲ διὰ πέντε, (Ove) ἕν μέρος τῶν τριῶν συνεπλήρου, οὔσης τῆς κενώσεως πρὸς τὴν ἑτέραν ἐν μὲν τῇ διὰ πασῶν ὡς B πρὸς ἕν, ἐν δὲ τῷ διὰ πέντε ὡς y' πρὸς vo β΄, ἐν δὲ τῷ διὰ τεσσάρων ὡς δ΄ πρὸς y. οἷς ὁμοίως καὶ κατὰ τὰς διαλήψεις τῶν χορδῶν ϑεωρεῖται, ὡς προείρηται, ἀλλ᾽ οὐκ ἐπὶ μιᾶς χορδῆς» ὡς ἐπὶ τοῦ κα- νόνος, ἀλλ᾽ ἐπὶ δυεῖν" δύο γὰρ ποιήσας ὁμοτόνους ὅτε μὲν τὴν μίαν αὐτῶν διαλάβοι μέσην πιέσας, τὸ ἥμισυ ss
τῇ τετρακτύι᾽ ἔστι γὰρ ὡς ἥ πρὸς y mg. À 5 μηκῶν Bull. 1 λάσος A. cf. Schneidewin de Laso p. 16 οἶ περὲ τὸν
A*]of τῶν A' μετὰ ποντῖνον Δ, em. apogr. 8 Ἵππασον:
cf. Zeller I p. 4 11 γὰρ post ἐλάμβανεν A* — 14 ἐν ante
ἑκατέρῳ add. A* 19 κιφήσεως A 2428 προεέρηται: p. 57, 11 24 δυεῖν] om. A!, δύο A?
*
60 DE INVENTIONE
πρὸς τὴν ἑτέραν συμφωνίαν τὴν διὰ πασῶν ἐποίει" ὅτε ὃὲ τὸ τρίτον μέρος ἀπολαμβάνοι, τὰ λοιπὰ μέρη πρὸς τὴν ἑτέραν τὴν διὰ πέντε συμφωνίαν ἐποίει" ὁμοίως δὲ καὶ ἐπὶ τῆς διὰ τεσσάρων᾽ καὶ γὰρ ἐπὶ ταύτης 5 μιᾶς τῶν χορδῶν ἀπολαβὼν τὸ τέταρτον μέρος τὰ λοιπὰ μέρη πρὸς τὴν ἑτέραν συνῆπτεν. ὃ δὴ καὶ ἐπὶ τῆς σύριγγος ἐποίει κατὰ τὸν αὐτὸν λόγον. οἱ δ᾽ ἀπὸ τῶν βαρῶν τὰς συμφωνίας ἐλάμβανον, ἀπὸ δυεῖν χορδῶν ἐξαρτῶντες βάρη κατὰ τοὺς εἰρημένους λόγους, οἵ δ᾽ 10 ἀπὸ τῶν μηκῶν, καὶ τῶν χορδῶν ......... ἐπίεσαν, τὰς συμφωνίας ἐν ταῖς χορδαῖς ἀποφαινύμενοι. φϑύόγγον δὲ εἶναι φωνῆς πτῶσιν ἐπὶ μέαν τάσιν. ὅμοιον γάρ φασιν αὐτὸν αὑτῷ δεῖν εἶναι τὸν φϑόγγον καὶ 16 ἐλάχιστον κατὰ διαφοράν, οὐκ ἐκ διαφόρων τάσεων οἷον βαρύτητος καὶ ὀξύτητος. τῶν δὲ φωνῶν αἵ μὲν ὀξεῖαι, αἱ δὲ βαρεῖαι, διὸ καὶ τῶν φϑόγγων, (Ov) ὁ μὲν ὀξὺς ταχύς ἐστιν, ὁ δὲ βαρὺς βραδύς. εἰ γοῦν εἰς δύο ἐσοπαχεῖς καὶ ἰσοκοίλους (αὐλοὺς τετρημένους εἰς 0 σύριγγος τρόπον, ὧν τοῦ ἑτέρου διπλάσιόν ἐστι τὸ μῆκος τοῦ ἑτέρου, ἐμφυσήσαι τις, ἀνακλᾶται τὸ πνεῦμα τὸ ἐκ τοῦ ἡμίσεος μήκους διπλασίῳ τάχει χρώμενον, καὶ (γένεται συμφωνία ἡ διὰ πασῶν βαρέος μὲν φϑόγγου τοῦ διὰ τοῦ μείζονος, ὀξέος δὲ τοῦ διὰ τοῦ 4 τῆς] τοῦ Α 9 οἵ δ᾽ ἀπὸ τῶν μηκῶν --- ἀποφαινόμενοι fort. del. 10 post χορδῶν excidisse videntur verba διάφορα μέρη ἀπολαβόντες vel similia ἐπήεσαν A, em. Bull. cf. 25 11 4 post τὰς erasum À τοῖς χορδοῖς A! 18 Dascr. τί ἐστι φϑόγγος À φϑόγγον κτλ.: Aristox. p. 20, 22. cf. Marquard p. 226 18 εἴγουν A, εἰγοὖν A? Ἢ (αὐλοὺς):
cf. p. 61, 2 sqq. 20 ὧν A?] ὃν A! — 21 ἐμφυσῆσαι τίς A!, ἐμφυσήσαί τις À* — 22 ἥμισυ A! 94 ὄντος addendum vid.
CONSONANTIARUM, 61
ἐλάττονος. αἴτιον δὲ τάχος τε καὶ βραδυτὴς τῆς φορᾶς. καὶ κατὰ τὰ ἀποστήματα δὲ τῶν ἐν τοῖς αὐλοῖς τρη- μάτων τὰς συμφωνίας ἀπεδίδοσαν καὶ ἐπὶ ἑνός. Oy, uiv γὰρ διῃρημένου καὶ τοῦ αὐλοῦ ὅλου ἐμῳφυσηϑέντος ἐκ τοῦ κατὰ τὸ ἥμισυ τρήματος τὸ διὰ πασῶν σύμφωνον 5 ἀποτελεῖται. τριχῆ δὲ διαιρεϑέντος καὶ τῶν μὲν δυεῖν μερῶν ὄντων πρὸς τῇ γλωσσίδι. κάτω δὲ τοῦ ἑνός, καὶ τοῦ ὕλου συμφυσηϑέντος τοῖς δυσί, τὴν διὰ πέντε γε- νέσϑαι συμφωνίαν. τεσσάρων δὲ διαιρέσεων γενο- μένων, τριῶν μὲν ἄνω, κάτω δὲ μιᾶς, καὶ τῷ ὅλῳ συμ- 10 φυσηϑέντων τῶν τριῶν γίνεται ἡ διὰ τεσσάρων. οἷ δὲ περὶ Εὔδοξον καὶ 4Qyvvav τὸν λόγον τῶν συμφωνιῶν ἐν ἀριϑμοῖς ᾧοντο εἶναι, ὁμολογοῦντες καὶ αὐτοὶ ἐν κινήσεσιν εἶναι τοὺς λόγους καὶ τὴν μὲν ταχεῖαν κίνη- σιν ὀξεῖαν εἶναι ἅτε πλήττουσαν συνεχὲς καὶ ὠκύτερον 15 κεντοῦσαν τὸν ἀέρα, τὴν δὲ βραδεῖαν βαρεῖαν avs νω- ϑεστέραν οὖσαν.
ταυτὶ μὲν περὶ τῆς εὑρέσεως τῶν συμφωνιῶν᾽ ἐπαν- ἕλϑωμεν δὲ ἐπὶ τὰ ὑπὸ τοῦ ᾿ἀδράστου παραδεδομένα. φησὶ γὰρ ὅτι τούτοις τοῖς εἰς τὴν ἀνεύρεσιν τῶν συμ- 30 φωνιῶν ὀργάνοις κατὰ μὲν τοὺς λόγους προπαραδκευα- σϑεῖσιν ἡ αἴσϑησις ἐπιμαρτυρεῖ, τῇ δὲ αἰσϑήσει προόσ- ληφϑείσῃ ὁ λόγος ἐφαρμόξει. πῶς δὲ καὶ οἵ τὸ λεγό- μενον ἡμιτόνιον περιέχοντες φϑόγγοι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ἐν λόγῳ τῷ τῶν Gvg πρὸς Guy , μικρὸν ὕστερον 535
9 συμφωνίαν] scr. aub συμβαένει aut συμφωνίαν «συμβαίνει»
12 Εὐδοξον: cf. Ideler, Abh. d. Berl. Ak. a. d. J. 1828 p. 200 ᾿ἀδρχύταν: cf. Mullach fragm. philos. Gr. I p. 564 b. II p. 118 fr. 6 τὸν λόγον và» A*| τῶν λεγόντων À! 18 αὐτοὶ: τ᾿ cOrr. ex o À 1 πλήττουσαν: 5 corr. ex δ À 16 βαρεῖαν βραδεῖαν αὶ 18 εὑρήσεως A! 26 ὕστερον: p. 67,16
62 DE RATIONIBUS
ἔσται φανερόν. δῆλον δὲ ὅτι xal αἵ συνϑέσεις καὶ αἵ διαιρέσεις τῶν συμφωνιῶν ὁμόλογοι καὶ συνῳδοὶ ϑεω- ροῦνται ταῖς τῶν κατὰ ταύτας λόγων συνϑέσεσί τε καὶ διαιρέσεσιν ἃς πρόσϑεν ἐμηνύσαμεν. οἷον ἐπεὶ τὸ διὰ δ πασῶν ἔκ vs τοῦ διὰ πέντε καὶ διὰ τεσσάρων συν- τίϑεται καὶ εἰς ταῦτα διαιρεῖται, λόγος δὲ τοῦ μὲν διὰ πασῶν διπλάσιος, τοῦ δὲ διὰ τεσσάρων ἐπίτριτος, τοῦ ὃδ διὰ πέντε ἡμιόλιος, φαένεται [ὅτι] καὶ ὁ διπλάσιος λόγος συντίϑεσθϑαί τε ἐκ τοῦ ἐπιτρίτου τε καὶ ἡμιολίου 10 καὶ εἰς τούτους διαιρεῖσθαι" τῶν μὲν γὰρ ς΄ τὰ η΄ ént- τριτα, τῶν δὲ η΄ τὰ (B ἡμιόλια" καὶ γένεται τὰ ιβ΄ τῶν ς΄ διπλάσια c η΄ ιβ΄. πάλιν δὲ ὁ τῶν ιβ΄ πρὸς τὸν ς΄ λόγος διπλάσιος διαιρεῖται εἴς vs τὸν ἐπίτριτον λόγον τῶν ιβ΄ πρὸς τὰ 9' καὶ εἰς τὸν ἡμιόλιον τῶν 9' πρὸς 15 τὰ ς΄. ἐπεὶ δὲ καὶ τὸ διὰ πέντε τοῦ διὰ τεσσάρων ὑπερέχει τόνῳ, τὸ μὲν γὰρ διὰ πέντε τριῶν τόνων ἐστὶ καὶ ἡμιτονίου, ὁ δὲ τόνος ἐν ἐπογδόῳ λόγῳ, φαίνεται καὶ τὸ ἡμιόλιον τοῦ ἐπιτρίτου ὑπερέχειν [ἐν] ἐπογδόφ᾽ ἀπὸ γὰρ ἡμιολίου λόγου οἷον τοῦ τῶν 9' πρὸς τὰ ς΄ 90) ἀφαιρεϑέντος τοῦ (ἐπιτρίτουν λόγου τῶν η΄ πρὸς τὰ ς΄ λείπεται λόγος ἐπόγδοος ὁ τῶν 9' πρὸς τὰ «9^ καὶ πάλιν τούτῳ τῷ λόγῳ προστεϑέντος ἐπιτρίτου λόγου τοῦ τῶν
1 περὶ τῶν ἐν λόγοις συμφονιῶν συνϑέσεών τε καὶ διαιρέ- cto» mg. À 8 συνϑέσεσί ve καὶ διαιρέσεσιν corr. ex σύν- ϑεσίς τε καὶ διαίρεσις A. 4 ἐπεὶ A?] ἐπὶ A! 14 τῶν — τῶν] τὸν — τὸν A 16 τὸ μὲν — ἡμιτονίου del. vid., nisi ex- ceciderunt verba τὸ δὲ διὰ τεσσάρων δυεῖν τόνων καὶ ἡμετονίου
18 ἡμιόλιον Bull] ἡμιτόνιον Α ἐὰν μειωϑείη ὁ τῶν 8 πρὸς τὰ ς λόγος τῷ λόγῳ τῶν ἢ πρὸς τὰ S' ἔστι δὲ τὸ τρίτον τῶν ξ, τουτέστι τὰ β' μειοῦται οὖν αὐξομένου τοῦ ἐλάττονος ὅρου τῇ δυάδι, καὶ γενήσεται λόγος ἐπόγδοος τῶν 9 πρὸς τὰ
5j το. A .99 τούτῳ] οὕτω Α
CONSONANTIARUM. 63
ιβ΄ προς τὰ 9' συμπληροῦται, λόγος ἡμιόλιος τῶν ιβ΄ πρὸς τὰ η΄. καὶ μὴν ἐπεὶ τὸ μὲν διὰ πασῶν ἐν διπλασίῳ λόγῳ, τὸ δὲ διὰ τεσσάρων ἐν ἐπιτρίτῳ, τὸ ἐξ ἀμφοῖν ἐν λόγῳ τῶν η΄ πρὸς τὰ y" τῶν μὲν γὰρ y ἐπίτριτα τὰ δ΄. τούτων δὲ διπλάσια τὰ η΄. τὸ δὲ διὰ πασῶν καὶ 5 διὰ πέντε ἐν λόγῳ τριπλασίονι᾽ ὁ γὰρ ἡμιόλιος καὶ διπλάσιος συντιϑέμδνοι τοῦτον ποιοῦσιν" ἡμιόλιος μὲν γὰρ ὁ τῶν ϑ' πρὸς τὰ ς΄, διπλάσιος δὲ ὁ τῶν ιη΄ πρὸς τὰ 9'' καὶ γίνεται τριπλάσιος ὁ λόγος τῶν uj πρὸς τὰ ς΄. ὁμοίως δὲ τὸ δὶς διὰ πασῶν ἐν λόγῳ τετραπλασίῷ᾽ 10 οὗτος γὰρ σύγκειται ἐκ δύο διπλασίων τῶν μὲν γὰρ ς΄ διπλάσια τὰ ιβ΄, τούτων δὲ τὰ xÓ' , ταῦτα δὲ [τὰ] τετραπλάσια τῶν ς΄. ἢ μᾶλλον, ὡς κατ᾽ ἀρχὰς ἐδείξαμεν, ἐπισυντεϑεὶς ὁ τριπλάσιος ἐπιτρίτῳ ποιεῖ τετραπλάσιον᾽ ἔστι δὲ τοῦ μὲν διὰ πασῶν καὶ διὰ πέντε τριπλάσιος O 15 λόγος, τοῦ δὲ διὰ τεσσάρων ἐπίτριτος᾽ ἐξ ἀμφοῖν δὲ τούτοιν τὸ δίς ἐστι διὰ πασῶν εἰκότως οὖν τοῦτο ἐν λόγῳ φαίνεται τετραπλασίφ᾽ τῶν μὲν γὰρ ς΄ τριπλάσια τὰ Qj, τούτων δὲ ἐπίτριτα τὰ xÓ , ἅτινά ἐστι τετρα- πλάσια τῶν ς΄. καὶ πάλιν τῶν μὲν ς΄ ἐπέτριτα τὰ η΄, 30 τούτων δὲ τριπλάσια τὰ xÓ , ἅ ἐστι τετραπλάσια τῶν ς΄. καὶ τὰ ἐκ τούτων δὲ συντιθέμενα ἐν τούτοις svQe- ϑήσεται τοῖς λόγοις, ἐφ᾽’ ὅσον ἂν προαγάγωμεν τὰ συστήματα. | .
o δὲ Πλάτων καὶ γένος διάτονον καὶ συστήματος 50 μέγεϑος ἐπὶ τὸ τετράκις διὰ πασῶν καὶ διὰ πέντε καὶ
1 ὅ ἐστι τὰ γ, οἷς ὑπερέχει ὁ iB τοῦ ϑ' εἰ προστεϑείη (προστεϑὴ A!) τοῖς 8, γένεται iB, ὅπερ ἐστὶν ἡμιόλιος mg. Α
11 οὗτος corr. ex οὕτως À 25 Πλάτων: Tm. p. 35 sq.
cf. Procl. in Tim. p. 192 A 26 ἐπὶ] εἶναι αὶ τετράκι A, em. apogr.
64 DE NUMERIS ANIMI MUNDANI AP. PLAT. «β΄ " Gg η΄ ó' y ἡ διὰ δ΄
ἐπίτριτος
διὰ πασῶν
διὰ πασῶν καὶ διὰ Ó
διπλάσιος διπλάσιος καὶ δισεπίτριτος
. uU 9' SG xà"
διὰ πασῶν διὰ πασῶν διὰ πασῶν
διὰ πασῶν καὶ διὰ ε΄ δὶς διὰ πασῶν
τριπλάσιος
τετραπλάσιος
τόνον προαγήοχεν. εἰ δὲ λέγοι τις, φησὶν ὁ "δδραστος,
ὡς οὐ δέον ἐπὶ τοσοῦτον ἐκτεῖναι. ᾿Δριστόξενος μὲν γὰρ
ἐπὶ τὸ δὶς διὰ πασῶν καὶ διὰ τεσσάρων τὸ τοῦ καϑ᾽ αὑτὸν πολυτρόπου διαγράμματος πεποίηται μέγεϑος, οἵ
6 δὲ νεώτεροι τὸ πεντεκαιδεκάχορδον τρόπον μέγιστον ἐπὶ τὲ τρὶς διὰ πασῶν καὶ τόνον διεστηκός, ῥητέον, φησίν. ὡς ἐκεῖνοι μὲν πρὸς τὴν ἡμετέραν χρῆσιν ὁρῶν-
τες οὕτως ἐποίουν, ἡγούμενοι μὴ πλεῖόν τι τούτων
. δύνασϑαι μήτε τοὺς ἀγωνιξομένους φϑέγγεσϑαι μήτε
primam fig. levibus differentiis bis repet. À? vel recentior manus 1 cf. Marquard p. 223. 263. Boeckh kl. Schr. III p. 158 sqq. de metris Pind. p. 213 2 ἐκτείνας αὖ vid. A! 0000Yv & πεποίηται: Ἢ COYr. eX ει À b τὸ € καὶ t dQUmOY μέγιστον Α 6 ἐπὶ τὸ δὶς διὰ πασῶν διεστηκός Bull. sed cf. Procl. p. 199 B 88Ε ἐποίουν: ovv ex corr. À
CUR MAIOR NUM. GRAVIORI SONO ATTRIBUATUR. 605
τοὺς ἀκούοντας εὐγνώστως κρίνειν, Πλάτων δὲ πρὸς τὴν φύσιν ὁρῶν, ἐπειδὴ τὴν ψυχὴν ἀνάγκη συνιστα- μένην καϑ᾿ ἁρμονίαν μέχρι τῶν στερεῶν προάγειν ἀριϑμῶν καὶ δυσὶ συναρμόξεσϑαι μεσότησιν, ὅπως διὰ παντὸς ἐλθοῖσα τοῦ τελείου στερεοῦ κοσμικοῦ σώμα- 5 τος πάντων ἀντιληπτικὴ γενήσεται τῶν ὄντων, καὶ τὴν ἁρμονίαν αὐτῆς͵ μέχρι τούτου προαγήοχε, τρόπον τινὰ καὶ κατὰ τὴν αὑτῆς φύσιν ἐπ᾽ ἄπειρον δυναμένην προϊέναι.
φησὶ δ᾽ ὅτι καὶ τοὺς μείξονας ἀριϑμοὺς τοῖς βαρυτέ- τὸ ροις φϑόγγοις οἰκεῖον ἀποδιδόναι, κἂν ἐπ᾽ ἐνίων δόξῃ τάσεων διαφωνεῖν, οἷον ἐπὶ τῆς τάσεως τῆς γινομένης διὰ τῆς ἐξαρτήσεως τῶν βαρῶν. δύο γὰρ ἴσων τό τε μῆκος καὶ πάχος χορδῶν καὶ τἄλλα ὁμοίων τὸ πλεῖον βάρος διὰ τὴν πλείω τάσιν τὸν ὀξύτερον ποιήσει 15 φϑόγγον. ἐπεὶ γὰρ τὸ πλεῖον βάρος πλείω τάσιν ποιεῖ, πλείονα τὴν ἔξωϑεν προσδίδωσι δύναμιν τῷ κατ᾽ αὐτὸν ὀξυτέρῳ φϑόγγῳ,, ἐλάττονα διὰ τοῦτ᾽ ἔχοντι τὴν ἰδίαν ἰσχὺν τοῦ ἐξαρτήματος. δῆλον ὡς ἀντεστραμμένως ὁ βαρύτερος, τὴν οἰκείαν αὑτοῦ δύναμιν πλείω κεκτημένος 30 τοῦ ἐξαρτήματος, ἐπαρκεῖ πρὸς τὸ σώξειν τὴν οἰκείαν ἁρμονίαν τὲ καὶ συμφωνίαν. ὥστε τὸν usto ἀριϑμὸν τῇ πλείονι νεμητέον δυνάμει. ὁμολογεῖ δὲ τούτοις καὶ τὰ ἄλλα. πάλιν γὰρ τὰ μήκη καὶ τὰ πάχη δυσκινησίαν
4 cf. Tim. p. 32 B. Westphal p. 66 ὅ παντὸς] πάντων À: οὗ Tim. p. 34 B. 86 ἢ * προαγείοχε À! 9 προϊέναι ex προσιέναι A 18 (iml) δύοῦ 14 πλείω A! [16 πλεῖον
A?] πλείω A! 17 προσδίδωσι cOrr. ex προδίδωσι À xat αὐτὸν del. vid. (fort. ad ἐδέαν adscriptum fuit) 18 δὲ post ἐλάττονα add. A? ἔχοντι: ἔ corr. ex ἔλ. À 19 (καὶ
δῆλον) ἀντεστραμμένος À! Theo Smyrn. 5
66 CUR MAIOR NUM. GRAVIORI SONO ATTRIBUATUR.
προσάπτοντα ταῖς χορδαῖς ἀσθένειαν παρασκευάξει, ὡς μὴ ῥαδίως κινεῖσϑαι μηδὲ ϑᾶττον πλήττειν τε καὶ εἰδο- ποιεῖν πλείονα ὄντα τὸν πέφιξ ἀέρα. δῆλον οὖν [ὅτι] ὡς οἵ βαρύτεροι φϑόγγοι τὴν αὑτῶν οἰκείαν δύναμιν 5 κατὰ τὸν πλείω κέχτηνται ἀριϑμόν. ὅμοια δὲ ἔστιν εὑρεῖν καὶ ἐπὶ τῶν ἐμπνευστῶν ὀργάνων. καὶ γὰρ τῶν ἐν τούτοις φϑόγγων οἵ βαρύτεροι, διὰ τὸ μῆκος καὶ τὴν εὐρύτητα τῶν τρημάτων πλέον εἰδοποιοῦντες τὸν ἀέρα ἢ νὴ Δία τὴν ἄνεσιν τοῦ πνεύματος ὡς ἐπὶ σάλπιγγος 10 1] τῆς ἀρτηρίας, ἀτονώτεροι καὶ ἀσϑενέστεροι γινόμενοι τὴν αὑτῶν οἰκείαν δύναμιν ἔχουσι φύσει πλείονα. κυριωτάτη δὲ πασῶν, φησίν, ἡ διὰ τεσσάρων συμ- φωνίέα᾽ ἐκ γὰρ ταύτης καὶ αἷ λοιπαὶ εὑρίσκονται. ἡ δὲ διὰ πέντε τόνῳ τοῦ διὰ τεσσάρων διδνήνοχεν. ἀμέλει ιὸ τὸν τόνον οὕτως ὁρίζονται" τὸ ἀπὸ τοῦ διὰ πέντε ἐπὶ τὸ διὰ τεσσάρων διάστημα. εὑρίσκεται δὲ ἐκ τοῦ διὰ τεσσάρων καὶ διὰ πέντε τὸ διὰ πασῶν" σύγκειται γὰρ ἐκ τοῦ διὰ τεσσάρων καὶ διὰ πέντε. οὗ δὲ παλαιοὶ πρῶτον διάστημα τῆς φωνῆς ἔλαβον 30 τὸν τόνον, ἡμιτόνιον δὲ καὶ δίεσιν οὐχ ἡγοῦντο. ὁ δὲ τόνος εὑρίσκετο ἐν ἐπογδόῳ λόγῳ ἔν τε δίσκων κατα- σχευαῖς καὶ ἀγγείων καὶ χορδῶν καὶ αὐλῶν καὶ ἐξαρ- τήσεων καὶ ἄλλων πλειόνων τὰ γὰρ η΄ πρὸς τὰ ϑ8' ἐποίεε τονιαίου ἀκούειν διαστήματος. διὰ τοῦτο δὲ
1 ἀσϑένιαν ΑἹ 8 cf. δῆλον ὡς p. 65, ὅ κέκτην- ται Bull] κέκτηται Α΄ 6 τῶν ἐν A] τὸν Ἢ yt 4 990y- yov À! 8 τρημάτων corr. ex τρημμάτων À 9 ἢ νὴ δία apogr.] ἣν ἢ διὰ A!, ἢ νὴ διὰ A*, cf. ad p. 78, 1Ὁ 10 ἀτο- νώτερος καὶ ἀσϑενέστερος γινόμενος τὴν αὐτοῦ δύναμιν οἰκείαν (cf. p. 65, 20. 66, 4) ἔχει κτᾶ. Α 14 γὰρ post τόνῳ eras. ἃ
inscr. τέ ἔστι τόνος À ἀμελὲς ΑἹ
DE LIMMATE. 61
πρῶτον διάστημα ὁ τόνος, ὅτι μέχρι τούτου καταβαί- νουδσα ἡ φωνὴ τοῦ διαστήματος ἀπλανὴ τὴν ἀκοὴν φυ- λάσσει. τὸ δὲ μετὰ τοῦτο οὐκέτι οἵα τε ἡ ἀκοὴ πρὸς ἀχρίβειαν λαβεῖν τὸ διάστημα. ἀμέλει περὶ τοῦ ἐφεξῆς διαστήματος καλουμένου ἡμιτονίου διαφέρονται, τῶν s μὲν τέλειον ἡμιτόνιον αὐτὸ λεγόντων, τῶν ὃὲ λεῖμμα. συμπληροῦται δὲ τὸ διὰ τεσσάρων, O ἐστιν ἐπίτριτον, τῷ τόνῳ, τουτέστι τῷ ἐπογδόῳ διαστήματι, οὕτω. συμ- φωνεῖται γὰρ παρὰ πᾶσι τὸ διὰ τεσσάρων μεῖξον μὲν εἶναι διτόνου, ἔλαττον δὲ τριτόνου. ἀλλ᾽ ᾿Δφιστόξενος 10 μέν φησιν ἐκ δύο ἡμίσους τόνων αὐτὸ συγκεῖσϑαι τελείων, Πλάτων δὲ ἐκ δύο τόνων καὶ τοῦ καλουμένου λείμματος. τὸ δὲ λεῖμμα τοῦτό φησιν ἀκατονόμαστον εἶναι, ἐν λόγῳ δὲ εἶναι ἀριϑμοῦ πρὸς ἀριϑμὸν ὃν ἔχει τὰ σνς΄ πρὸς Guy. τὸ δὲ διάστημα τοῦτό ἐστι, καὶ ἡ i5 ὑπεροχὴ ιγ΄. εὑρεθήσεται δὲ οὕτως. τὰ μὲν ς΄ οὐκ ἂν εἴη πρῶτος ὅρος, ἐπειδὴ οὐκ ἔχει ὄγδοον, ἵνα ὑπ᾽ αὐτοῦ γένηται ἐπόγδοος. οὐδὲ μὴν C q^ καὶ γὰρ εἰ ἔχει ἐπόγ- δοον τὸν 9', πάλιν ὁ ϑ' οὐκ ἔχει ἐπόγδοον. δεῖ δὲ ἐπογδόου ἐπόγδοον λαβεῖν, ἐπειδὴ τὸ διὰ τεσσάρων s ἐπίτριτον μεῖξόν ἐστι διτόνου. λαμβάνομεν οὖν τὸν πυϑμένα τὸν ἐπόγδοον τὸν η΄ καὶ 9', καὶ τὰ q ἐφ᾽
5 διάφοροι δόξαι περὶ τῆς διὰ ὃ πόσων ἐστὶ τόνων mg. A 8 cf. Aristox. Harm. p. 82, 32 10 "Moiorobsvoc: p. 84, 2 11 καὶ post δύο add. Α", ἐκ δύο καὶ δύο ἡμίσεων τόνων perverse cj. Bull. 12 Πλάτων] τοῦτον À: cf. p. 68, 11. Plat. Tim. p. 36 B. Plut. de an. procr. p. 1017 F. 1022 E. Maerob. in Somm. Scip. II 1, 23. Procl p. 196 D 13 τί ἔστι λεῖμμα mg. À 16 πῶς εὑρίσκεται τὸ λείμμα mg. À 18 οὕτως γὰρ ἐν τῇ διὰ ὃ ἔχει. ὁ γὰρ δεύτερος φϑόγγος ἐπόγ- .Soóg ἐστι τοῦ &* καὶ ὁ τρίτος πάλιν τοῦ B ἐπόγδοος mg. A 2 τὸν " 7 ὁ ἢ Α΄. an ser. (0g ἐστιν ὃ η καὶ 97? ὁ ante t« del.
ΒῈ
68 DE LIMMATE.
ἑαυτά, εὑρίσκομεν ξδ΄, εἶτα τὰ η΄ ἐπὶ τὰ 0 , καὶ γίνεται οβ΄, εἶτα τὰ 8' ἐφ᾽ ἑαυτά, καὶ γένεται zo η΄ 9' ξδ΄ ofi πα΄" εἶτα πάλιν τούτων ἕκαστον ληφϑήτω τρίς, καὶ ἔσται τὰ μὲν ξδ΄ τρὶς ph, τὰ δὲ of τρὶς σις΄., τὰ δὲ ' 5z« τρὶς σμγ᾽᾽ η΄ 9 ξδ΄ of πα΄. ρὮβ᾽ cw suy" εἶτα προστίϑεμεν τοῖς σμγ΄ ἀπὸ τῶν of ἐπίτριτον τὸν σνς΄ ὥστε εἶναι τὴν ἔχϑεσιν τοιαύτην ἐπίγδοος πυϑ- μὴν 9' η΄, δεύτεροι ἐπόγδοοι ξδ΄ off πα΄. τρίτοι ἐπόγ- δοοι ἀλλήλων δύο Qaf' cis! σμγ΄, κείσϑω καὶ ὁ τοῦ 10 018. ἐπίτριτος ὁ σνς΄, ἔσται τοῦτο τὸ ἐπίτριτον συμ- πεπληρωμένον ὑπὸ δύο τόνων καὶ τοῦ εἰρημένου Astu- ματος. ἔνιοι δὲ πρῶτον ὅρον λαμβάνουσι. τὸν vmÓ.
ef σις΄ euy σνς᾽
ἐπόγδοος ἐπόγδοος
ἐπίτριτος διὰ δ'
ἵνα γὰρ δύο λάβωσιν ἐπογδόους,. τὸν πρῶτον ὅρον τὸν ς΄ ὀχταπλασιάσαντες ποιοῦσι μη, καὶ ταῦτα πάλιν
6 τουτέστι μετὰ τὸν Guy' ἄλλον δὲ προστίϑεμεν τὸν σνΕ Og ἔστι τοῦ Qf ἐπίτριτος mg. A 8 δύο ἐφεξῆς ἐπογδόων ὄντων τοῦ ἐδ of πᾶ, ἐπεὶ μὴ ἔχει ἐπίτριτον ὁ ξδ ὃν ἔδει μετὰ πα τεϑῆναι ὥστε γενέσθαι τὸν διὰ ὃ, εἰκότως τούτοις (scr. τού- vovg) | pi» ὑπερέβημεν, τοῖς (scr. 09$) δὲ ἑξῆς παρειλήφαμεν τὸν e*f, σις σμγ᾽ ἔστι γὰρ τοῦ oh ἐπίτριτος ὁ σεξ, ὁ δὲ £o τρίτον οὐκ ἔχει mg. A 19 ef. Procl. P. 194 D τὸν] τῶν
18 πρῶτον] ἕνα À
DE LIMMATE. 69 ὀκτάκις vxÓ' , oU ἐπίτριτος ὁ quf, μεταξὺ δὲ τούτων δύο ἐπόγδοα, τοῦ μὲν τπδ΄ υλβ΄, τούτου δὲ υπς΄, ἀφ᾽ * M ,) t , , Qv ἐπὶ τὰ gif. ὁ λειμματιαῖος γίνεται λόγος. τινὲς δέ
τπδ' — vip vus oif τόνος
τῦνος
» p
ἐπόγδοος ἐπόγδοος
ὀπέτριτος διὰ à'
φασι μὴ ὀρϑῶς εἰλῆφϑαι τούτους τοὺς ἀριϑμούς" τὴν yag ὑπεροχὴν τοῦ τετάρτου Ogov πρὸς τὸν tQírov μὴ 5 γένεσϑαε ιγ΄, ὅσα Πλάτων εἴρηκε δεῖν ἔχειν τὸ λεῖμμα. οὐδὲν δὲ κωλύει καὶ ἐφ᾽ ἑτέρων ἀριϑμῶν τὸν αὐτὸν εὑρί- ὄκειν λόγον ὡς ἔχει τὰ σνς΄ πρὸς τὰ σμγ΄. οὐ γὰρ ἀριϑ- μὸν ὡρισμένον ἔλαβεν ὁ Πλάτων, ἀλλὰ λόγον ἀριϑμοῦ. ὃν δὲ ἔχει λόγον τὰ σνς΄ πρὸς σμγ΄, τοῦτον καὶ τὰ qu 10 πρὸς τὰ vxg^ τὰ γὰρ φιβ' .τῶν σνς διπλάσια καὶ τὰ υπε΄ τῶν σμγ΄. ὅτι δὲ τοῦτο τὸ διάστημα τὸ τῶν GVg πρὸς σμγ΄, τουτέστι và ιγ΄, ἔλαττόν ἐστιν ἡμιτονίου, δῆλον. τοῦ γὰρ τόνου ἐπογδόου ὄντος τὸ ἡμιτόνιον δὶς ἐπόγδοον ἔσται, τουτέστιν ἐφεκκαιδέκατον. τὰ δὲ 15 uy τῶν Guy ἐστιν ἐν λόγῳ πλείονι ὀκτωκαιδεκάτου, ὅ ἐστι μέρος ἔλαττον ἑκκαιδεκάτου. οὐδὲ γὰρ οἷόν τε τὸ ἐπόγδοον διαίρεσιν ἐπιδέξασθαι, εἰ καὶ οἵ μὴ λόγῳ
1 οὗ] οὗς À!, ὧν ΑΞΟ 16 ὄκτω post πλείονε del. εὖ ἢ ΒΌΡΓΆ vs. &dd., tum ἐποκτοκαιδεκάτω, zx corr. ex o, supra zo ras. ἃ, ὀκτωκαιδεκάτῳ Bull.
10 DE DIVISIONE
ἀλλὰ τῇ ἀκοῇ ταῦτα κρίνοντες vouítovGw. ἀμέλει τοῦ ἐπογδόου πυϑμένος τὸ διάστημα τουτέστι τῶν 9' πρὸς τὰ η΄ ἡ μονὰς οὐ τέμνεται. τὸ δὲ λεγόμενον λεῖμμα εἴ τις ἐρωτῴη τίνος ἐστὶ λεῖμμα, δεῖ εἰδέναι ὅτι ἐστὶ τοῦ 5 διὰ τεσσάρων᾽ τῷ γὰρ διὰ τεσσάρων λείπει πρὸς τὸ γενέσϑαι δύο ἥμισυ τόνων τελείων. εὐρέϑη δὲ ὁ τόνος οὕτως. ἐπειδὴ τὸ διὰ τεσσάρων ἐν ἐπιτρίτῳ λόγῳ ἐφάνη 0v, τὸ δὲ διὰ πέντε ἐν ἡμιο- λίῳ, ἐλήφϑη ἀριϑμὸς ὁ πρῶτος ἔχων ἥμισυ καὶ τρίτον" 10 ἔστι δὲ οὗτος ὁ ς΄. τούτου ἐπίτριτος μέν ἐστιν ὁ η΄, ἡμιόλιος δὲ ὁ ϑ'. ς΄ η΄ 8΄. τὸ δὴ διάστημα τὸ ἀπὸ τοῦ ἡμιολίου ἐπὶ τὸ ἐπέτριτον εὑρέϑη ἐν λόγῳ μὲν ἐπογδόφ᾽ τὰ γὰρ 9' τῶν η΄ ἐπόγδοα᾽ ἡ δὲ τάσις ἐλέχϑη τόνος. ὅτι δὲ ὁ τόνος δίχα οὐ διαιρεῖται δῆλον οὕτω. πρῶτον 16 μὲν ὁ ἐπόγδοος πυϑμὴν τὸ διάστημα ἔχει μονάδα, ἥτις ἀδιαίρετος. εἶτα ἐν μὲν ἀριϑμῷ οὐκ ἀεὶ εἰς ἴσα τέμνε- ται τὸ ἐπόγδοον διάστημα. καὶ γὰρ ἐπὶ τῶν σις΄ πρὸς Ouy ἡ ὑπεροχὴ xf οὐ τέμνεται εἰς ἴσα, ἀλλὰ εἰς ιγ΄ καὶ εἰς ιδ΄" μονὰς γὰρ οὐ διαιρεῖται. ἐπεὶ δὲ ὁ
e -
1 τοῦ ἐπογδόου πυϑμένος τῶν 9' πρὸς τὰ η τὸ διάστημα τουτέστιν ἡ μονὰς 3 inscr. z/ ἐστι λεῖμμα À 4 ἐρω- τῴη corr. ex ἐρωτῶ ἡ À .6 δύο καὶ ἥμισυ Bull. cf. Strab. VIII p. 379 τριῶν ἥμισυ σταδίων. Didymus apud Prisc. de fig. num. 17 τοὺς τέσσαρας ἥμισυ πήχεις. Plut. Oat. min. 44 δεκα- δύο ἥμισυ μυριάδας 7 πῶς ηὐρέϑη (κυρεϑὴ ΑἾ) ὁ τόνος ἐν ἐπογδόῳ λόγῳ mg. A [10 οὗτος corr. ex οὕτως À 14 inscr. ὅτι ὁ τόνος δίχα οὐ τέμνεται αὶ οὕτω eras. Δ 1 ὅτι post μὲν À* 16 καλῶς δὲ οὐκ c(t) ποτὲ γὰρ (γὰρ A?, μὲν A!) τέμνεζται") ὁ γοῦν of τοῦ ξὸ ἐπόγδοος καὶ ἡ (ὑπεροχή ἐστιν ἢ Qv» διαιρεῖται δίχζα "δ ἀλλὰ καὶ ὁ πα ἢ ἀπόγδοος τοῦ οβ οὗ (corr. ex dà) ἡ ὑπεροχὴ 9 οὐ διαιρεῖται εἰς ἴσα mg. A (quae hic et ad p. 71, 14 uncis inclusi, folio circumciso ab- sumpta suni)
TONI. {1
φόνος ὁ μέν τις νοήσει λαμβάνεται, ὁ δὲ ἐν ἀριϑμοῖς, ὁ δὲ ἐν διαστήμασιν, ὁ δὲ Ov ἀκοῆς ἐν φωναῖς, οὔτε «0» ἐν ἀριϑμοῖς εἰς ἴσα ἀεὶ τέμνεται, ὡς δέδεικται, οὔτε ὁ ἐν αἰσϑητοῖς καὶ ὁρατοῖς διαστήμασιν. ἐπὶ γὰρ τοῦ κανόνος αἰσϑητὸς ὧν ὁ ὑποβολεὺς πάντως s ἕξει τι πλάτος καὶ οὐκ ἔσται οὕτως ἀἁπλατής, ὡς μὴ πάντως τι ἐπιλαβεῖν ἐν τῇ διαιρέσει τοῦ τόνου καὶ τοῦ πέρατος τοῦ πρώτου μέρους καὶ τῆς πρώτης ἀρχῆς τοῦ δευτέρου, καὶ διὰ τοῦτο ἀπαναλωϑήσεταί τι τοῦ τόνου. ἔτι ἐν ταῖς διαιρέσεσι τρία ἐστί, δύο μὲν τὰ τὸ διαιρούμενα, τρέτον δὲ τὸ ἐξαιρούμενον. τῶν δὲ διαι- φουμένων ἀπ᾽ αὐτῆς τῆς διαιρέσεως ὡς ἐπὶ πρίονος ἐν τῇ τομῇ ἀναλοῦταί τι τὸ ἐξαιρούμενον vx αὐτῆς τῆς τομῆς. ὡς οὖν ἐπ᾽’ ἐνίων αἰσθητῶν ἐξαιρεῖταί τι, οὕτω καὶ ἐπὶ πάντων κἂν ἐκφεύγῃ τὴν αἴσϑησιν πάν- 15 vog ἀναλωϑήσεταί τι ἐν τῇ τομῇ. δόρυ γοῦν ἢ κάλαμον ἢ. ἄλλο ὁτιοῦν αἰσθητὸν μῆκος ἂν. πρὶν ἢ διελεῖν μετρήσῃς.» ἔπειτα διέλῃς εἰς πολλὰ μέρη, εὑρήσεις τὸ τῶν διαιρουμένων πάντων κοινὸν μέτρον ἔλαττον ὃν τοῦ ὅλου πρὶν ἢ διῃρῆσϑαι. ἔτι χορδὴν ἂν διέλῃς, εἶτα so διακόψῃς, ἡ ἔκτασις μετὰ τὴν διακοπὴν ἀνέδραμε, κἂν πάλιν τὰ διακοπέντα τείνῃς, ἀνάγκη ἀφῃρῆσθϑαί τι τοῦ
8 ὃ add, A? 10 ἐν corr. ut vid. ex: ἔτι A 11 τῶν δὲ] τῶν yaQ? 14 τοῦτο ἐναντ(ίον» τῷ τὴν δοϑεῖσαν (sv ϑεῖαν δίχα τέμνζνεσθαι. εἶ γὰρ xor (o λέσκεταί τι π(άντως παν- τὸς διαιρουμένου, οὐ δίχα τέμνεζται), ἀλλ᾽ οὐδὲ τὸ δοϑὲν μέ- eog ἀποτέμζεταιν. καὶ ἐκ τῆς ἐνεργείας d 5Aov» τὸ ψεῦδος. εἰ γὰρ ὃς eria τρέχα ànA a1)», μηδεμὸς ἐκ mon . . (?) γενο- μένου, οὐδὲν αὐζτῆς» παρανάλωται. καὶ ἐπὶ τῶν magum lav ταὐτό mg. αὶ ἐπενίων, v corr. Χμ ἃ 16 τι corr. ex τῇ Α 18 διέλεις corr. ex δεελεῖς À. 19 διῃρημένων ὃν corr. ex ὧν ἃ 21 7 corr. ex 7| À 22 τὸ cOrr. ex v5 À
12 DE DIVISIONE TONI.
μεγέϑους εἰς τὰς ἐξάψεις τῶν ἑκατέρωϑεν ἁφῶν τοῦ τεινομένου. καὶ διὰ τοῦτο οὐκ ἔσται τέλεια δύο ἡμι- τόνια. οὐ μὴν οὐδ᾽ ἐπὶ τῶν φωνῶν εὑρίσκεται εἰς ἴσα ἡ τομὴ τοῦ τόνου. μελῳδήσας γὰρ τόνον καὶ τόνον 5 μελῳδῶ πάλιν τοῦ ἑνὸς τόνου τὰ δύο ἡμιτόνια ἐν τρισὶ φϑόγγοις, δυσὶ δὲ διαστήμασιν ἀναβαίνων τῇ τάσδει. ὁ δὴ τρίτος φϑόγγος τοῦ δευτέρου ὀξύτερος ἔσται, καὶ διέστηκεν ἀπὸ μὲν τοῦ πρώτου τόνον, ἀπὸ δὲ τοῦ δευ- τέρου δοκεῖ μὲν ἡμιτόνιον , οὐ μὴν ὅμοιον. ἡμιτόνιον 10 οὐδὲ οἷον ὁ δεύτερος ἀπὸ τοῦ πρώτου" οὐ γὰρ δύναται ὅμοιον εἶναι τὸ βαρύτερον τῷ ὀξυτέρῳ. οὐδὲ γὰρ ἐπὶ τοῦ αὐτοῦ φϑόγγου ἂν δὶς μελῳδῆσαι ϑέλωμεν διακό- ψαντες τὴν φωνήν, τὸν αὐτὸν ἦχον ἀποδώσομεν, ἀλλ᾽ ἀνάγκη γενέσϑαι τινὰ διαφοράν, ἥτις λήσει τὴν ἀκοήν. 15 οὐδὲ γὰρ κεντῆσαι ταὐτὸν καὶ ὅμοιον δὶς οἷόν τε, οὐδὲ πλῆξαι τὴν αὐτὴν χορδὴν δὶς ὁμοίως, ἀλλὰ ἢ λαγαρφρώ- τερον ἢ σφοδρότερον, οὐδὲ βάψαι δὶς εἰς τὸ αὐτὸ ὑγρὸν ὁμοίως, οὐδὲ βάψαντα τὸ αὐτὸ ἀνενεγκεῖν διὰ δακτύ- λου ἢ μέλανος ἢ μέλιτος ἢ πίττης. ὁ δὲ νοήσει ληπτὸς :0 τόνος δύναται νοεῖσϑαι καὶ εἰς ἴσα διαιρούμενος. περὶ δὲ τῆς ἐν ἀριϑμοῖς ἁρμονίας λεκτέον ἑξῆς, ὅτι [0] ὅρος ἐστὶν ὁ τὸ x«9' ἕκαστον ἀποφαίνων ἰδίωμα τῶν λεγομένων, οἷον ἀρυϑμός, μέγεϑος, δύναμις, ὄγκος; βάρος. λόγος δὲ κατὰ μὲν τοὺς περιπατητικοὺς λέγεται 35 πολλαχῶς, ὅ τε μετὰ φωνῆς προφορικὸς ὑπὸ τῶν νεω-
1 ἁφῶν: ἀφ corr ex ἄρκ.. Α ὅ μελωδῷ À - 8 διέστη- κεν! ἢ COrr. ex ἐ Α' .9 ὅμοιο» τέλειον) 16 οἷόν ve corr. ex οἴονται A —— 18 βάψαντα: B corr. ex y ἃ 19 ληπτὸς Bull.] λεπτὸ Α 20 cf. descr. post finem libri 21 inser, τί ἐστιν ὅρος À 22 0 om. apogr. 24 inscr. ποσαχῶς λέγεταε λόγος A 886 cf. Plut. cum princ. philos. diss. p. 777 C
QUID SIGNIFICET ΛΟΙΓῸΣ. 13
τέρων λεγόμενος καὶ ὁ ἐνδιάθετος καὶ ὁ ἐν διανοίᾳ κείμενος ἄνευ φϑόγγου καὶ φωνῆς καὶ ὁ τῆς ἀναλογίας, καϑ' ὃν λέγεται ἔχειν λόγον τόδε πρὸς τόδε, καὶ ἡ τῶν τοῦ λόγου στοιχείων ἀπόδοσις καὶ ὁ τῶν τιμώντων καὶ τιμωμένων, xaO" 0v φαμεν λόγον τινὸς ἔχειν 7) μὴ ἔχειν, s καὶ ὁ τραπεζξιτικὸς λόγος καὶ ὁ ἐν τῷ βιβλίῳ Ζημοσϑενι- κὸς ἢ Δυσιακὸς καὶ ὁ ὅρος ὁ τὸ τί ἦν εἶναι καὶ τὴν οὐσίαν σημαίνων, ὁριστικὸς ὦν, καὶ ὁ συλλογισμὸς δὲ καὶ ἡ ἐπαγωγὴ καὶ ὁ Διβυκὸς καὶ ὁ μῦϑος καὶ ὁ αἶνος λόγος λέγεται καὶ ἡ παροιμία, ἔτι δὲ καὶ ὁ τοῦ εἴδους 10 καὶ ὁ σπερματικὸς καὶ ἄλλοι πλείονες. κατὰ δὲ Πλά- τῶνα τετραχῶς λέγεται λόγος, ἤ τε διάνοια ἄνευ φϑόγ- yov καὶ τὸ μετὰ φωνῆς ῥεῦμα ἀπὸ διανοίας καὶ ἡ τῶν τοῦ ὅλου στοιχείων ἀπόδοσις καὶ ὁ τῆς ἀναλογίας. νῦν δὲ πρόκειται περὶ τοῦ τῆς ἀναλογίας λόγου ζητεῖν. 15 λόγος δέ ἐστιν ὁ κατ᾽ ἀνάλογον δυοῖν ὅρων ὁμογε- νῶν ἡ πρὸς ἀλλήλους [αὐτῶν] ποιὰ σχέσις, οἷον διπλά- 6106, τριπλάσιος. τὰ μὲν γὰρ ἀνομογενῆ πῶς ἔχει πρὸς ἄλληλά φησιν Ἄδραστος εἰδέναι ἀδύνατον᾽ οἷον πῆχυς πρὸς μνᾶν ἢ χοίνιξ πρὸς κοτύλην ἢ τὸ λευκὸν πρὸς τὸ 30 γλυκὺ ἢ ϑερμόν ἀσύγκριτα καὶ ἀσύμβλητα᾽ τὰ δὲ ὁμο-
yo 1 [0] ἐν διανοία)ϑ — 2 ἀλογίας À 66 τραπεξητικὸς Α c 7 λυσικός À 8 σημαίνων: o, corr. ex e, À ὁριστικὸς
Bull] ὁριστικῶς Α 10 τὸ βιβλίον ἔχει παρο (signo lineolae haec verba ad παροιμέα relata erant) in mg. del. À 11 cf. Plat. Soph. p. 263 E. "Theaet. p. 206 D 14 ὁ] ἡ À 16 inscr. τέ ἐστι λόγος ἀναλογίας Α ἀναλογίαν Ast ad Nicom. arithm. p. 804 17 cf. p. 81, 8. 18 20 zoi- γνιξ Bull. cf. Herod. dichr. p. 285. Lobeck paralip. gramm. Gr. p. 411. κοτύλην: cf. tamen Hultsch griech. u. róm. Metrol. p. 83 21 ante καὶ rasura trium fere litt., γὰρ add. apogr.
14 DE RATIONIBUS.
γενῆ δυνατόν, οἷον μήκη πρὸς μήκη (xal» ἐπίπεδα πρὸς ἐπίπεδα καὶ στερεὰ πρὸς στερεὰ καὶ βάρη πρὸς βάρη καὶ ὑγρὰ πρὸς ὑγρὰ καὶ χυτὰ πρὸς χυτὰ καὶ ξηρὰ πρὸς ξηρὰ καὶ ἀριϑμοὺς πρὸς ἀριϑμοὺς καὶ χρόνον πρὸς χρόνον 6 καὶ κίνησιν πρὸς κίνησιν καὶ φωνὴν πρὸς φωνὴν καὶ χυμὸν πρὸς χυμὸν καὶ χρῶμα πρὸς χρῶμα καὶ ὅσα τοῦ αὐτοῦ γένους ἢ εἴδους ὄντα πως ἔχει πρὸς ἄλληλα. ὅρους δὲ λέγομεν τὰ ὁμογενῆ ἢ ὁμοειδῆ λαμβανόμενα εἰς σύγκρισιν, οἷον ὅταν σκεπτώμεϑα τίνα λόγον ἔχει 10 τάλαντον πρὸς μνᾶν, ὁμογενεῖς ὅρους φαμὲν τὸ τάλαν- τον καὶ τὴν μνᾶν, ὅτι ἀμφοῖν γένος τὸ βαρύ. καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων ( αὐτὸς λόγος. ἀναλογία δέ ἐστι λόγων ἡ πρὸς ἀλλήλους ποιὰ σχέσις, olov ὡς B πρὸς ἕν, οὕτω η΄ πρὸς δ΄. | | 15 vOv δὲ λόγων ol μέν εἰσι μείζονες, οἱ δὲ ἐλάττονες, οἱ δ᾽ ἴσοι. ὁ μὲν οὖν ἴσος εἷς καὶ ὁ αὐτὸς λόγος καὶ προηγεῖται πάντων τῶν λόγων καὶ ἔστι στοιχειώδης. ἴσοι δέ εἰσιν οἵ κατὰ τὴν αὐτὴν ποσότητα ἐξεταξόμενοι πρὸς ἀλλήλους, οἷον ἕν πρὸς ἕν καὶ B πρὸς β΄ καὶ (τ΄ 20 πρὸς « καὶ ρ΄ πρὸς ρ΄. τῶν δὲ μειζόνων οἵ μὲν πολλα- πλάσιοι, οἵ δὲ ἐπιμόριοι, οἱ δὲ οὐδέτεροι. ὁμοίως δὲ καὶ τῶν ἐλαττόνων ol μὲν ὑποπολλαπλάσιοι, oí δὲ ὑπε- πιμόριοι, ob δ᾽ οὐδέτεροι. τούτων δὲ of μὲν ἐν συμ- φωνίᾳ εἰσίν, ol δ᾽ οὔ. αἱ μὲν οὖν συμφωνίαι τῶν
4 καὶ χρόνον: ov corr. ex ov À - 7 πῶς ἃ 8 inscr.
τί ἐστιν ὅρος À, i£ in mg, praeterea quaedam in mg. er. ὁμοειδῇ corr. ex ὁμοιοειδῆ αὶ 12 inscr. περὶ ἀναλογίας
Α, τῇ in mg. 15 inscr. περὶ ἰσότητος À, νϑ' in mg.
ἐλλάττονες À, em. apogr. 18 ποσότητα] ἰσότητα A
22 ὑπεπιμόριοι corr. ex ὑποἐπιμόριοι À — 924 oí συμφ. negle-
genter dictum (cf. p. 75, 11): nisi scr. ἐν μὲν οὖν συμφωνίᾳ
DE RATIONIBUS. T5
πολλαπλασίων ὅ vs διπλάσιος καὶ ὁ τριπλάσιος καὶ ὃ τετραπλάσιος, ἐν δὲ ἐπιμορίοις ἡμιόλιος ἐπέτριτος, ἐν οὐδετέρῳ δὲ ὅ τε ἐπόγδοος καὶ ὁ τῶν σνς΄ πρὸς Ouy, καὶ οἵ τούτοις ὑπεναντίοι ὅ τε ὑποδιπλάσιος καὶ ὁ ὑπο- τριπλάσιος καὶ ὁ ὑποτετραπλάσιος καὶ ὁ ὑφημιόλιος καὶ 5 ὁ ὑπεπίτριτος καὶ ὁ ὑπεπόγδοος καὶ ὁ τῶν σμγ' πρὸς Ovg. καὶ ὁ μὲν διπλάσιος ἐν τῇ διὰ πασῶν εὑρίσκεται συμφωνέᾳ, ὡς ἐπάνω ἀποδέδεικται, ὁ δὲ τρίπλασιος ἐν τῇ διὰ πασῶν καὶ διὰ πέντε, ὃ δὲ τετραπλάσιος ἐν τῇ δὶς διὰ πασῶν, ὃ δ᾽ ἡμιόλιος ἐν τῇ διὰ πέντε, ὃ δ᾽ τὸ ἐπίτριτος ἐν τῇ διὰ τεσσάρων, ὁ δ᾽ ἐπόγδοος τόνος ἐστίν, ὁ δὲ τῶν ovg πρὸς σμγ΄ ἐν λείμματι. ὁμοίως δὲ καὶ οἵ τούτων ὑπεναντίοι. ἐν οὐδετέρῳ δέ εἰσι λόγῳ ὅ ve ἐπόγδοος καὶ ὁ τῶν Gvg πρὸς Guy, ὅτι οὔτε ἐν συμ- φωνίαις εἰσὶν οὔτε ἔξω συμφωνίας" ὁ γὰρ τόνος καὶ τὸ 15 λεῖωμα ἀρχαὶ μέν εἰσι συμφωνίας καὶ συμπληροωτικαὶ συμφωνίας, οὕπω δὲ συμφωνίαι. λέγονται δέ τινες ἐν ἀριϑμητικῇ λόγοι ἀριθμῶν οὐ μόνον πολλαπλάσιοι καὶ ἐπιμόριοι, ἀλλὰ καὶ ἐπιμερεῖς καὶ πολλαπλασιεπιμερεῖς καὶ ἔτι πλείους, περὶ ὧν ἐφεξῆς σαφέστερον παραδώσο- 20 μὲν. συνέστηχε δὲ τὸ μὲν διὰ τεσσάρων ἐκ δυεῖν τόνων. καὶ λείμματος, τὸ δὲ διὰ πέντε ἐκ τριῶν τόνων καὶ λείμματος, τὸ δὲ διὰ πασῶν ἐκ τοῦ διὰ πέντε καὶ διὰ τεσσάρων. ᾿ἐκ δὲ τούτων εἰσὶν αἱ προηγούμεναι τῶν ἀναλογιῶν. 96 8 οὐδετέροις apogr. 6 ὑποεπίτριτος αὶ ὑπόγδοος A! | " ἐκ πόσων τόνων ἢ τε διὰ ὃ καὶ αἵ λοιπαὶ συνεστήκασιν mg. À 8 ἐπάνω: p. ὅθ, 12. 62, 6 11 τόνος: immo ἐν τόνῳ 13 ἐν οὐδέτερῳ κτλ. — 25: haec plane supervacanea sunt, quaedam etiam inepta 16 sqq. cf. p. 49, 4
18 πολαπλάσιοι À, em. apogr. 20 ἔτι] ἐπὶ A. ἐφεξῆς: p. 78, 6 aqq. 91 συνέστηκε cOrr. ex συνέστικε Α
16 DE RATIONE MULTIPLICI.
πάλιν δὲ κατὰ τὴν ἀριϑμητικὴν παράδοσιν λέγον- ται (λόγοι) τῶν ἀριϑμῶν, ὡς καὶ ὁ ἔάδραστος παρα- δίδωσιν, o μὲν πολλαπλάσιοι, οἵ δὲ ἐπιμόριοι, οἵ δ᾽ ἐπιμερεῖς, οἵ δὲ πολλαπλασιεπιμόριοι, οἱ δὲ πολλαπλα- 5 σιεπιμερεῖς, οἱ δ᾽ οὐδέτεροι, τῶν δὲ ἐλαττόνων οἵ μὲν ὑποπολλαπλάσιοι, οἱ δ᾽ ὑπεπιμόριοι, καὶ οἱ λοιποὶ ἀντι- στρέφοντες τοῖς μείζοσι. — . πολλαπλάσιος μὲν οὖν ἐστι λόγος, ὅταν ὁ μείξων ὅρος πλεονάκις ἔχῃ τὸν ἐλάττονα, τουτέστιν ὅταν ὁ 10 μείξων ὅρος καταμετρῆται ὑπὸ τοῦ ἐλάττονος ἀπαρτι- ξόντως, ὡς μηδὲν ἔτι λείπεσθαι ἀπ᾽ αὐτοῦ, καὶ κατ᾽ εἶδος τοσαυταπλασίων [ἕκαστος πολλαπλάσιος δ᾽] ὁ μείξων ὅρος λέγεται τοῦ ἐλάττονος, ὁσάκις ἂν καταμε- τρῆται ὑπ᾽ αὐτοῦ" οἷον ἂν μὲν δίς, διπλάσιος, ἂν δὲ 15 τρίς, τριπλάσιος, ἂν δὲ τετράκις, τετραπλάσιος, καὶ κατὰ τὸ ἑξῆς οὕτως. ἀνάπαλιν δὲ ὁ ἐλάττων τοῦ μείξονος μέρος ὁμώνυμον τῷ λόγῳ, κατὰ μὲν τὸν διπλάσιον ἥμισυ, κατὰ δὲ τὸν τριπλάσιον τριτημόριον, καὶ λόγος ὁ μὲν ἥμισυς, ὁ δὲ τριτημόριος᾽ καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων 20 ὁμοέως. | ἐπιμόριος δέ ἐστι λόγος, ὅταν ὁ μείζων ὅρος ἅπαξ ἔχῃ τὸν ἐλάττονα καὶ μόριον ἕν τι τοῦ ἐλάττονος, τουτ-
8 sqq. οἵδ᾽ ἐπιμερεῖς, οἵ δὲ πολλαπλάσιεπιμερεῖς (corr. ex πολλαπλάσιοι ἐπιμερεῖς), οἵ δὲ πολλαπλάσιεπιμόριοι (cOrr. ex
πολλαπλάσιοι ἐπιμόριοι), significato literis B οὐ ἃ vero ordine, 5 οὐδέτεροι hoc loco inepte dictum, cf. p. 80, 8 6 ὑποβμόριοι À, em. apogr. 8 inscr. τέ ἐστιν ὁ πολλα- πλάσιος λόγος À, x in mg. 9 ἔχη corr. ex ἔχει À 10 ἀπαρτιζόντως corr. ex ἀπαρτέξοντος À 11 κατ᾽ εἶδος: cf. p. 806,75 13 μεῖξον (ov in ras.) À, em. apogr. 17 ὁμώνυ- μὸν corr. ex ὁμόνυμον À 21 inscr. τέ ἐστιν ἐπιμόριος λόγος Α, xa in mg. μεῖξον À, em. apogr. 22 ἔχη corr- ex ἔχει À
DE RAT. SUPERPARTICULARI. oTi
ἐστιν ὅταν ὁ μείξων τοῦ ἐλάττονος ταύτην ἔχῃ τὴν ὑπεροχήν, ἥτις τοῦ ἐλάττονος ἀριθμοῦ μέρος ἐστίν. ὡς ἡ τετρὰς τῆς τριάδος ὑπερέχει γὰρ αὐτῆς μονάδι, ἥτις ἐστὶ τῆς τριάδος τὸ τρίτον᾽ καὶ ἡ ἕξὰς τῆς τετράδος ὑπερέχει δυεῖν, ἅτινα τῶν τεσσάρων ἥμισύ ἐστι. διὸ 5 καὶ ἀπὸ τῆς τῶν μερῶν ὀνομασίας ἕκαστος τῶν ἐπιμο- ρέων ἐδίας ἔτυχε προσηγορίας. ὁ μὲν γὰρ τῷ ἡμίσει τοῦ ἐλάττονος μέρει ὑπερέχων ἡμιόλιος ὠνόμασται, ὡς ἡ τριὰς τῆς δυάδος καὶ ἡ ἑξὰς τῆς τετράδος. αὐτήν τε γὰρ ὅλην ἔχει τὴν ἐλάττονα καὶ τὸ ἥμισυ αὐτῆς" ἐν τὸ μὲν γὰρ τῇ τριάδι ἔνεστιν ἡ δυὰς καὶ τὸ ἥμισυν αὐτῆς ἡ μονάς, ἐν δὲ τῇ ἑξάδι ἡ τετρὰς καὶ τὸ ἥμισυ αὐτῆς ἡ δυάς. πάλιν ol τῷ τρίτῳ μέρει τοῦ ἐλάττονος ὑπερ- ἔχοντες ἐπίτριτοι καλοῦνται, ὡς ἡ τετρὰς τῆς τριάδος, oí δὲ τῷ τετάρτῳ ὑπερέχοντες ἐπιτέταρτοι, ὡς ὁ ε΄ τῶν s δ΄ καὶ ὁ v τῶν η΄, καὶ ὁμοίως προκόπτοντες ἐπίπεμπτοί τε καὶ ἔφεκτοι καὶ ἐφέβδομοι ἐκλήϑησαν πάντες οὗτοι ἐπιμόριοι ὄντες. διὸ χαὶ οἱ ἀντικείμενοι τούτοις οἵ ἐλάττονες τῶν μειξόνων ὑπεπιμόριοι ἐκλήϑησαν᾽ ὡς γὰρ ἡ τριὰς (vijg» δυάδος ἐλέγετο ἡμιόλιος, οὕτως καὶ so ἡ δυὰς τῆς τριάδος κατὰ τὸ ἀνάλογον ὑφημιόλιος λε- χϑήσεται, καὶ ὁμοίως ἡ τριὰς τῆς τετράδος ὑπεπίτριτος. ἔστι δὲ τῶν πολλαπλασίων λόγων πρῶτος καὶ ἐλάχιστος ὁ διπλάσιος, μετὰ δὲ τοῦτον O τριπλάσιος, εἶτα ὁ τετραπλάσιος, καὶ οὕτως οἵ ἑξῆς ἐπ᾽ ἄπειρον αἰεὶ ss
1 μείξων corr. ex μεῖζον À 7 và À?] vo Αἱ 8 ἐφ᾽ ante ἡμιόλιος A. cf. Vetter additam. ad Steph. Thes. p. 18 18 of A?] ἡ À! 16 δέκα corr. ex δεκὰς ἃ 19 ὑπεπι- μόριον corr. ex ὑποἐπιμόριοι À — 920 τῆς add. in ed. Bull. 22 ὑποεπίτριτος αὶ 928 ἐν post τῶν, et πολλαπλασίων mul. in πολλαπλασίονι À.
c
18 DE RAT. SUPERPARTIENTE,
oí usífoveg. τῶν δ᾽ ἐπιμορίων λόγων πρῶτος καὶ μέ- γιστος ὃ ἡμιόλιος, ὅτι δὴ καὶ τὸ ἥμισυ μέρος πρῶτον καὶ μέγιστον καὶ ἐγγυτάτω τῷ ὅλῳ, μετὰ δὲ τοῦτον ὃ ἐπέτριτος, καὶ ὁ ἐπιτέταρτος, καὶ οὕτω πάλιν ἐπ᾽ ἄπει- δ ρον ἡ πρόοδος ἀεὶ ἐπ᾽ ἐλάττονος. ἐπιμερὴς δέ ἐστι λόγος, ὅταν ὁ μείξων ὅρος ἅπαξ ἔχῃ τὸν ἐλάττονα καὶ ἔτι πλείω μέρη αὐτοῦ [τοῦ ἐλάτ- rovog], εἴτε ταὐτὰ καὶ ὅμοια εἴτε ἕτερα καὶ διάφορα" ταὐτὰ μὲν οἷον δύο τρίτα ἢ δύο zxéuxva καὶ εἴ τινα 10 ἄλλα οὕτως" ὁ μὲν γὰρ τῶν s ἀριϑμὸς τοῦ τῶν γ' δὶς ἐπίτριτος, ὁ δὲ τῶν ξ΄ τοῦ τῶν & δὶς ἐπίπεμπτος, ὁ δὲ τῶν η΄ τοῦ τῶν ξε΄ τρὶς ἐπίπεμπτος, καὶ οἵ ἑξῆς ὁμοίως" ἕτερα δὲ καὶ διάφορα οἷον ὅταν ὁ μείξων αὐτόν ve ἔχῃ τὸν ἐλάττονα καὶ ἔτι ἥμισυ αὐτοῦ καὶ τρίτον, οἷον ἔχει 15 λόγον ὁ τῶν ια΄ πρὸς τὸν τῶν ς΄, ἢ πάλιν ἥμισυ καὶ τέταρτον, Og ἐστι λόγος τῶν ξ΄ πρὸς δ΄, ἢ νὴ Δία τρί- τον καὶ τέταρτον, ὃν ἔχει λόγον τὰ (9' πρὸς τὰ ιβ΄. παραπλησίως δὲ ϑεωρείσϑωσαν καὶ οἷ λοιποὶ ἐπιμερεῖς δυσὶν ὑπερέχοντες μέρεσιν ἢ τρισὶν ἢ πλείοσι, καὶ ὁμοίοις 30 ἢ ἀνομοίοις. ὑπεπιμερὴς δέ ἐστιν [ὁ] ἀνάπαλιν ὁ ἐν τῷ προειρημένῳ λόγῳ ἐλάσσων πρὸς τὸν μεέίξονα ἐξετα- ξομενος. πολλαπλασιεπιμόριος δέ ἐστι λόγος, ὅταν ὃ μείζων 0gog δὶς ἢ πλεονάκις ἔχῃ τὸν ἐλάττονα καὶ ἔτι μέρος 1 of μείξονες] ἐπὶ μείζονος cf. v. 5 4 sS(?) ante ὁ Α, ἑξῆς apogr. 6 inscr. περὶ ἐπιμεροῦς λόγου A, κβ in mg. μείξων: ὦ ex o À 1H qn ex ἔχει À μέρει À, em. apogr. cf. vs. 24. p. Ὁ, 11 13 δὲ primo om. ium add. À ἔχη corr. ex ἔχει A 16 νὴ δία AÀ?] ἡ διὰ ΑἹ 20 ἀνομίοις A! ὑπομερὴς À! 21 τὸ μεῖξον Ν
28 inscr. περὶ πολλαπλασιεπιμορίων À μείξων corr. ex μεῖζον Α 24 ἔχη corr. ex ἔχει À
MULTIPL. SUPERPARTICULARBI, M. SUPERPARTIENTE. 19
αὐτοῦ, ὡς ὃ μὲν τῶν ζ΄ δὶς ἔχει τὸν γ΄ xal ἔτι τρίτον αὐτοῦ, καὶ λέγεται αὐτοῦ διπλασιεπίτριτος, ὁ δὲ τῶν
ϑ' δὶς ἔχει (τὸν) τῶν δ΄ καὶ ἔτι τὸ τέταρτον αὐτοῦ,
λέγεται δὲ διπλασιεπιτέταρτος, ὁ δὲ τῶν « τρὶς ἔχει τὸν
τῶν y' καὶ τὸ τρίτον αὐτοῦ, καὶ λέγεται τριπλασιεπίτριτος. 5
παραπλησίως δὲ ϑεωρείσϑωσαν καὶ oí λοιποὶ πολλα- πλασιεπιμόριοι. τοῦτο δὲ συμβαίνει, ὅταν δυεῖν προ- τεϑέντων ἀριϑμῶν ὁ ἐλάττων καταμετρῶν τὸν μείξονα μὴ ἰσχύσῃ ὅλον καταμετρῆσαι, ἀλλ᾽ ἀπολείπῃ μέρος τοῦ μείζονος, ὅ ἐστιν αὐτοῦ τοῦ ἐλάσσονος μέρος" οἷον ὁ TOV κς΄ τοῦ τῶν η πολλαπλασιεπιμόριος λέγεται, ἐπειδή- περ (0» η τρὶς καταμετρήσας τὸν κς΄ οὐχ ὅλον ἀπήρτι- δεν, ἀλλὰ μέχρι τῶν κδ΄ ἐλθὼν δύο ἐκ τῶν xg ἀπέλι- πεν, 0 ἐστι τῶν η΄ τέταρτον.
πολλαπλασιεπιμερὴς «δέ ἐστι λόγος, ὅταν ὁ μείζων ὅρος δὶς T, πλεονάκις ἔχῃ τὸν ἐλάττονα καὶ δύο ἢ ἡ πλείω τινὰ μέρη αὐτοῦ εἴτε ὅμοια εἴτε διάφορα᾽ οἷον ὁ μὲν τῶν 5 δὶς ἔχει τὸν τῶν y' καὶ δύο τρίτα αὐτοῦ, λέγεται δὲ διπλάσιος καὶ δὶς ἐπίτριτος, ὁ δὲ τῶν ια΄ τοῦ τῶν
e
y τριπλάσιος xol δὶς ἐπέτριτος, ὁ δὲ τῶν ια΄ τοῦ τῶν 30
δ΄ διπλάσιός τε καὶ ἡμιόλιος καὶ ἐπιτέταρτος ἢ διπλά- σιός τε καὶ τρὶς ἐπιτέταρτος. καὶ τοὺς ἄλλους δὲ πολλα- πλασιεπιμερεῖς πολλοὺς καὶ ποικίλους ὄντας προχειρί- ξεόϑαι ῥάδιον. τοῦτο δὲ γίνεται, ὅταν ὃ ἐλάττων
ἀρ'ϑμὸς καταμετρήσας τὸν μείζονα μὴ ἰσχύσῃ ἀπαρτί- 35
σαι. ἀλλ᾽ ἀπολείπῃ ἀριϑμόν τινα, & ἐστι μέρη αὐτοῦ,
8 (τὸν τῶν] τὸν apogr. 9 καταταμετρῆσαι À, em. apogr. 12 ro xs Α, em. in ed. Bull. 18 ἀπέλειπεν Α, em. apogr. 15 inscr. ' περὶ πολλαπλασιεπιμερῶν Α 16 ἔχῃ apogr.] ἔχει A 18 ἔχων A. 84 ἐλάττων: ὧν corr. σον ἃ 26α]σ À
80 DE RAT. NUMERI AD NUMERUM.
ὡς ὁ τῶν ιδ' τοῦ τῶν y" ἡ y&Q τριὰς καταμετρήσασα τὸν τῶν ιδ' οὐκ ἴσχυσεν ἀπαρτίσαι, ἀλλὰ προκόψασα τετράκις μέχρι τῶν ip τὴν λοιπὴν ἀπὸ τῶν ιδ' ἀπέλιπε δυάδα, ἥτις ἐστὶ τῶν γ' δίμοιρον, ἃ δὴ λέγεται δύο
5 τρίτα. ἀντίκειται δὲ καὶ τῷ πολλαπλασιεπιμερεῖ ὁ ὑπο-
πολλαπλασιεπιμερής. ἀριϑμοῦ δὲ πρὸς ἀριϑμὸν λόγος ἐστίν, ὅταν ὁ μεί- (mv πρὸς τὸν ἐλάττονα ἐν μηδενὶ ἡ τῶν προειρημένων λόγων, καθὰ δειχϑήσεται καὶ ὁ τὸ λεῖμμα περιέχων
1 [φϑόγγος] λόγος ἀριϑμοῦ πρὸς ἀριϑμὸν ἔχων τοὺς ὅρους ἐν ἐλαχίστοις ὡς ὁ Ovg πρὸς σμγ΄. φανεροὶ δὲ καὶ οἵ τῶν ἐλαττόνων ὅρων πρὸς τοὺς μείζονας λόγοι ἀντεστραμμένως ὑπ᾽ ἐκείνων προσαγορευόμενοι, καϑὰ ἐδείχϑη.
15 πάντων δὲ τῶν κατ᾽ εἶδος εἰρημένων λόγων οἱ iv ἐλαχίστοις καὶ πρώτοις πρὸς ἀλλήλους ἀριϑμοῖς ὄντες καϑ' ἕκαστον πρῶτοι λέγονται τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων καὶ πυϑμένες τῶν ὁμοειδῶν. οἷον διπλασίων μὲν λόγων πρῶτος καὶ πυϑμὴν ὁ τῶν β' πρὸς ἕν᾽ μετὰ
30 γὰρ τοῦτον ἐν μείζοσι καὶ συνϑέτοις ἀριϑμοῖς λόγοι εἰσὶ διπλάσιοι ὁ τῶν δ΄ πρὸς τὰ B καὶ τῶν ς΄ πρὸς τὰ y καὶ ὁμοίως ἐπ᾽ ἄπειρον. τριπλασίων δὲ λόγων πρῶ- tog καὶ πυϑμὴν ὁ τῶν γ' πρὸς τὸ ἕν᾿ ol δὲ aísl ἐν μεί- ξοσι καὶ συνϑέτοις ἀριϑμοῖς ἐπ᾽ ἄπειρον προάγουσιν.
35 ὡσαύτως δὲ ἐπὶ τῶν ἄλλων πολλαπλασίων. ὁμοίως δὲ
8 ἀπέλειπε Α, em. apogr. 7 inscr. τί ἐστι λόγος ἀριϑμοῦ πρὸς ἀριϑμόν (corr. ex ἀριθμῶν) Α, xà in mg. μείξων corr. ex μεῖξον Α 8 ἢ] εἴη À 9 δειχϑήσεται: Ρ. 86, 16 18 ἀντεστραμμένως) ἀντεστραμμένοι (ἀπεστραμμέ- vot A!) og À 14 ἐδείχϑη: p. 74 sq. 16 inscr. περὶ πυϑμένων λόγων Α 18 διπλάσιον A!
DE RATIONE ET INTERVALLO. 81
καὶ ἐν τοῖς ἐπιμορίοις. ἡμιολίων μὲν λόγων πρῶτος καὶ πυϑμὴν ὃ τῶν y πρὸς τὰ β΄, ἐπιτρίτων δὲ ὁ τῶν δ' πρὸς y, καὶ ἐπιτετάρτων ὁ τῶν ε΄ πρὸς δ'᾽ o[ δὲ ἐν μείζοσιν ὅροις καὶ συνϑέτοις πάλιν ἄπειροι τὸ πλῆϑος. τὸ δ᾽ αὐτὸ ϑεωρεῖται καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων. δ
διαφέρει δὲ διάστημα καὶ λόγος. ἐπειδὴ διάστημα μέν ἐστι τὸ μεταξὺ τῶν ὁμογενῶν τε καὶ ἀνίσων ὅρων, λόγος δὲ ἁπλῶς ἡ τῶν ὁμογενῶν ὅρων πρὸς ἀλλήλους σχέσις. διὸ καὶ τῶν ἴσων ὅρων διάστημα μὲν οὐδέν ἐστι μεταξύ, λόγος δὲ πρὸς ἀλλήλους εἷς καὶ ὁ αὐτὸς 10 ὃ τῆς ἰσέτητος᾽ τῶν δὲ ἀνίσων διάστημα μὲν ἕν καὶ τὸ αὐτὸ ἀφ᾽ ἑκατέρου {πρὸς ἑκάτερον, λόγος Ob ἕτερος καὶ ἐναντίος ἑκατέρου πρὸς ἑκάτερον᾽ οἷον ἀπὸ τῶν (j πρὸς τὸ ἕν καὶ ἀπὸ τοῦ ἑνὸς πρὸς τὰ β΄ διάστημα ὃν καὶ τὸ αὐτό, λόγος δὲ ἕτερος, τῶν μὲν δύο πρὸς τὸ ὃν is διπλάσιος, τοῦ δὲ ἑνὸς πρὸς τὰ β΄ ἥμισυς.
᾿Ερατοσϑένης δὲ ἐν τῷ Πλατωνικῷ φησι, μὴ ταύ- τὸν εἶναι διάστημα καὶ λόγον, ἐπειδὴ λόγος μέν ἐστι δύο μεγεϑῶν ἡ πρὸς ἄλληλα ποιὰ σχέσις γένεται δ᾽ αὕτη καὶ ἐν διαφόροις (xol ἐν ἀδιαφόροις». οἷον ἐν so ὦ λόγῳ ἐστὶ τὸ αἰσϑητὸν πρὸς τὸ νοητόν, ἐν τούτῳ "δόξα πρὸς ἐπιστήμην, καὶ διαφέρει καὶ τὸ νοητὸν τοῦ ἐπιστητοῦ ᾧ καὶ ἡ δόξα τοῦ αἰσϑητοῦ. διάστημα δὲ
6 inser. τόέρι διαφέρει διάστημα καὶ λόγος A 19 ἀφ᾽ apogr.] ἐφ᾽ A πρὸς add. apogr. 17 cf. Philol. XXX. p. 60 sqq. Bernhardy Eratosth. p. 168 19 μεγέϑων Αἱ
προσάλληλα ἃ 20 αὐτὴ À: cf. Philol. XXX p. 72 Porph. ad Ptol. Harm. p. 268 ὅτι μὲν τοίνυν ὁ λόγος ἐν δια- φόροις γίνεται ὕροις, ὁμογενέσι δὲ πάντως, καὶ ἐν ἀδια- φόροις, ὡς Εὐκλείδει δοκεῖ, δειχϑήσεται" διάστη α à (ὅτι ἐν τοῖς διαφέρουσι μόνον, φανερύν 21 τὰ αἰσθητὸν πρὸς
τὸ νοητόν apogr.] τὸ νοητὸν πρὸς τὸ αἰσϑητὸν Α
Theo Smyrn. 6
82 DE PROPORTIONIBUS.
ἐν διαφέρουσι μόνον, ἢ κατὰ τὸ μέγεθος ἢ κατὰ ποιό- τητὰ ἢ κατὰ ϑέσιν ἢ ἄλλως ὁπωσοῦν. δῆλον δὲ καὶ ἐντεῦθεν, ὅτι λόγος διαστήματος ἕτερον᾽ τὸ γὰρ ἥμισυ πρὸς τὸ διπλάσιον (xol τὸ διπλάσιον πρὸς τὸ Tuv)
5 λόγον μὲν οὐ τὸν αὐτὸν ἔχει, διάστημα δὲ τὸ αὐτό. ἀναλογία δ᾽ ἐστὶ πλειόνων λόγων ὁμοιότης ἢ ταυτό- της; τουτέστιν ἐν πλείοσιν ὅροις λόγων ὁμοιότης, ὅταν ὃν ἔχει λόγον ὁ πρῶτος πρὸς τὸν δεύτερον, τοῦτον ὃ δεύτερος πρὸς τὸν τρέτον ἢ ἄλλος τις πρὸς ἄλλον. 10 λέγεται δὲ ἡ μὲν συνεχὴς ἀναλογία, ἡ δὲ διῃρημένη, συνεχὴς μὲν ἡ ἐν ἐλαχίστοις τρισὶν ὅροις, διῃρημένη ὃὲ ἡ ἐν ἐλαχίστοις τέσσαρσιν. οἷον μετὰ τὴν ἐν ἴσοις ὅροις ἀναλογέαν συνεχὴς ἐν ἐλαχίστοις ὅροις κατὰ μὲν τὸ διαπλάσιον δ΄ B' α΄" ἔστι γὰρ ὡς δ' πρὸς D, οὕτως :6 β΄ πρὸς ἕν. διῃρημένη δὲ ς΄ γ' δ΄ β΄ ἔστι γὰρ ὡς ς΄ πρὸς τὰ γ΄, οὕτως δ' πρὸς τὰ β΄. τὸ δὲ αὐτὸ καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων πολλαπλασίων. ἔστι δὲ τρόπον τινὰ καὶ ἡ συνεχὴς ἐν τέτταρσιν ὅροις, δὶς λαμβανόμενον τοῦ μέσου. καὶ ἐπὶ τῶν ἐπιμορίων δὲ ὁ αὐτὸς λόγος᾽ συν- 30 ἐχὴς μὲν ἀναλογία ἐν λόγῳ ἡμιολέῳ 8' ς΄ δ΄, διῃρημένη
δὲ 0. ς΄ ιε΄ v. ὁ δὲ αὐτὸς καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων λόγος. ὁ δὲ ᾿Ερατοσϑένης φησίν, ὃ τι τῆς ἀναλογίαρ[φύσι c]
ἀρχὴ λόγος ἐστὶ καὶ ... eese πρώτη 1 ἐν corr. ex ἕν ἃ 6 inscr. περὶ ἀναλογίας καὶ ἰσότητος Α, xf in m δ᾽ ἔστι corr. ex δὲ ἐστὶ Α
15 οὐ συνάπτονται γὰρ ἑνὶ μέσῳ ὅρῳ κοινῷ oU (scr. οὗ δύο λόγοι, ὥσπερ ἐπὶ τοῦ ὃ β ἃ ὃ β μέσος ὅρος ἐστὶ καὶ κοινός" ὡς γὰρ ὃ πρὸς β οὕτω β πρὸς ἃ mg. Α 18 οἷον ὡς ὃ πρὸς β, οὕτω β πρὸς ἃ" ó γὰρ μέσος ὁ β δὶς εἴληπται, μετὰ τοῦ ὃ ὡς ὑποδιπλάσιος, μετὰ δὲ τοῦ ᾶ ὡς διπλάσιος mg. A 22 τρα- τοσϑένης À! 923 καὶ ante ἀρχὴ add. A?*. ^ in iis quge ex-
DE AEQUALITATE. 83
καὶ τῆς γενέσεως αἰτία πᾶσι roig μὴ ἀτάκτως γινομέ- νοις. ἀναλογία μὲν γὰρ πᾶσα ἐκ λόγων, λόγου δὲ ἀρχὴ τὸ ἴσον. δῆλον δὲ οὕτως. ἐν ἑκάστῳ τῶν γενῶν ἴδιόν ἐστί τι στοιχεῖον [καὶ ἀρχή]; εἰς ὃ τὰ ἄλλα ἀναλύεται, αὐτὸ δὲ. εἰς μηδὲν ἐκείνων. ἀνάγκη δὴ τοῦτο ἀδιαίρε- 5 vov εἶναι καὶ ἄτομον᾽ τὸ γὰρ διαίρεσιν καὶ τομὴν ἐπι- δεχόμενον συλλαβὴ λέγεται καὶ οὐ στοιχεῖον. τὰ μὲν οὖν τῆς οὐσίας στοιχεῖα κατὰ οὐσίαν ἀδιαίρετά ἐστι, τὰ δὲ τοῦ ποιοῦ κατὰ τὸ ποιόν. τὰ δὲ τοῦ ποδοῦ κατὰ τὸ ποσόν. ὅλως δ᾽ ἕκαστον κατὰ τοῦτῳ ἄτομον καὶ ἕν, 10 καϑὸ στοιχεῖόν ἐστι συνθέτου τινὸς ἢ μικτοῦ. τοῦ μὲν οὖν ποσοῦ στοιχεῖον ἡ μονάς, τοῦ δὲ πηλίκου στιγμή, λόγου δὲ καὶ ἀναλογίας ἰσότης. οὔτε γὰρ μονάδα ἔτι διελεῖν ἔστιν εἰς τὸ ποσόν, οὔτε στιγμὴν εἰς τὸ πηλί- xov, οὔτε ἰσότητα εἰς πλείους λόγους. γένεται δὲ ἀριϑ- τὸ μὸς μὲν ἐκ μονάδος. γραμμὴ δὲ ἐκ στιγμῆς, λόγος δὲ καὶ ἀναλογία ἐξ ἰσότητος, τρόπον δὲ οὐ τὸν αὐτὸν ἕκα- στον τούτων᾽ ἀλλὰ μονὰς μὲν πολλαπλασιαζξομένη ὑφ᾽ ἑαυτῆς οὐδὲν γεννᾷ ὡς οἱ ἄλλοι ἀριϑμοί, τὸ γὰρ ἅπαξ ἕν ἕν᾽ κατὰ σύνϑεσιν δὲ αὔξεται μέχρις εἰς ἄπειρον" so στιγμὴ δὲ οὔτε κατὰ πολλαπλασιασμὸν οὔτε κατὰ σύν- ϑεσιν᾽ ἀλλὰ κατὰ συνέχειαν ῥυεῖσά ve καὶ ἐνεχϑεῖσα γραμμὴν ἀποτελεῖ, γραμμὴ δὲ ἐπιφάνειαν, ἐπιφάνεια δὲ σῶμα. καὶ μὴν ὁ τῶν ἴσων λόγος οὐκ αὔξεται συν- τιϑέμενος" πλειόνων γὰρ ἴσων ἑξῆς τιθεμένων ὁ τῆς ss
ceciderunt aequalitatis commemoratio fuisse videtur: cf. p. 107, 10 sqq. 111, 12 1 ἀρχή post πρώτη add. À*, πρώτη τῆς γενέ- σεως «iría Bull. καὶ ante πᾶσι add. A* 4 post καὶ una lit. er. À 11 μικτοῦ corr. ex μικτὸν À / τί ἑκάστου γένους στοιχεῖον καὶ de ἡ xal πῶς ἐκ τούτων τοῖς ἐξ αὐτῶν ἡ γένεσις mg.À 8060 τ ἕν ante κατὰ del. À
483
84. DE PROPORTIONE ET MEDIETATE.
περιοχῆς λόγος ἐν ἰσότητι διαμένει. διὸ καὶ συμβαίνει, τὴν στιγμὴν μὴ εἶναι μέρος γραμμῆς μηδὲ τὴν ἰσότητα λόγον, τὴν μέντοι μονάδα ἀριϑμοῦ" μόνη γὰρ αὕτη συντιϑεμένη λαμβάνει τινὰ αὔξησιν. αἴτιον δὲ τοῦ
5 λεχϑέντος, ὅτι διαστήματος ἄμοιρος ἰσότης, καθάπερ
καὶ ἡ στιγμὴ μεγέϑους. ἔοικε δὲ ὁ Πλάτων pev οἴεσθαι συνοχὴν εἶναι μαϑημάτων τὴν ἐκ τῆς ἀναλογίας. ἔν τὸ γὰρ τῷ ᾿Επι- νομίῳ φησίν᾽ ἅπαν διάγραμμα ἀριϑμοῦ re σύστημα καὶ
10 ἁρμονίας σύστασιν ἅπασαν τῆς τε τῶν ἄστρων περι- φορᾶς τὴν ἀναλογίαν οὖσαν μίαν ἁπάντων ἀναφανῆναι δεῖ τῷ κατὰ τρέπον μανϑάνοντι᾽ φανήσεται δέ, ἂν ἃ
λέγομεν ὀρθῶς τις ἐμβλέπων μανϑάνῃ" δεσμὸς γὰρ πεφυκὼς ἁπάντων εἷς ἀναφανήσεται.
15 διαφέρει δὲ ἀναλογίας μεσότης, ἐπειδὴ εἰ μέν τι ἀναλογία, τοῦτο καὶ μεσότης, εἰ δέ τι μεσότης, οὐκ εὐ- ϑὺς ἀναλογία." ἐγχωρεῖ γάρ τι κατὰ τάξιν μέσον ὃν μὴ ἔχειν ἀναλόγως πρὸς τὰ ἄκρα᾽ ὡς τὰ δύο μέσα ἐστὶ τῇ τάξει {τοῦ ἑνὸς xol) τῶν γ΄, καὶ τοῦ ἑνὸς καὶ {τῶν v»
40 τὰ y καὶ τὰ Ó καὶ τὰ 8' ἀπὸ γὰρ τοῦ ἑνὸς οὐχ οἷόν
8 αὕτη COrr. ex αὐτὴ αὐ vid. Α 8 Év ve γὰρ τῷ] ἐν τετάρτῳ À, ἐν τῷ , γὰρ Bull, cf. p. 2, 15 - 9 Pseudo-Plat. Epin. p. 991 E xav praeter Theonem Nicom, introd. arithm. I3,5] πᾶν Plato, τα post ἅπαν del ἃ 11 ἀναλογίαν etiam Nicomachi codices meliores et Iambliehus in Villois. anecd. Gr. II p. 193] ὁμολογίαν Plato et Nicom. codices deteriores
19 φανήσεται etiam Nicom. Iambl. Platonis codex Vatica- nus $ pr. m. (sec. Bekk. Jl ἀναφανήσεται ceteri αὖ videtur codices Platonis Δ] ὃ Plato ἐμβλέπων etiam ,lambl.] εἰς ἕν βλέπων Plato 14 ἁπάντων δίκα Nicom.] z&vvov Plato τούτων ante εἷς Plato, sed om. pr. 9 ἀναφανήσεται] διανοουμένοις add. Plato, om. etiam Nicom. 15 incr. δια-
φέρει δὲ ἀναλογία καὶ μεσότης Α. cf. Nesselmann p. 210 sq. 19 τῶν ι΄ add. in ed. Bull.
DE RATIONIBUS CONSONANTIARUM. 85
τε ἐλθεῖν ἐπὶ τὰ v μὴ πρότερον ἐλθόντα ἐπὶ và β' καὶ τὰ y καὶ τὰ δ΄. ἀλλ᾽ οὐδὲν τούτων ἀναλόγως ἔχει πρὸς τὰ ἄκρα. τὸ γὰρ ἕν οὐκ ἐν τούτῳ ἐστὶ τῷ λόγῳ πρὸς τὰ β΄, ἐν ᾧ và B πρὸς τὰ γ΄" ὁμοίως καὶ ἐπὶ τῶν fj καὶ y' καὶ δ΄. τὰ δὲ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ὄντα καὶ μέσα ὁ ἂν εἴη, οἷον ἕν β΄ δ΄" ἀναλογία τε γάρ ἐστιν ἡ τοῦ δι- πλασίου, καὶ τά β΄ μέδα τοῦ ἑνὸς καὶ τῶν δ΄.
ἀναλογίας δὲ ὁ μὲν Θράσυλλός φησιν εἶναι προ- ηγουμένας τρεῖς, ἀριϑμητικὴν γεωμετρικὴν ἁρμονικήν᾽ ἀριϑμητιχὴν μὲν τὴν ταὐτῷ ἀριϑμῷ ὑπερέχουσαν καὶ 10 ὑπερεχομένην, (οἷον ............ ' γεωμετρικὴν ὃὲ τὴν ταὐτῷ λόγῳ ὑπερέχουσαν καὶ ὑπερεχομένην,) οἷον δι- πλασίῳ ἢ τριπλασίῳ, ὡς y c ιβ΄ ἁρμονικὴν δὲ τὴν ταὐτῷ μέρει τῶν ἄκρων ὑπερέχουσαν καὶ ὑπερεχομένην, οἷον τρέτῳ ἢ τετάρτῳ, οἷον ς΄ qm ιβ΄........Ὁ«Ὁὐὐν ον 15
τούτων δ᾽ ἕκαστον iv ἀριϑμοῖς καὶ ἄλλως οὕτως ὁρᾶται" τῶν g διπλάσιος ὁ ιβ΄, τριπλάσιος δὲ ὁ ιη΄, τε- τραπλάσιος δὲ ὁ xÓ', ἡμιόλιος δὲ ὁ 9', ἐπέτριτος δὲ ὁ ἡ τὰ δὲ 9' τῶν η΄ ἐπόγδοα᾽ τὰ δὲ ιβ΄ πρὸς μὲν 9' ἐπίτριτα, πρὸς δὲ η΄ ἡμιόλια, πρὸς δὲ ς΄ διπλάσια τὰ 30 δὲ a τῶν 9' διπλάσια τούτων δὲ τὰ κζ΄ ἡμιόλια. καὶ γίνεται μὲν η΄ ἐν τῷ διὰ τεσσάρων πρὸς ς΄, τὰ δὲ ϑ' ἐν τῷ διὰ πέντε, τὰ δὲ ιβ' ἐν τῷ διὰ πασῶν, τὰ δὲ ιη΄ ἐν τῷ διὰ πασῶν καὶ διὰ πέντε τῶν μὲν γὰρ ς΄ διπλά- σια τὰ ιβ΄ ἐστιν ἐν τῷ διὰ πασῶν, τῶν δὲ ιβ΄ τὰ κη΄ 36
4 καὶ ἐπὶ τῶν f καὶ y καὶ δ καὶ δ΄ καὶ ἐπὶ τῶν β΄ καὶ y A. μέσα apogr] μετὰ À —— 8 inscr, πδρὶ ἀναλογιῶν ἃ, κϑ' in mg, ϑρασύλλος À, em. apogr. n οἷον α΄ y εἴ ξ 8. γεωμετρικὴν δὲ κτλ. Sup l. Bull, £* mg À, £6 Asunt γάρ add. A* 14 ταυτῶ à βέοεν ἃ AA] ταυτομερεῖ AT AT καὶ ὑπερεχο- μένην — ιβ΄ in mg. 16 sqq. cf. p. 62.
86 DE RATIONIBUS CONSONANTIARUM.
ἡμιόλιά ἐστιν ἐν τῷ διὰ πέντε, ς΄ ιβ΄ νη΄" τὰ δὲ κδ' πρὸς ς΄ ἐν τῷ δὶς διὰ πασῶν. τὰ δὲ 9' τῶν q ἐν τόνῳ. τὰ δὲ ιβ΄ τῶν 9' διὰ τεσσάρων. τὰ δὲ ιβ΄ τῶν η΄ ἐν τῷ διὰ πέντε. τὰ δὲ ιη΄ τῶν 9' διὰ πασῶν. τὰ δὲ κζ΄ τῶν
5i διὰ πέντε. συνέστηκε δὲ τὸ διὰ πασῶν ιβ' πρὸς c ἐκ τοῦ ἡμιολίου 9' πρὸς ς΄ καὶ ἐπιτρίτου Lf πρὸς 9' καὶ πάλιν ἡμιολίου ιβ΄ πρὸς η΄ καὶ ἐπιτρίτου᾽ η΄ πρὸς ς΄, καὶ τὰ ιη΄ πρὸς ϑ' ἐκ τοῦ ιη΄ πρὸς ιβ΄ ἡμιολίου καὶ f πρὸς ϑ' ἐπιτρίτου, καὶ τὰ κδ΄ πρὸς ιβ΄ διὰ πασῶν συν-
10 ἕστηκεν ἐκ τοῦ κδ΄ πρὸς ιη΄ ἐπιτρίτου καὶ τοῦ ιη΄ πρὸς uB' ἡμιολίου᾽ τὰ δὲ 9' πρὸς ς΄ διὰ πέντε ἐκ τοῦ 9' πρὸς η΄ ἐπογδόου καὶ τοῦ η΄ πρὸς ς΄ ἐπιτρίτου, καὶ τὰ ιβ΄ πρὸς η΄ ἡμιόλιον ἐκ τοῦ ιβ΄ πρὸς 9' ἐπιτρίτου καὶ 9' zog η΄ ἐπογδόου.
1 τὸ δὲ λεῖμμα γίνεται ἐν λέγῳ ὃν ἔχει τὰ Gvg πρὸς σμγ΄. εὑρίσκεται δ᾽ οὕτω" δυεῖν ἐπογδόων ληφϑέντων καὶ τούτων τρὶς πολλαπλασιασϑέντων καὶ τῷ δὶς ἐπ- ογδόῳ προστεϑέντος ἐπιτρίτου. οἷον εἷς μὲν ἐπόγδοος λόγος ὁ τῶν ϑ' πρὸς τὰ η΄. ἐκ δὲ τούτων γίνονται δύο
90 ἐπόγδοοι οὕτω᾽ τὰ 9' ἐφ᾽ ἑαυτὰ γίνεται πα΄, εἶτα τὰ 9' ἐπὶ τὰ η΄ γίνεται οβ΄, ἔπειτα τὰ η ἐφ᾽ ἑαυτὰ γίνεται ξδ΄, καὶ ἔστι τὰ μὲν πα΄ τῶν οβ΄ ἐπόγδοα, τὰ δὲ of τῶν ξδ' ἐπόγδοα. ἂν δὴ τρὶς ταῦτα λάβωμεν, τὰ μὲν za γίνεται τρὶς σμγ΄, τὰ δὲ οβ΄ γένεται σις΄, τὰ δὲ EO.
ὅ συνέστικε A! — 7 (ἐκ τοῦ» ἡμιολίουνδ — 8 τὰ ιη΄ πρὸς 9 (διὰ πασῶνλ᾽!ἠ 9 διὰ πασῶν συνέστηκεν] διπλασίου ἡμίσεος καὶ À, διπλασίου ἥμισυ καὶ Bull. 18 ἡμιόλιον] διὰ πέντε
15 insor. περὲ λείμματος ὅ ἐστιν ἐν λόγῳ τῶν σνς
πρὸς σμῦ À, A in mg. cf. p. 61 sq. τὸ Fuge Α'΄ὀ 16 οὕτω fort. del, 19 γίνωνται AP em. apogr. 921 ἔπειτα: ὃ supra ει del. À 484 τὰ δὲ οβ΄ (τρὶς)
SECTIO CANONIS. 81
τρὶς γένεται Qf. τούτων ἐπίτριτα τὰ σνς΄, ἅτινα πρὸς Guy ἔχει τὸν vot λείμματος λόγον, Cg ἐστι πλείων ἢ ἐποχτωκαιδέκατος.
,
ove. σμγ eus enf
ἐπόγδοος ἐπόγδοος
διὰ τεσσάρων
ἡ δὲ τοῦ κανόνος κατατομὴ γίνεται δια τῆς ἐν τῇ δεκάδι τετρακτύος, ἢ σύγκειται ἐκ μονάδος δυάδος ὅ τριάδος τετράδος, α' (9 y δ΄" ἔχει γὰρ ἐπίτριτον, ἡμιό- λιον, διπλάσιον, τριπλάσιον, τετραπλάσιον λόγον. διαι- get δὲ αὐτὸν ὁ Θράσυλλος οὕτως.
δίχα μὲν διελοῦσι τὸ μέγεϑος μέσην ποιεῖ τὸ διὰ πασῶν ἐν τῷ διπλασέῳ λόγῳ, ἀντιπεπονθότως ἐν ταῖς τὸ κινήσεσι διπλασίαν ἔχουσαν τάσιν ἐπὶ τὸ ὀξύ. τὸ δὲ ἀντιπεπονϑότως ἐστὶ τοιοῦτον ὅσον ἂν τοῦ μεγέϑους ἀφέλῃς τῆς ὅλης ἐν τῷ κανόνι χορδῆς, τοσοῦτον τῷ τόνῳ προστίϑεται, καὶ ὅσον ἂν τῷ μεγέϑει τῆς χορδῆς προσϑῆς. τοσοῦτον τοῦ τόνου ὑφαιρεῖται. τὸ μὲν γὰρ i5 ἥμισυ [προσλαμβανρμένη μέση πρὸς τὰ δύο μέρη] μέγε- 9og διπλασίαν τάσιν ἔχει ἐπὶ τὸ OE: τὸ δὲ διπλάσιον μέγεϑος ἡμίσειαν τάσιν ἔχει (enl? τὸ βαρύ.
2- ἐλίμματος Αἱ, ι corr. in ei À* πλείω À! 8 iuxta figuram ou ἃ — 5 οὗ p. 68, 14. 8 ϑρασυλλὸς À!, ϑρασύλλος A3
9 διελὼν Bull, cf. p. 92, 17 sqq. [10 ἀντιπεπονθότος Αἱ 12 τάσιν] κένησιν À.— 10 προσλαμβανομένης Bull. 18 ἐπὶ add. Bull.
88 SECTIO
τρίχα δὲ τῆς διαιρέσεως γενομένης 9) ve ὑπάτη τῶν μέσων καὶ ἡ νήτη διεξευγμένων γίνεται. ἔστι δὲ ἡ μὲν νήτη διεξζευγμένων πρὸς μὲν τὴν μέσην ἐν τῷ διὰ πέντε" δύο γάρ ἐστι διαστήματα πρὸς τρία᾽ πρὸς δὲ τὴν ὑπά- 5 tqv ἐν τῷ διὰ πασῶν᾽ ἕν γάρ ἐστι διάστημα πρὸς τὰ δύο᾽ πρὸς δὲ τὸν προσλαμβανόμενον (ἐν τῷ» διὰ πα- σῶν καὶ διὰ πέντε᾽ τοῦ γὰρ {προσλαμβανομένου ἐν τῷ» διὰ πασῶν ὄντος πρὸς τὴν μέσην προσείληπται τὸ μέχρι τῆς νήτης διάστημα, 0 ἐστι διὰ πέντε πρὸς τὴν 10 μέσην. ἡ (δὲ) μέση πρὸς τὴν ὑπάτην ἐν τῷ διὰ τεσσά- ρων, πρὸς δὲ τὸν προσλαμβανόμενον ἐν τῷ διὰ πασῶν. ἡ δὲ ὑπάτη πρὸς τὸν προσλαμβανόμενον ἐν τῷ διὰ πέντε. γίνεται δὲ ἴσον τὸ μέγεϑος τὸ ἀπὸ τῆς ὑπάτης ξως μέσης τοῦ διὰ τεσσάρων πρὸς τὸ ἀπὸ μέσης ἕως 15 νήτης τοῦ διὰ πέντε. καὶ ὁμοίως ἀντιπεπόνϑασιν οἵ ἀριϑμοὶ τῶν κινήσεων τῇ διαιρέσει τῶν μεγεϑῶν. τετραχῆ δὲ τῆς διαιρέσεως γενομένης συνίσταται 7 τε ὑπερυπάτη καλουμένη, ἡ καὶ διάτονος ὑπατῶν, καὶ ἡ νήτη τῶν ὑπερβολαίων. (ἔστι δὲ ἡ μὲν νήτη τῶν 40 ὑπερβολαίων» πρὸς μὲν τὴν νήτην τῶν διεξευγμένων ἐν τῷ διὰ τεσσάρων, πρὸς δὲ τὴν μέσην ἐν τῷ διὰ πασῶν, πρὸς δὲ τὴν ὑπάτην ἐν τῷ διὰ πασῶν καὶ διὰ τεσσάρων, πρὸς δὲ τὴν ὑπερυπάτην ἐν τῷ διὰ πασῶν καὶ διὰ πέντε, πρὸς δὲ τὸν προσλαμβανόμενον ἐν τῷ 95 δὶς διὰ πασῶν ἐπὶ τὸ βαρύ. τῇ δὲ ὑπερυπάτῃ λόγος A. ja πρὸ] werd A 16 πρὸ ante σῶν del A, 48 Ὑπὲρ. νυπατὴ Αἱ, παρυπάτη À* ἡ corr. ex À 19 τὸ ὑπερβόλεον A! — xal ἔστιν ἡ μὲν νητὴ τῶν ὑπερβολαίων add. apogr. 20 προσλαμβανόμενος ὑπατὴ μέσων νητὴ διεξευγμένη mg. À
28 ὑπερύπατὴν À!, παρυπάτην ΑΞ 26 τὸ corr. ex vo À ὑπερυπατῆ À! παρυπάτη A?
CANONIS. 89
ἐστὶ πρὸς μὲν (τὸν) προσλαμβανόμενον àv và διὰ τεσσά- gov ἐπὶ τὸ βαρύ, πρὸς δὲ τὴν μέσην ἐν τῷ διὰ πέντε ἐπὶ τὸ ὀξύ, τῆς δ᾽ ὑπάτης τόνῳ ὑπερέχει κατὰ τὸ βαρύ. καὶ ἔστιν ἴσον τὸ τονιαῖον μέγεϑος τῆς ὑπερυπάτης πρὸς τὴν ὑπάτην καὶ τὸ διὰ τεσσάρων τῆς νήτης Ou- 5 εζξευγμένων πρὸς τὴν νήτην ὑπερβολαίων. καὶ ὁμοίως ἀντιπεπόνϑασιν ol ἀριϑμοὶ τῶν κινήσεων τοῖς μεγέϑεσι ἰτῆς διαιρέσεως] τῶν διαστημάτων.
δῆλον δ᾽ ἂν γένοιτο τὸ λεγόμενον ἐπὶ τῶν ἀριϑμών. εἰ γὰρ τὸ τοῦ κανόνος μέγεθος ιβ΄ μέτρων ὑποιωνοῦν, 1 ἔσται μὲν μέση δίχα διαιρεθείσης (τῆς ὅλης χορδῆς, καὶ ἀφέξει) ς΄ ἑκατέρωθεν [διαιρουμένη]} ἡ δὲ ὑπάτη τῶν μέσων ἀπὸ τῆς ἀρχῆς δ'᾽ ἡ δὲ νήτη διεξευγμένων ἀπὸ τῆς τελευτῆς δ'᾽ καὶ τὸ μεταξὺ αὐτῶν δ΄. ἡ δὲ ὑπερυπάτη ἀπὸ τῆς ἀρχῆς τρία ἀφέξει μεγέθη, ἀπὸ δὲ - φῆς ὑπάτης ἕν᾽ ἡ δὲ ὑπερβολαία ἀπὸ μὲν τῆς τελευτῆς y, ἀπὸ δὲ τῆς διεξευγμένης ἕν. μεταξὺ ὃὲ αὐτῶν ς΄, ὥστε ἀπὸ τῆς μέσης ἑκατέρα γ΄, καὶ γίνεται ἡ ὅλη διαίρε- σις ἀπὸ μὲν τῆς ἀρχῆς ἐπὶ ὑπερυπάτην y, ἐντεῦϑεν δὲ ἐπὶ ὑκάτην ἕν, ἐντεῦϑεν δὲ ἐπὶ μέσην δύο, εἶτ᾽ ἀπὸ 30 μέσης ἐπὶ τὴν διεξευγμένην β΄, ἐντεῦϑεν δὲ εἰς τὴν ὑπερβολαίαν ἕν, ἀπὸ δὲ ταύτης εἰς τὴν τελευτὴν γ΄. γένεται πάντα ιβ΄. ἔσται οὖν πρὸς μὲν τὴν ὑπερβολαίαν (ὁ λόγος) τῆς μὲν νήτης διεξζευγμένων δ' πρὸς y' ἐπί-
1 τὸν add. A* 2 τὸ ΑἸ τῷ Α' 8 τόνῳ Bull] τόνον Α Α ὑπερυπατῆς A, παρυπάτης À? 6 ὑπερβολεῶν A!
10 e] iv ἃ τὸ A1] τῷ τῶ yt μεγέϑει A* 11 post μέση duae liti. er. A τῆς ὕλης χορδῆς: cf. p. 87, 18 12 s'] ἐξ’ À, em. apo 15 ὑπερυπατὴ Αἰ, παρυπάτη Δ", aique ita semper ἀφέξει] ἕξει A 16 ὑπερβολαία etiam in mg.
17 i$ À 18 ἑκάτερα À, em. apogr. 28 πρὸς: x ante initium vs. om. AÀ!, add. ΑΞ ὁ 24 διεξευγμένου ΑἹ
μὲ σι
90 SECTIO
τριτος ὁ τοῦ διὰ τεσσάρων, τῆς δὲ μέσης ς΄ πρὸς y διπλάσιος Ó τοῦ διὰ πασῶν, {τῆς δὲ ὑπάτης η΄ πρὸς γ΄ διπλασιεπιδίτριτος ὁ τοῦ διὰ πασῶν καὶ διὰ τεσσά- ρῶν, τῆς δὲ ὑπερυπάτης 9' πρὸς y τριπλάσιος ὃ τοῦ 5 διὰ πασῶν καὶ διὰ πέντε, τῆς δὲ ὅλης τοῦ προσλαμβα- νομένου ιβ΄ πρὸς y' τετραπλάσιος ὁ τοῦ δὶς διὰ πασῶν" πρὸς δὲ τὴν νήτην διεξζευγμένων ὁ λόγος ἐστὶ τῆς μὲν μέσης ς΄ πρὸς δ' ἡμιόλιος ὁ τοῦ διὰ πέντε, τῆς δὲ ὑπά- τῆς ἡ πρὸς δ΄ διπλάσιος ὁ τοῦ διὰ πασῶν, τῆς δὲ 10 ὑπερυπάτης ϑ' πρὸς δ΄ (διπλασιεπιτέταρτος) ὁ τοῦ δὶς διὰ πέντε, τῆς δὲ ὅλης τοῦ προσλαμβανομένου ιβ΄ πρὸς δ΄ (ζτριπλάσιος) ὁ τοῦ διὰ πασῶν καὶ διὰ πέντε᾽ πρὸς ὃὲ τὴν μέσην τῆς μὲν ὑπάτης «y πρὸς g ἐπίτριτος ὁ τοῦ διὰ τεσσάρων, τῆς δὲ ὑπερυπάτης ϑ' πρὸς ς΄ ἡμι- 15 ὅλιος ὁ τοῦ διὰ πέντε, τῆς δὲ ὅλης τοῦ προσλαμβανο- μένου ιβ΄ πρὸς ς΄ διπλάσιος ὁ τοῦ [δὶς] διὰ πασῶν" πρὸς δὲ τὴν ὑπάτην ἐστὶν 7 μὲν ὑπερυπάτη 9 πρὸς η΄ ἐν ἐπογδόῳ λόγῳ τῷ τοῦ τόνου, ἡ δὲ ὅλη τοῦ προσλαμ- βανομένου ιβ΄ πρὸς η΄ ἐν ἡμιολίῳ «(τῷ τοῦ διὰ πέντε" 30 πρὸς (025 τὴν ὑπερυπάτην ἡ ὅλη τοῦ προσλαμβανομέ- νου ιβ΄ πρὸς 0' ἐν ἐπιτρίτῳ (τῶν τοῦ διὰ τεσσάρων. ἀντιπεπόνϑασι δ᾽ αἱ λοιπαὶ τῶν κινήσεων κατὰ πυχνοῦ τοῦ ἐπογδόου τόνου καὶ ἐπιτρίτου διὰ τεσσά-
.5 2 lacunam suppl. apogr. 6 προσλαμβάνου ΔΑ 6 .g
ὃ (s atr)A γί Bull]s (ὃ atr) ἃ 10 9΄ apogr.] € A 16 δὶς del. Bull. 18 τῷ} δ Α 40 δὲ add. apogr. ὑπάτην αὶ 822 inscr. περὶ καταπυκνώσεως À. cf. Boeckh kl. Schr. III p. 151. de metris Pind. p. 208 ot λοιπαὶ) of ἀριϑμοὶδ cf. p. 88, 16. 89, 7 . 28 τοῦ ΑἾ τὸ A, scr. vid. καταπυκνουμένων vel καταπυκνουμένου ἐπογδοου κτλ.
CANONIS. 91
ρῶν καὶ ἡμιολίου διὰ πέντε τοῦ κανόνος. ἐπεὶ τὸ ἡμιό- λιον μὲν διὰ πέντε τοῦ ἐπιτρίτου διὰ τεσσάρων ἐπογ- δόῳ τόνῳ ὑπερέχει --- οἷον ληφϑέντος ἀριϑμοῦ ὃς ἔχει καὶ ἥμισυ καὶ τρίτον τοῦ ς΄, τούτου ἐπίτριτος μὲν ὁ η΄, ἡμιόλιος δὲ ὁ ^ τὰ δὲ ϑ' τῶν η΄ ἐπόγδοα᾽ ς΄ η΄ 9^ γίνεται ἡ ὑπεροχὴ τοῦ [n ] ἡμιολίου πρὸς τὸ ἐπίτριτον ἐν λόγῳ ἐπογδόῳ —, τὸ δ᾽ ἐπίτριτον διὰ τεσσάρων ἐκ δυεῖν ἐπογδόων καὶ vov διεσιαίου λείμματος᾽ καταπυ- κνωτέον αὐτὰ τοῖς ἐπογδόοις τόνοις καὶ τοῖς διεσιαίοις λείμμασι. καταπυκνωϑείῃ δ᾽ ἂν ἀρχομένων ἡμῶν (ἀπὸ τῆς) νήτης ὑπερβολαίων. τὸ γὰρ ὄγδοον τοῦ μέχρι τῆς τελευτῆς διαστήματος ὑπερβιβάσαντες ἕξομεν τὴν διάτο- νον τῶν ὑπερβολαίων τόνῳ βαρυτέραν αὐτῆς. τοῦ δὲ ἀπὸ ταύτης ἕως τῆς τελευτῆς τὸ ὄγδοον ὑπερβιβάσαν- τες ξξομεν τὴν τρίτην τῶν ὑπερβολαίων τόνῳ τῆς δια- τόνου βαρυτέραν. καὶ τὸ λοιπὸν εἰς τὴν νήτην τῶν διεξευγμένων ἔσται τὸ διεσιαῖον λεῖμμα πρὸς συμπλή- ρωσιν τοῦ διὰ τεσσάρων πρὸς τὴν νήτην ὑπερβολαίων. πάλιν δὲ τοῦ ἀπὸ τῆς νήτης διεζευγμένων ἕως τῆς ve- λευτῆς διαστήματος τὸ μὲν ἔνατον λαβόντες καὶ ὑπο- βιβάσαντες ἕξομεν τόνῳ ὀξυτέραν τῆς νήτης διεξευγμέ- νῶν τὴν χρωματικὴν ὑπερβολαίων. τὸ δὲ ὄγδοον ὑπερ- βιβάσαντες ἕξομεν τὴν παρανήτην διεξευγμένων᾽ ἡ αὐτὴ δὲ καὶ διάτονος καὶ νήτη συνημμένων, τόνῳ βαρυτέρα τῆς νήτης διεζξευγμένων. τοῦ δ᾽ ἀπὸ τῆς νήτης ἕως τῆς τελευτῆς τὸ ὄγδοον λαβόντες καὶ ὑπερβιβάσαντες
1 ἐπεὶ ἀρορτ.] ἐπὶ A 8 ὃς ἔχει ΑἾ ὡς ἔχοι A! 6 η΄ om. apogr. 10 ἀπὸ add. apo 11 ὑπερβολαίας Δ, em. Bull. 16 διατόνων Αἱ 18 ὑπερβολαίαν Α 19 διεξευγ-
μόνης Α 20 διαστήματος Bull.] διάστημα Α ἀποβιβασαν- veg À 91 διεξευγμένου À 26 rov] τὸ À
5
10
15
δῦ
99 SECTIO CANONIS.
ἕξομεν τὴν τρίτην τῶν διεξζευγμένων τόνῳ fagvrégav: ἡ δὲ αὐτὴ καὶ διάτονος συνημμένων ἐστίν. ὁμοίως δὲ τοῦ ἀπὸ ταύτης ἕως τῆς τελευτῆς διαστήματος τὸ ὄγδοον ὑπερβιβάσαντες ἕξομεν τὴν τρίτην συνημμένων τόνῳ 5 βαρυτέραν. τὸ δὲ λοιπὸν εἰς τὴν μέσην ἔσται τὸ διε- διαῖον λεῖμμα εἰς τὴν τοῦ διὰ πασῶν συντέλειαν. ἀπὸ δὲ τῆς μέσης τὸν αὐτὸν τρόπον {τὸ ἔνατον) ὑποβιβά- όαντες ἕξομεν τὴν παραμέσην ἢ τὴν χρωματικὴν συνημ- μένων, τόνῳ ὀξυτέραν τῆς μέσης. ταύτης δὲ τὸ ἔνατον 10 ὑποβιβάσαντες ἕξομεν τὴν χρωματικὴν διεζευγμένων. τὸ ὄγδοον δὲ τῆς μέσης ὑπερβιβάσαντες ξξομεν τὴν τῶν μέσων διάτονον τόνῳ βαρυτέραν τῆς μέσης, εἶτα τὸ . ἀπὸ ταύτης ὄγδοον ὑπερβιβάσαντες τὴν παρυπάτην {τῶν μέσων» ταύτης τόνῳ βαρυτέραν. καὶ ἔστι τὸ λοι- 15 πὸν εἰς τὴν ὑπάτην τῶν μέσων τὸ διξσιαῖον “λεῖμμα πρὸς συμπλήρωσιν τοῦ διὰ τεσσάρων πρὸς τὴν μέσην. ἀπὸ δὲ τῆς ὑπάτης τὸ μὲν ἔνατον ὑποβιβάσασιν-ἡ χρω- ματικὴ τῶν μέσων ἔσται τόνῳ ὀξυτέρα. τὸ ὄγδοον δὲ ὑπερβιβάσασιν ἔχειν τὴν ὑπερυπάτην συμβήσεται. ταύ- 30 τῆς δὲ τὸ ὄγδοον ὑπερβιβάσασι παρυπάτη ὑπατῶν γενή- Gera. ἐξ ἀναστροφῆς δὲ ἀπὸ τοῦ προσλαμβανομένου τέμνουσι τὸ ὅλον διάστημα εἰς 8' καὶ Bv ὑπολείπουσι κατὰ τὸ “ἐναντίον (τῶν) νητῶν, ὑπατῶν ὑπάτη γενήσε- ται τόνῳ τῆς ὕλης ὀξυτέρα, συγκλείουσα τὸ τῶν ὑπα- 45 τῶν τετράχορδον τῷ πρὸς τὴν παρυπάτην λείμματι. καὶ οὕτως συμπληρωϑήσεται τὸ πᾶν ἀμετάβολον σύ- στημα κατὰ τὸ διάτονον καὶ χρωματικὸν γένος. τὸ δὲ
"8 συνημμένα» συνημμένου τόνου Δ. 9 ἔννατον ΑΞ 19 ὑπερβιβασαμενον A συμβεβηκέναι A. 22 καὶ ἐνυπο- λείπουσι À, em. apogr. 28 κατὰ τὸ ἐν αὐτῷ νητῶν À, em. Bull.
* —— —— — 0 m
DE QUATERNIONIBUS. 93
ἐναρμόνιον ἐξαιρουμένων τῶν διατόνων καϑ' ἕκαστον τετράχορδον διπλῳδουμένων γίνεται. εἴροιμεν δ᾽ ἂν ταῦτα καὶ ἐν ἀριϑμοῖς ἀπὸ τῆς νήτης τῶν ὑπερβολαίων ἀρχόμενοι, ὑποτεϑείσης αὐτῆς μυρίων rím' οἵ ἐφεξῆς ἐπόγδοοί τὸ καὶ οἵ λοιποὶ κατὰ τοὺς προειρημένους λό6- 5 γους λαμβάνονται, οὗς περέδξργον ἐκτιϑέναι᾽ ῥᾷάδιον δὲ τῷ παρηκολουϑηχότι τοῖς προειρημένοις.
καὶ ἡ μὲν ὑπὸ Θρασύλλου παραδεδομένη κατατομὴ τοῦ κανόνος ὧδε ἔχει. ὃν δὲ τρόπον καὶ ἐπὶ τῆς τῶν ὅλων ἐφαρμόξεται σφαίρας, ἐπειδὰν καὶ τοὺς ἀστρονο- 10 μίας ἐκθώμεϑα λόγους, παραδείξομεν. νυνὶ δ᾽ éxavéA- ϑωμεν ἐπὶ τὸν τῶν λοιπῶν ἀναλογιῶν καὶ μεσοτήτων λόγον, ἐπειδὴ ὡς ἔφαμεν ἡ ἀναλογία καὶ μεσότης, οὐ μέντοι ἡ μεσότης καὶ ἀναλογία. καϑὸ δὴ (ἡδ ἀναλο- γία καὶ μεσότης ἐστίν, ἀκόλουθος ἂν sip ὁ περὶ τῶν i5 ἀναλογιῶν καὶ περὶ τῶν μεσοτήτων λόγος.
ἐπειδὴ πάντες οἷ τῶν συμφωνιῶν εὑρέϑησαν λόγοι, καϑὰ δέδεικται, ἐν τῇ τῆς δεκάδος τετρακτύι, καὶ περὶ τούτων πρότερον λεκτέον. τὴν μὲν γὰρ τετρακτὺν συνέστησεν ἡ δεκάς. Pw γὰρ καὶ β΄ καὶ y καὶ δ' { 30 α΄ β΄ y δ΄. ἐν δὲ τούτοις τοῖς ἀριϑμοῖς ἔστιν Tj τε διὰ τεσσάρων συμφωνία ἐν ἐπιτρίτῳ λόγῳ καὶ ἡ διὰ πέντε ἐν ἡμιολίῳ καὶ ἡ διὰ πασῶν ἐν διπλασίῳ καὶ (ἡ) δὲς διὰ πασῶν ἐν τετραπλασίῳ᾽ ἐξ ὧν συμπληροῦται τὸ ἀμετάβολον διάγραμμα. τοιαύτη μὲν (ἡ) ἐν μουσικῇ s5
1 καὶ post τῶν del. À 4 velo») μ p À, μύρια ap. 9 β τοῦ. ἃ 10 ἐπιδὰν ÀA,em.ap. ᾿ 12 τὸν corr. ex τῶν A — 18 ὡς ἔφαμεν: p. 84, 16 16 εἴη ὁ ΑΞ] εἴ ἡ Αἴ περὶ τῶν] τῶν sol À 17 inscr. πϑρὶ τετρακτύος καὶ δεκαδος À. cf. Boeckh kl. Schr. III p. 142 ἐπειδὴ (0i»? 18 δέδεικται: p. 58, 13. 87,4 τἐτραμτύη A! 2395 inscr. πόσαι τετρακτύες À
5
10
re e
94. DE QUATERNIONIBUS.
τετραχτὺς κατὰ σύνθεσιν οὖσα, ἐπειδὴ ἐντὸς αὐτῆς πᾶσαι ab συμφωνίαι εὑρίσκονται. οὐ διὰ τοῦτο δὲ μό- vov πᾶσι τοῖς Πυϑαγορικοῖς προτετίμηται, ἀλλ᾽ ἐπεὶ καὶ δοκεῖ τὴν τῶν ὅλων φύσιν συνέχειν" διὸ καὶ ὄρκος qv αὐτοῖς,
οὐ μὰ τὸν ἁμετέρᾳ ψυχᾷ παραδόντα vetQaxvUv,
παγὰν ἀενάου φύδεως ῥίξωμά τ᾽ ἔχουσαν. τὸν παραδόντα Πυϑαγόραν λέγουσιν, ἐπεὶ δοκεῖ τούτου εὕρημα ὃ περὶ αὐτῆς λόγος.
ἡ μὲν οὖν προειρημένη τετρακτὺς ζαὕῦτη, κατ᾽ ἐπισύνϑεσιν τῶν πρώτων ἀποτελουμένη ἀριϑμῶν. δευ- τέρα δ᾽ ἐστὶ τετρακτὺς ἡ τῶν κατὰ πολλαπλασιασμὸν ἐπηυξημένων ἀπὸ μονάδος κατά τε τὸ ἄρτιον καὶ πε- ριττόν. ὧν πρῶτος μὲν [κατὰ τὸ ἄρτιον] λαμβάνεται ἡ μονάς, ἐπειδὴ αὕτη ἀρχὴ πάντων ἀρτίων καὶ περιτ- τῶν καὶ ἀρτιοπερίττων, ὡς προείρηται, καὶ ἁπλοῦς ὃ ταύτης λόγος" οἵ δ᾽ ἐφεξῆς τρεῖς ἀριϑμοὶ κατὰ τὸ ἄρ- τιον καὶ περιττόν. τὴν δὲ σύνϑεσιν λαμβάνουσιν, ἐπειδὴ
ὅ cf. Pyth. carm. aur. vs. 47 sq. Sext. emp. adv. math. IV 2. 3. 9. VII 94. 100. Macr. comm. in Somn. Scip. I 6, 41. Theol arithm. p. 18. Porph. vita Pyth. 20. Iambl. de Pyth. vita 150. 162. Stob. ecl. I 10, 19. Pseudo-Plut. de plac. phil. I3. Procl in Plat. Tim. p. 156 D. Zeller die Philos. der Gr. I p. 368 6 κεφαλά post ψυχὰ del. Α (χεφαλᾷ Sext. VII 97 xeqa. et Stob.; in eo libro unde ἃ descriptus est ψυχῷ fuisso videtur) 7 πηγὴν Αἴ (sicut Sextus) ^ «sv»cov À ceterorumque quos commemoravi scriptorum codices ut videtur longe plurimi apud eosdem partim φύσεως partim φύσιος legitur δίξωμα τ΄ À, διξώματ᾽ ali: cf. Bekker ad Sext. p. 722, 5. 10 αὔτη] οὗ, p. 96, 9. 97,1 κατ᾽ ἐπισύνϑεσιν)] καὶ ἐπὶ σύνϑεσιν Α: cf.
p. 96, 9. 98, 1 11 dxorsioóg, i. e. ἀποτελουμένων À 16 αὕτη corr. ex αὐτὴ À 16 προεέρηται: cf. p. 19, 20 17 τρὶς Αἴ .
DE QUATERNIONIBUS. 95
καὶ ὁ πᾶς ἀριϑμὸς οὔτε μόνον ἄρτιος οὔτε μόνον πε- ριττός. διὸ δύο λαμβάνονται αἴ κατὰ πολλαπλασιασμὸν τετρακτύες, ἀρτία xal περρττή, ἢ μὲν ἀρτία ἐν λόγῳ διπλασίῳ, πρῶτος γὰρ τῶν ἀρτίων ( β' καὶ αὐτὸς ἐκ μονάδος κατὰ τὸ διπλάσιον ηὐξημένος, ἡ δὲ περιττὴ 5 ἐν λόγῳ ηὐξημένη τριπλασίῳ, ἐπειδὴ πρῶτος τῶν πε- ριτεῶν ὁ y' καὶ αὐτὸς ἀπὸ μόναδος κατὰ τὸ τριπλάσιον ηὐξημένος. ὥστε κοινὴ μὲν ἀμφοτέρων ἡ μονάς, καὶ ἀρτία οὖσα καὶ περιττή" δεύτερος δὲ ἀριϑμὸς ἐν μὲν τοῖς ἀρτίοις καὶ διπλασίοις ὁ β΄, ἐν δὲ τοῖς περιττοῖς 10 καὶ τριπλασίοις ὁ y τρέτος δὲ ἐν μὲν τοῖς ἀρτίοις ὁ δ΄, ἐν δὲ τοῖς περιττοῖς ὁ 9'* τέταρτος ἐν μὲν τοῖς ἀρ- τίοις η΄, ἐν δὲ τοῖς περιττοῖς x£.
ἐν τούτοις τοῖς ἀριϑμοῖς {οἵδ τελειότεροι τῶν συμφω- νιῶν εὑρίσκονται λόγοι" συμπεριεξίληπται δὲ αὐτοῖς καὶ 1s ὃ τόνος. δύναται δὲ ἡ μὲν μονὰς τὸν τῆς ἀρχῆς καὶ σημείου καὶ στιγμῆς Aóyov: οἱ δὲ δεύτεροι πλευρὰν δύνανται 0 τε [/ καὶ ὁ γ΄, ὄντες ἀσύνϑετοι καὶ πρῶτοι καὶ μονάδι μετρούμενοι καὶ φύσει εὐθυμετρικοί" οἵ δὲ τρίτοι ὅροι ὁ δ΄ καὶ ὁ 9' δύνανται ἐπίπεδον τετράγω- so vov, ἰσάκις ἴσοι ὄντες" οἵ δὲ τέταρτοι ὅροι ὅ τε η΄ καὶ ὁ κξ΄ δύνανται ἰσάκις ἴσοι ἰσάκις (Ovveg» κύβον. ὥστε
2 κατα À 9 .ἀρτία À*] τία A!
96 DE QUATERNIONIBUS.
ἐκ τούτων τῶν ἀριϑμῶν καὶ ταύτης τῆς τετρακτύος ἀπὸ σημδίου καὶ στιγμῆς εἰς στερεὸν ἡ αὔξεσις γίνεται" μετὰ γὰρ σημεῖον καὶ στιγμὴν πλευρά, μετὰ πλευρὰν ἐπίπεδον, μετὰ ἐπίπεδον στερεόν. ἐν οἷς ἀριϑμοῖς καὶ δ τὴν ψυχὴν συνίστησιν ὁ Πλάτων ἐν τῷ Τιμαίῳ. ὃ δὲ ἔσχατος τούτων τῶν ἑπτὰ ἀριϑμῶν ἴσος ἐστὶ τοῖς πρὸ αὐτοῦ πᾶσιν᾽ ὃν γὰρ καὶ β' καὶ y καὶ Ó καὶ η᾿ καὶ 9 γίνονται κζ΄. δύο μὲν οὖν αὗται τετρακτύες, ἥ τε κατ᾽ ἐπισύν- 10 ϑεσιν καὶ ἡ κατὰ πολλαπλασιασμόν, τούς τε μουσικοὺς καὶ γεωμδτρικοὺς καὶ ἀριϑμητιχοὺς λόγους περιέχου- δαι, ἐξ ὧν καὶ ἡ τοῦ παντὸς ἁρμονία συνέστη. τρίτη δέ ἐστι τετρακτὺς ἡ κατὰ τὴν αὐτὴν ἀναλογίαν παντὸς μεγέϑους φύσιν περιέχουσα᾽ ὕπερ γὰρ ἐν τῇ προτέρα 15 τετρακτύι μονάς, τοῦτο ἐν ταύτῃ στιγμή. ὅπερ δὲ ἐν ἐκείνῃ οἱ πλευρὰν δυνάμενοι ἀρυϑμοὶ τὰ β΄ καὶ γ΄, τοῦτο ἐν ταύτῃ τὸ διττὸν εἶδος τῆς γραμμῆς ἥ τὸ περιφερὴς καὶ ἡ εὐθεῖα, κατὰ μὲν ἄρτιον ἡ εὐθεῖα, ἐπειδὴ δυσὶ σημείοις περατοῦται, κατὰ δὲ τὸ περιττὸν ἡ περιφερής, 30 ἐπειδὴ ὑπὸ μιᾶς γραμμῆς πέρας οὐκ ἐχούσης περιέχε- ται ὅπερ δὲ ἐν ἐκείνῃ ol τετράγωνον δυνάμενοι ὁ Ó' καὶ ὁ ϑ', τοῦτο ἐν ταύτῃ τὸ διττὸν εἶδος ἐπιπέδων, εὐϑύ- γραμμον καὶ περιφερόγραμμον᾽ ὅπερ δὲ ἐν ἐκείνῃ οἵ κύβον δυνάμενοι G « καὶ o xf δύο ὄντες ὁ μὲν ἐκ 45 περιττοῦ, ὁ δὲ ἐξ ἀρτίου, τοῦτο ἐν ταύτῃ στερεόν, διτ- τὸν ὄν, {τὸ μὲν) ἐκ κοίλης ἐπιφανείας ὡς σφαῖρα καὶ 6 ἐν τῷ Τιμαίῳ: p. 8 B — 6 ἔσχατος ex αἴσχατος À 8 γίνωνται À, em. apogr. A2 y mg. ἃ 14 sqq. cf.
Zeller I p. 375, 6 16 τετρακτύη A1 17 ówzó»] διάτονον A 18 εὐθέα A! — 19 περιττοῦται αὶ 920 ἐπειδὴ (ὁ κί-
κλορῦῦ 928 περιφορόγραμμον À, em. apogr.
DE QUATERNIONIBUS. :91
κύλινδρος, τὸ δὲ ἐξ ἐπιπέδων ὡς κύβος πυραμίς. αὕτη δέ ἐστιν ἡ τρίτη τετρακτὺς παντὸς μεγέϑους συμπλη- ρωτικὴ ἐκ σημείου γραμμῆς ἐπιπέδου στερεοῦ. |
τετάρτη δὲ τετραχτύς ἐστι TOV ἁπλῶν (σωμάτων), πυρὸς ἀέρος ὕδατος γῆς, ἀναλογίαν ἔχουσα τὴν κατὰ ὁ τοὺς ἀριϑμούς. ὅπερ γὰρ ἐν ἐκείνῃ μονάς, ἐν ταύτῃ πῦρ᾽ ὃ δὲ δυάς, ἀήρ᾽ ὃ δὲ τριάς, ὕδωρ᾽ ὃ δὲ τετρᾶς, γῆ. τοιαύτη γὰρ ἡ φύσις τῶν στοιχείων κατὰ λεπτο- μέρειαν καὶ παχυμέρειαν, ὥστε τοῦτον ἔχειν τὸν λόγον πῦρ πρὸς ἀέρα, ὃν ὃν πρὸς β΄, πρὸς δὲ ὕδωρ, ὃν ἕν 10 πρὸς y, πρὸς δὲ γῆν, ὃν £v πρὸς 0'* καὶ τἄλλα &vdAo- .γον πρὸς ἄλληλα.
πέμπτη δ᾽ ἐστὶ τετραχτὺς ἡ τῶν σχημάτων τῶν ἁπλῶν σωμάτων. ἡ μὲν γὰρ πυραμὶς σχῆμα πυρός, τὸ δὲ ὀκτάεδρον ἀέρος, τὸ δὲ εἰκοσάεδρον ὕδατος, κύβος 15 δὲ γῆς.
ἔκτη δὲ τῶν φυομένων. τὸ μὲν σπέρμα ἀνάλογον μονάδι καὶ σημείῳ, ἡ δὲ εἰς μῆχος αὔξη δυάδι καὶ γραμμῇ, ἡ δὲ εἰς πλάτος τριάδι καὶ ἐπιφανείᾳ, ἡ δὲ &íg πάχος τετράδι καὶ στερεῷ. 20
ἑβδόμη δὲ τετρακτὺς ἡ τῶν κοινωνιῶν. ἀρχὴ μὲν καὶ οἷον μονὰς ἄνϑρωπος, δυὰς δὲ οἶκος, τριὰς δὲ κώμη, τετρὰὰ δὲ πόλις. τὸ γὰρ ἔϑνος ἐκ τούτων σύγκειται.
καὶ αὗται μὲν ὑλικαί τε καὶ αἰσϑηταὶ τετρακτύες. ὀγδόη δὲ τετρακτὺς ἥδε, τούτων χριτικὴ καὶ νοητή τις 35
4 ζσωμάτωνν: cf. vs. 14. p. 98, 17 8 .λεπτομερίαν À! 9 παχυμερίαν ἃ 18 Ε mg. À 17 $ mg. À 18. 19 7]
dA 19 ἐπιφανία A1 li go A 88 δυὰς AM] δευτέρα A! τριὰς À?] τρίτη A! 28 τετρὰς ÀJ] perder ἃ σύγκει- ται: post δὲ una lit. er. ἃ 25 5$ mg. À qàs] of δὲ A!, αἴδε αἴ A* κριτικαὶ καὶ νοηταί τινὲς οὖσαι À: cf. p. 98, 19
Theo Smyrn. 8
e*
98 ... DE QUATERNIONIBUS.
οὖσα᾽ νοῦς ἐπιστήμη δόξα αἴσϑησις. νοῦς μὲν ὡς μονὰς ἐν οὐσίᾳ ἐπιστήμη δὲ ὡς δυάς, ἐπειδή τινός ἐστιν ἐπιστήμη {δόξα δὲ ὡς τριάς, ἐπειδὴ .............. » καὶ. μεταξύ ἐστι δέίξα ἐπιστήμης [ἐστὶ] καὶ ἀγνοίας" ἡ δὲ
s αἴσϑησις ὡς τετράς, ἐπειδὴ τετραπλῆ κοινῆς πασῶν. οὔσης τῆς ἁφῆς xcv ἐπαφὴν πᾶσαι ἐνεργοῦσιν αἴ αἰσϑήσεις.
ἐνάτη δὲ τετρακτύς, ἐξ ἧς συνέστηκε τὸ ξῷον, ψυχή τε καὶ σῶμα. ψυχῆς μὲν γὰρ μέρη λογιστικὸν ϑυμικὸν-
10 ἐπιϑυμητικόν, καὶ τέταρτον σῶμα, ἐν ᾧ ἐστιν ἡ ψυχή.
δεκάτη δὲ τετραχτὺς ὡρῶν δι᾽ ἃς γίνεται πάντα,
ἔαρ ϑέρος μετόπωρον χειμών. .
ἑνδεκάτη δὲ ἡλικιῶν, νηπίου μειρακίου ἀνδρὸς yé- ᾿ροντος.
15 ὥστε τετρακτύες ἔνδεκα᾽ πρώτη ἡ κατὰ σύνϑεσιν' ἀριϑμῶν, δευτέρα δὲ ἡ κατὰ πολλαπλασιασμὸν ἀριϑμῶν,. τρίτη κατὰ μέγεϑος, τετάρτη τῶν ἁπλῶν σωμάτων, πέμ- πτη τῶν σχημάτων, ἔχτη τῶν φυομένων, ἑβδόμη vov κοινωνιῶν, ὀγδόη κριτική, ἐνάτη τῶν μερῶν τοῦ ξῴου,
90 δεκάτη τῶν ὡρῶν, ἑνδεκάτη ἡλικιῶν. ἔχουσι δὲ πᾶσαι. ἀναλογίαν᾽ ὃ γὰρ ἐν τῇ πρώτῃ καὶ δευτέρᾳ μονάς, τοῦτο ἐν τῇ τρίτῃ στιγμή, ἐν δὲ τῇ τετάρτῃ πῦρ, ἐν δὲ τῇ πέμπτῃ πυραμίς, ἐν δὲ τῇ ἕκτῃ σπέρμα, (xal) ἐν vir ἑβδόμῃ ἄνϑρωπος, καὶ ἐν τῇ ὀγδόῃ νοῦς, καὶ τὰ λοιπὰ
45 ἀνάλογον᾽ οἷον πρώτη μονὰς δυὰς τριὰς τετράς, δευ-
4 ἐπιστήμην ut vid. A! — ὀἝἘἐστὶ om. apogr. ὅ κοινὴ À!, cf. Theol. arithm. p. 20 καὶ ἐν τοῖς ξώοις o? αἰσθήσεις τέσσα- ρὲες ὡρισμέναι καταλαμβάνονται τῆς ἁφῆς ὑποβεβλημένης ἁπά- σας 8 9 mg. A ἐξ ἡ ἧς apogr.] ἑξῆς A 11 τ mg. À.
18 τὰ mg. ἃ 16 in. ἀριϑμοί je δύο ante δευτέρα del. A πολλαπλασιασμῶν Αἱ 21 μονάς Bull] ἀριϑμὸς Α 28 (xol) ἐν τῇ] ἐν δὲ τῇ apogr.
- ——— Ὁ ας “-αα
DE QUATERNIONIBUS. 99
τέρα μονὰς πλευρὰ τετράγωνον κύβος, τρίτη στιγμὴ γραμμὴ ἐπιφάνεια στερεόν, τετάρτη πῦρ ἀὴρ ὕδωρ γῆ, πέμπτη πυραμὶς ἐκτάεδρον εἰκοσάεδρον κύβος, ἕκτη σπέρμα μῆκος πλάτος βάϑος, ἑβδόμη ἄνθρωπος οἶκος
κώμη πόλις, ὀγδόη νοῦς ἐπιστήμη δόξα αἴσθησις, ἐνάτη 5
λογιστικὸν ϑυμικὸν ἐπιϑυμητικὸν σῶμα, δεκάτη ἔαρ ϑέρος μετόπωρον χειμών, ἑνδεκάτη παιδίον μειράκιον ἀνὴρ γέρων. ὁ δὲ [καὶ] ἐκ τῶν τετρακτύων τούτων συστὰς κόσμος ἔσται [τέλειος] ἡρμοσμένος κατὰ γεωμε-
τρίαν καὶ ἁρμονίαν καὶ ἀριϑμόν, δυνάμει περιειληφὼς 10
πᾶσαν ἀριϑμοῦ φύσιν πᾶν τε μέγεϑος καὶ πᾶν σῶμα ἁπλοῦν τε καὶ σύνϑετον, τέλειός τε, ἐπειδὴ τὰ πάντα μὲν τούτου μέρη, αὐτὸς δὲ οὐδενός. διὸ πρώτῳ τῷ εἰρημένῳ ὅρκῳ οἵ Πυϑαγορικοὶ dAfyovco .............. καὶ ἀριϑμῷ δέ τε πάντ᾽ ἐπέοικε.
καὶ τοῦτο εἶναι τὸ σοφώτατον᾽ πάντα μὲν γὰρ τὸν ἀριϑμὸν εἰς δεκάδα ἤγαγον, ἐπειδὴ ὑπὲρ δεκάδα οὐδείς ἐστιν ἀριϑμός, ἐν τῇ αὐξήσει πάλιν ἡμῶν ὑποστρεφον- τῶν ἐπὶ μονάδα καὶ δυάδα καὶ τοὺς ἑξῆς τὴν δὲ δε- κάδα ἐπὶ τετράδα συνίστασθαι Pv γὰρ καὶ B' καὶ γ' καὶ δ΄ ἐστι v, ὥστε τοὺς δυνατωτάτους ἀριϑμοὺς ἐντὸς τῆς τετράδος ϑεωρεῖσϑαι.
ἡ μὲν γὰρ μονας ἀρχὴ πάντων καὶ κυριωτάτη πα-
1 τετραγῶνον corr. ex τετραγώνων À 6 ϑυμηκὸν Αἱ
" μετ᾽ ὅπορον Α' 8 ante éx una lit. er. A 10 δύνα- pu À 18 τῶ supra ve. add. A 14 γρῆσϑαι post ἐλέγοντο probabiliter add. A*, sed exciderunt plura: cf. Chalcid. 86. Sext. Emp. adv. math. IV 8. VII 94. Zeller I p. 317, 2 17 inscr. περὶ δεκάδος À 18 δεκάδα corr. ex δεκάδος αὶ 24 inscr. περὶ μονάδος À, ἃ in mg. —
2*
20
100 DE NUMERORUM
σῶν ........ καὶ ἐξ ἧς πάντα, αὐτὴ δὲ ἐξ οὐδενός, ἀδιαίρετος καὶ δυνάμει πάντα, ἀμετάβλητος, μηδενώ- ποτε τῆς αὐτῆς ἐξισταμένη φύσεως κατὰ τὸν πολλαπλα- σιασμόν᾽ xa0^ ἣν πᾶν τὸ νοητὸν καὶ ἀγέννητον καὶ ἡ 5 τῶν ἰδεῶν φύσις καὶ ὁ ϑεὸς καὶ ὁ νοῦς καὶ τὸ καλὸν καὶ τὸ ἀγαϑὸν καὶ ἑκάστη τῶν νοητῶν οὐσιῶν, οἷον αὐτὸ καλόν, αὐτὸ δίκαιον, αὐτὸ [τὸ] ἴδον ἕκαστον γὰρ τού- τῶν ὡς ἕν καὶ xa9' ἑαυτὸ νοεῖται. πρώτη δὲ αὔξη καὶ μεταβολὴ ἐκ μονάδος εἰς δυάδα 10 κατὰ ϑιπλασιασμὸν τῆς μονάδος, xa0 ἣν ὕλη καὶ πᾶν τὸ αἰσϑητὸν καὶ ἡ γένεσις καὶ ἡ κένησις καὶ ἡ αὔξησις καὶ ἡ σύνϑεσις καὶ κοινωνία καὶ τὸ πρός τι. ἡ δὲ δυὰς συνελθοῦσα τῇ μονάδι γίνεται τριάς, ἥτις πρώτη ἀρχὴν καὶ μέσα καὶ τελευτὴν ἔχει. διὸ καὶ 15 πρώτη λέγεται πάντα εἶναι" ἐπὶ γὰρ ἐλαττόνων αὐτῆς οὐ λέγεται πάντα εἶναι, ἀλλὰ ἕν καὶ ἀμφότερα, ἐπὶ ὃὲ τῶν τριῶν πάντα. καὶ τρεῖς σπονδὰς ποιούμεθα δη- λοῦντες ὅτι πάντα ἀγαθὰ αἰτούμεϑα, καὶ τοὺς κατὰ πάντα ἀϑλίους τρισαϑλίους καλοῦμεν καὶ τοὺς κατὰ 80 πάντα μακαρίους τρισμακαρίους. πρώτη δὲ καὶ ἡ τοῦ ἐπιπέδου φύσις ἐκ τούτου. ἡ γὰρ τριὰς οἷον eikav ὀπι-- πέδου, καὶ πρώτη αὐτοῦ ὑπόστασις ἐν τριγώνῳ, «αὶ διὰ τοῦτο τρία αὐτῶν γένη, ἰσόπλευρον ἰσοσκελὲς ἀκα-
8 τῆς supra vs. add. À ὅ ἰδεῶν: & ante i er. ἃ 7 τὸ om. apogr. 8 inscr. περὶ δυάδος A, B in mg 13 περὶ τριαᾶαδος À, y in mg. cf. Chalcid. 38 14 cop?
μεσότητα Hoether ad. Io. Lyd. de mens. p. 52 15 ἐπὶ corr. ex ἐπεὶ À 16 ἀμφότερα corr. ex δι᾽ ἀμφοτέρας À 1 corr. ex ἐπεὶ À 17 τρεῖς] τὰς À 91 εἰκὼν ἐποπέδου] ἡ κατεπιπέδου, o post τ er. et supra e rae. À: cf. p. 101, 11
29 πρώτη apogr.| πρώτου À [ἢ (signum quadrati) supra V (ü. e. τριγώνῳ) er.
PROPRIETATIBUS. 101
Aqvóv [y'|: τρεῖς ὃὲ καὶ γωνίαι ὁμοιούμεναι ἡ μὲν ὀρϑὴ τῇ τοῦ ἑνὸς φύσει, ὠρισμένη καὶ ἐξ ἴσου καὶ ὁμοίου συνεστῶσα᾽ διὸ καὶ πᾶσαι αἴ ὀρθαὶ ἀλλήλαις εἰσὶν ἴσαι, μέσαι οὖσαι ὀξείας καὶ ἀμβλείας καὶ ὑπερέχοντος καὶ ὑπερεχομένου᾽ αἵ δὲ λοιπαὶ ἄπειροι καὶ ἀδριστοι" ἐκ ὁ γὰρ ὑπεροχῆς καὶ ἐλλείψεως συνεστᾶσιν. ἡ δὲ τριὰς ἐκ τῆς μονάδος καὶ δυάδος c ποιεῖ κατὰ σύνϑεσιν, ὅς ἐστὰ πφῶτος τέλειος ἀριϑμὸς τοῖς ἑαυτοῦ μέρεσιν ἴσος τ᾽ ὁ δὲ τέλειος οὗτος συντεθεὶς τῷ πρώτῳ τετραγώνῳ τῇ τετράδι ποιεῖ τὴν δεκάδα. 10
ἡ δὲ τετρὰς στερεοῦ ἐστιν εἰκὼν πρῶτός τε ἀριϑμὸς [καὶ] τετράγωνός ἐστιν ἐν ἀρτίοις᾽ καὶ αἴ συμφωνίαι δὲ πᾶσαι κατ᾿ αὐτὸν συμπληροῦνται, ὡς ἐδείχϑη.
ἡ δὲ πεντὰς μέση ἐστι τῆς δεκάδος. ἐὰν γὰρ καϑ᾽ ὁποιανοῦν σύνϑεσιν ἐχ δύο ἀριϑμῶν τὸν ( συνϑῇς: 15 μέσος εὑρεϑήσεται ὁ ε΄ κατὰ τὴν ἀριθμητικὴν ἀναλο- γέων᾽ οἷον 9 καὶ α΄, καὶ η΄ καὶ β΄, καὶ ζ΄ καὶ γ΄, καὶ ς΄ καὶ δ΄" αἰδί τὸ & ποιήσεις καὶ μέσος εὑρεϑήσεται ὁ εἴ κατὰ τὴν ἀριϑμητικὴν ἀναλογίαν, ὡς δηλοῖ τὸ διά- γραμμα, κατὰ: πᾶσαν σύνθεσιν τῶν συμπληρούντων τὰ 530 v δυεῖν ἀριϑμῶν [μέσος εὑρεϑήσεται ὁ ε΄ κατὰ τὴν ἀριθμητικὴν ἀναλογίαν} τῷ ἴσῳ ἀριϑμῷ τῶν ἄχρων ὑπερέχων τε καὶ ὑπερεχόμενος.
1 γ᾽ om. apogr. τρὶς A! 6 ἐλλήψεως Α'ὀ 9 οὕτω Α 10 post τῇ una lit. er. À τετράδι: v in ras. Α 11 inscr. περὲ τετράδος À, ὃ in mg. 18 καταυτὰ À ἐδεέχϑη: cf. p. ὅ8, 18. 87,4 14 inscr. περὶ πεντάδος À, € in mg. 15 τὸν Bull] τῶν À 19 ὡς A?] ὦ A!
LI
102 DE NUMEROBUM
e« B S c 06 Beim y 6 yis1|9 ὃ $ 1]
πρῶτον δὲ καὶ περιέλαβε τὸ τοῦ παντὸς ἀριϑμοῦ εἶδος ὁ ε΄, τὸν ἄρτιόν τε καὶ περιττόν, λέγω τὴν δυάδα τε καὶ τριάδα: ἡ γὰρ μονὰς οὐκ ἦν ἀριϑμός. ὁ δὲ ς΄ τέλειος, ἐπειδὴ τοῖς ἑαυτοῦ μέρεσίν ἐστιν 5 ἴσος, ὡς δέδεικται διὸ καὶ γάμον αὐτὸν ἐκάλουν. ἐπεὶ γάμου ἔργον ὅμοια ποιεῖ τὰ ἔκγονα τοῖς γονεῦσι. καὶ κατὰ τοῦτον δὲ πρῶτον συνέστη ἡ ἁρμονικὴ μεσάξης ληφϑέντος [uv] TOU ς΄ ἐπιτρίτου «μὲν» λόγου τῶν η΄ , διπλασίου δὲ τῶν wg" ς΄ vw (B^ τῷ γὰρ αὐτῷ μέρει ὃ 104 τῶν ἄκρων ὑπερέχει καὶ ὑπερέχεται, ς΄ η΄ ιβ΄, τουτέστι τῷ τρίτῳ᾽ καὶ ἀρυϑμητικὴ δὲ μεσότης ληφϑέντος τοῦ c ἡμιολέου μὲν λόγου τῶν 9^, διπλασίου δὲ τῶν ιβ΄ τῷ γὰρ αὐτῷ ἀριϑμῷ τὰ δ΄ ὑπερέχει τῶν ἄκρων καὶ ὑπερ- ἐχεται" ποιεῖ δὲ τὴν γεωμετρικὴν ἀναλογίαν μέσος λη- 15 φϑείς᾽ ἂν γὰρ ἥμισυ αὐτοῖ λάβωμεν τὸν y' καὶ διπλά- ciov τὸν ιβ΄, ἔσται ἡμῖν ἡ γεωμετρικὴ ἀναλογία. y ς΄ iB" τῷ γὰρ αὐτῷ λόγῳ τὰ ς΄ τῶν ἄκρων ὑπερέχει ve καὶ ὑπερέχεται, γ' ς΄ ιβ΄, τουτέστι τῷ διπλασίῳ. 2 ἄρτιόν τε ΑἾ ἄρτιον δὲ A! 4 err. περὶ ἑξάδος À, s in mg. cf. Zeller I p. 369, 2 s'] ἕκτος A δ δέδεικται: p. 101, 8 6 ἔκγονα corr. ex ἔγγονα Α 7 τούτων Αἱ δὲ] τε 'A ἡ ἁρμονικὴ corr. ex καρμονικὴ Α 8 λόγου bic
et vs. 12 neglegenter additum 9 τῶν] vov À 14 ὑπερέχε- ται {τουτέστι τῷ y δὴ cf. v8. 10. 18 16 » post ἀναλογία del. A
PROPRIETATIBUS. 108
καὶ ἡ ἑβδομὰς δὲ τῆς δεκάδος οὖσα ϑαυμαστὴν ἔχει δύναμιν. μόνος γὰρ τῶν ἐντὸς τῆς δεκάδος οὔτε ψεννᾷ ἕτερον οὔτε γεννᾶται ὑφ᾽ ἑτέρου διὸ καὶ ᾿4ϑηνᾶ ὑπὸ τῶν Πυϑαγορικῶν ἐκαλεῖτο, οὔτε μητρός τινος οὖσα οὔτε μήτηρ. οὔτε γὰρ γίνεται ἐκ συνδυασμοῦ 5 οὔτε συνδυάξεταί τινι. τῶν γὰρ ἀριϑμῶν τῶν ἐν τῇ δεκάδι οἷ μὲν γεννῶσί τε καὶ γεννῶνται, ὡς ὁ 0 γεννᾷ μὲν μετὰ δυάδος τὸν η΄, γεννᾶται δὲ ὑπὸ δυάδος οἵ δὲ, ψεννῶνται μέν, οὐ γεννῶσι δέ, ὡς ὁ ς΄ γεννᾶται μὲν ὑπὸ B καὶ γ΄, οὐ γεννᾷ δὲ οὐδένα τῶν ἐν τῇ δεκάδι" 10 οἵ δὲ γεννῶσι μέν, οὐ γεννῶνται δέ, ὡς ὁ γ' καὶ ὁ ε΄ γεννῶνται μὲν ἐξ οὐδενὸς [ἀριθμοῦ] συνδυασμοῦ, γεν- γνῶσι δὲ ὁ μὲν γ΄